典型例题详解及中考数学专题练习全等与相似三角形.docx
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典型例题详解及中考数学专题练习全等与相似三角形
相似三角形例题解析
编辑：
启慧
为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。
若有疑问，请速与我们联系。
相似三角形是初中几何的重要∽。
分析：
关键在找“角相等”，除已知条件中已明
A确给出
BDFEGC的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2
角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
及由平BC∥（对顶
评注：
（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，
求证：
△ABC∽△BCD
分析：
证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共
而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一
用的方法。
证明：
∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=BCD角，种常∠
C=72°
又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°
∴△ABC∽△BCD
例3：
已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，
∠BCE=∠BAD
求证：
△DBE∽△
ABC
分析：
由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，
有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：
在△CBE和△ABD中，
∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD
∴△CBE∽△ABD∴BCBE=ABBD
即：
BCAB=BEBD
在△DBE和△ABC中
∠CBE=∠ABD,∠DBC公用
∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC
∴∠DBE=∠ABC且BCAB=BEBD
∴△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？
请证明你的
AD
结论。
分析：
本题要找出相似三角形，那么如何寻找相
B
似三角形呢？
下面我们来看一看相似三角形的
几种基本图形：
（1）如图：
称为“平行线型”的相似三角形
BCEFCE
（2）如图：
其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
A
E
1
B
DC
2B
A
4
D
EA
E
DC
BC
（3）如图：
∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA
解：
设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=2a，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且
AEEC
2EFAE
A
D
E
B
C
所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角似）
形相
注：
以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：
DFAC=BCFE
分析：
证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及
FE=BC：
AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：
证明：
过D点作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：
FE=BK：
BE
E
BF
KA
D
C
DF：
又∵AD=BE，∴DF：
FE=BK：
AD，而BK：
AD=BC：
AC
即DF：
FE=BC：
AC，∴DFAC=BCFE
例2：
已知：
如图，在△ABC中，∠BAC=90，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长
线于点D。
0
AE2ME求证：
（1）MA=MDME；
（2）2MDAD2
证明：
（1）∵∠BAC=90，M是BC的中点，
∴MA=MC，∠1=∠C，
∵DM⊥BC，
∴∠C=∠D=90-∠B，
∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，
∴△MAE∽△MDA，∴B00DAMCEMAME，MDMA
2∴MA=MDME，
（2）∵△MAE∽△MDA，∴AEMAAEME，ADMDADMA
AE2MAMEME∴2MDMAMDAD
评注：
（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。
本例第
（1）小题证明MA=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去2
寻觅与确定需证相似的三角形。
（2）本例的关键是证明△MAE∽△MDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：
命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB=ADAC。
2命题2如图，如果AB=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
2
ABD
例3：
如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：
AE：
ED=2AF：
FB。
分析：
图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。
怎样作？
观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：
ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，AEAFAE2AFAF。
与结论相比较，显然问题转化1DEDGEDFBBF2
为证DG1FB。
2
证明：
过D点作DG∥AB交FC于G
则△AEF∽△DEG。
（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）
AEAF
（1）DEDG
∵D为BC的中点，且DG∥BF
∴G为FC的中点
则DG为△CBF的中位线，DG1BF
（2）2
将
（2）代入
（1）得：
AEAF2AFDE1FBBF2
评注：
（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必
须注意紧扣与结论有关的线段。
（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例1：
已知：
如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且
∠AEF=∠FBDEBAF1。
求证：
ABAD3
分析：
要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，
本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角
所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，
证明：
作FG⊥BD，垂足为G。
设AB=AD=3k
则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=32k
∵∠ADB=45，∠FGD=90
∴∠DFG=45000AFDGE
BC
∴DG=FG=DF
22k
∴BG=32k2k22k∴AFFG1AEBG2
0又∠A=∠FGB=90
∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD
评注：
本例是通过构造一对相似三角形，而证明两个角相等，而证明两个三角形相似又运用
了代数法，设参数，计算边长，从而证明两个三角形的对应边成比例。
运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正三角形的条件时效果很好，同学们可以试试看。
例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，
求证：
SQ∥AB，RP∥BC
D
S
ABC
分析：
要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可
考虑用比例线段去证明。
利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。
要证明SQ∥AB，只需证明AR：
AS=BR：
DS。
证明：
在△ADS和△ARB中。
∵∠DAR=∠RAB=11∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC22
∴△ADS∽△ABRARBRASDS
但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则ARBR，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BCASBQ
例3、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且
AB∥ED，BC∥FE，求证：
AF∥CD
分析：
要证明AF∥CD，已知条件中有平行的
AC条件，
选择。
因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的
O
OAOF其实要证明AF∥CD，只要证明即可，OCOD
要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：
∵AB∥ED，BC∥FE∴BFD因此只OAOBOEOF，∴OEODOCOB
OAOFOCOD两式相乘可得：
例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：
FC=FG
C
AGBE
分析：
要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。
要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到FCFG（“？
”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。
?
?
证明：
∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF则有GFAFBEAE
而FC∥DE∴△AED∽△AFC则有CFAFGFCFAF∴DEAEBEDEAE
又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴DFGF，即GF=CF。
BEBE
例5、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，
A
求证：
AE=BF
ED证明：
∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴BAEACODCDC
又OF∥BC，∴BFABODAD
ACABAEBF，即CDADODOD又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴∴AE=BF。
评注：
应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，
（1）要注意如果相关的比例式较多，
一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。
（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。
变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。
由于时间关系，
2011中考数学一轮专题练习——全等与相似三角形
一、选择题：
（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列命题中是真命题的是„„„„„„„„„„„„„„„（）
（A）直角三角形都相似；（B）等腰三角形都相似；
（C）锐角三角形都相似；（D）等腰直角三角形都相似.
2．如果ABC∽A1B1C1，AB4,A1B16，那么ABC的周长和A1B1C1的周长之比是„„„„„„„„„„“„„„（）
A
（A）1:
3；（B）2:
3；（C）4:
9；（D）3:
2．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC
相交于点D、E，若EC1,AC3则DE︰BC的值为
（）.B第3题图DEC
（A）2131；（B）；（C）；（D）．3243
4.已知ABC≌DEF，若ABC的各边长分别3、4、5，DEF的最大角的度数是„„„„„„„„„„“