离散数学复习提纲14章.docx
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离散数学复习提纲14章
离散数学复习提纲
第一章命题逻辑
1．（P
Q）
（
Q
R）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：
（1）
；
（2）
（an:
）
3．用真值表判断下列公式是恒真？
恒假？
可满足？
（1）（PP）Q
（2）（PQ）Q
（3）（（PQ）（QR））（PR）
（an:
解：
（1）真值表
PQ
PPP（PP）Q
00
101
01
100
10
001
11
000
因此公式
（1）为可满足。
）
（2）真值表
PQ
PQ（PQ）（PQ）Q
00
100
01
100
10
010
11
100
因此公式
（2）为恒假。
（3）真值表
PQR
PQQRPR（（PQ）（QR））（PR）
000
1111
001
1111
010
1011
011
1111
100
0101
101
0111
110
1001
111
1111
因此公式（3）为恒真。
4．┐Q（P→Q）蕴涵┐P
（an:
法1：
真值表
法2：
若┐Q（P→Q）为真，则┐Q，P→Q为真，
所以Q为假，P为假，所以┐P为真。
法3：
若┐P为假，则P为真，再分二种情况：
①若Q为真，则┐Q（P→Q）为假
②若Q为假，则P→Q为假，则┐Q（P→Q）为假
根据①②，所以┐Q（P→Q）蕴涵┐P。
）
5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（PQ）（QR））（PR）
（（PQ）（P（QR）））（PQ）（PR）
（an:
1、证明：
（（PQ）（QR））（PR）
=（（PQ）（QR））（PR）
=（（PQ）（QR））（PR）
=（PQ）（QR）PR
=（（PQ）P）（（QR）R）
=（1（QP））（（QR）1）
=QPQR
=（QQ）PR
=1PR
=1
（（PQ）（P（QR）））（PQ）（PR）
=（（PQ）（P（QR）））（P（QR））
=（P（QQR））（P（QR））
=（P（QR））（P（QR））
=1）
6．用形式演绎法证明：
{
}蕴涵
（an:
证明：
（1）
规则P
（2）
规则Q
（1）
（3）
规则P
（4）
规则Q（3）
（5）
规则Q
（2）（4）
（6）RS规则P
（7）PS规则Q（5）（6））
7．用形式演绎法证明：
（
蕴涵A
（an:
、证明：
（改（
）
（1）A规则D
（2）A∨B规则Q
（1）
（3）
规则P
（4）
规则Q
（2）（3）
（5）D规则Q（4）
（6）
规则Q（5）
（7）
规则P
（8）E规则Q（6）（7）
（9）
规则Q
（1）（8））
8．┐（P∧┐Q），┐Q∨R，┐R蕴涵┐P
（an:
（1）┐Q∨R
（2）┐R
（3）┐Q
（4）┐（P∧┐Q）
（5）┐P∨Q
（6）┐P）
9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：
（1）若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；
（2）若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；
（3）若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；
（4）若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
办案人员由此得出结论：
甲是作案者。
这个结论是否正确？
为什么？
（an:
解：
对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则办案人员的推理如下：
前提：
1）P1P2P3P4
2）P3P4P1P2
3）P1P2（P3P4）（P3P4）
4）P3P4（P1P2）（P1P2）
结论：
P1。
（P1P2P3P4）（P3P4P1P2）（P1P2（P3P4）（P3P4））（P3P4（P1P2）（P1P2））P1
不是永真式，比如：
P1取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假
所以P1不是前提的有效结论，
所以甲是作案者的结论是错误的）
课后习题：
p8：
1，5
p19：
7
p23：
6，7，8
p39：
4
p47：
4，5
第二章谓词逻辑
1．设个体域D={1，2，5}，F（x）：
x≤2，G（x,y）：
x≥y,消去
（
x）（F（x）
（
y）G（y,x））中的量词，并讨论其真值。
2．所有的主持人都很有风度。
李明是个学生并且是个节目主持人。
因此有些学生是很有风度。
请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。
（个体域：
所有人的集合）
3．设
数，
小于
，将“不存在最小的数。
”符号化。
（an:
）
4．利用一阶逻辑的基本等价式，证明：
（x）（y）（F（x）G（y））=（x）F（x）（y）G（y）
（an:
xy（F（x）G（y））=x（F（x）yG（y））
=x（F（x）yG（y））
=x（F（x））yG（y）
=xF（x）yG（y）
=xF（x）yG（y））
5．（x）（F（x）→┐A（x）），（x）（A（x）∨B（x），（x）┐B（x）蕴涵（x）┐F（x）
（an:
（1）x┐B（x）
（2）┐B（c）
（3）x（A（x）∨B（x））
（4）A（c）∨B（c）
（5）A（c）
（6）x（F（x）→┐A（x））
（7）F（c）→┐A（c）
（8）┐F（c）
（9）x┐F（x））
6．符号化下列命题并推证其结论：
没有不守信用的人是可以信赖的，有些可以信赖的人是受过教育的人，因此，有些受过教育的人是可守信用的。
（个体域：
所有人的集合）
（an:
令M（x）：
x是守信用的；J（x）：
x是受过教育的；D（x）：
x是可以信赖的
前提：
┐x（┐M（x）∧D（x）），（xD（x）∧J（x））有效结论：
x（J（x）∧M（x））
证明：
1）（xD（x）∧J（x））前提
2）xD（x）∧J（y）代替规则
3）xD（x）合取
4）D（c）EI规则
5）J（y）合取
6）zJ（z）UG规则
7）J（c）UI规则
8）┐x（┐M（x）∧D（x））前提规则
9）x┐（┐M（x）∧D（x））等价
10）x（M（x）┐D（x））等价
11）M（c）┐D（c）UI规则
12）M（c）等价
13）M（c）∧J（c）合取
14）x（J（x）∧M（x））EG规则）
7．在一阶逻辑中，构造下面的证明：
前提：
，F（a）结论:
（an:
1）x（F（x）G（x））
2）F（a）G（a）
3）F（a）
4）G（a）
5）G（x））
8．设解释I为：
（1）定义域D={-2，3，6}；
（2）F（x）：
x3；
G（x）：
x5。
在解释I下求公式（x）（F（x）G（x））的真值。
（an:
（x）（F（x）G（x））
=（F（-2）G（-2））（F（3）G（3））（F（6）G（6））
=（10）（10）（01）
=1）
9．不存在能表示成分数的无理数。
有理数都能表示成分数。
因此，有理数都不是无理数。
（an:
F（x）：
x为无理数，G（x）：
x为有理数，H（x）：
x能表示成分数）
10．设个体域为集合{a,b,c},试消去下列公式中的量词。
（1）（x）P（x）∧（x）Q（x）
（2）（x）（P（x）→Q（x））
课后习题：
p59：
1，2
p62：
3，6
p65：
2，3
p72：
1，4
p75：
1
p79：
2，3
第三章集合论
1．设〈A，
〉是偏序集，A={1，2，3，4，5，6，8}，
是整除关系，请画出〈A，
〉的哈斯图。
写出A中的极大元，极小元和最大元，最小元。
2．设A={1，2，3}，求A上所有等价关系。
3．设全集
有下列子集A=
B=
C={
求1）
2）
3）
（an:
）
4．设集合
，试求：
1）A×B2）
3）
（an:
）
5．一个年级170人中，120名学生学英语，80名学生学德语，60名学生学日语，50名学生既学英语又学德语，25名学生既学英语又学日语，30名学生既学德语又学日语，还有10名学生同时学习三种语言。
试问：
有多少名学生这三种语言都没有学习？
（an:
解：
设E为全集，A为学英语学生的集合，B为学德语学生的集合，C为学日语学生的集合。
由公式，
|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|
可得：
|ABC|=120+80+60-50-30-25+10
=165
所以，这三种语言都没有学习的学生为170-165=5人。
）
6．A={a，b，c，d}，R1，R2是A上的关系，其中R1={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d）}，R2={（a，b），（b，a），（a，c），（c，a），（b，c），（c，b），（a，a），（b，b），（c，c）}。
（1）写出R1和R2的关系矩阵，并画出R1和R2的关系图；
（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A中各元素的等价类。
（an:
）R1为等价关系
等价类M1={a,b}，M2={c,d}
R2不为等价关系
7．集合
，R是集合A上的关系，
，求
，并分别画出它们的关系图。
（an:
它们的关系图：
）
8．设集合
，R为A上的整除关系，
（1）画出偏序集（A，R）的哈斯图；
（2）写出集合A中的最大元、最小元、极大元、极小元；（3）写出A的子集
的上界、下界、最小上界、最大下界。
（an:
（1）半序集（A，R）的哈斯图如下所示：
24
812
46
23
（2）集合A中的最大元是24，无最小元，极大元是24，极小元是2与3。
（3）集合B的上界是12与24，无下界，最小上界是12，无最大下界。
）
9．设集合
，试画出偏序集
的哈斯图，并写出A的最大元，最小元，极大元和极小元。
（an:
（A，）的哈斯图为：
e
bcd
a
a为A的极小元，也是最小元；
e为A的极大元，也是最大元。
）
11．设R是集合A上的二元关系，证明：
R是传递的，当且仅当t（R）=R。
（an:
证明：
若R是传递的，又有RR，对于任何包含R的传递
关系，都有，所以R满足传递闭包定义中
的全部条件，即t（R）=R。
反之，若t（R）=R，由传递闭包含定义中的条件1可得
R是传递的。
）
12．设集合
上的关系
则R在A上构成的等价类是？
（an:
）
13．设集合A=
，
为A上的二元关系，
则
是？
（an:
{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}）
14．设R是一个二元关系，设S={ |存在某个C，使∈R且∈R}，证明R是一个等价关系，则S也是一个等价关系。
（an:
1、证明：
（1）∵R是自反，
∴若有x∈A就有＜x，x＞∈R
∴＜x，x＞∈S
∴S是自反的。
（2）因有＜a，b＞∈S
且存在c，使＜a，c＞∈R且＜c，b＞∈R
∵R是对称的
∴＜c，a＞∈R，＜b，c＞∈R
∴＜b，a＞∈S
∴S是对称的
（3）设＜a，b＞，＜b，c＞∈S
则存在d,e使＜a，d＞，＜d，b＞，＜b，e＞，＜e，c＞∈R
∵R是传递的
∴＜a，b＞，＜b，c>∈R
∴＜a，c＞∈S
即S是传递的
因此得证S是等价关系。
）
课后习题：
p85：
5，6
p95：
3，4
p99：
4，5
p104：
2，4
p109：
2，5，7
p113：
4，6
p119：
1，6，8
p127：
2，7
p130：
1，2，4
p135：
2，3，4，
p139：
3，5
p145：
1，3，6
第四章函数
1．设映射
都是双射，求证
p151：
1，3，4，6
p156：
2，3，4
p164：
2
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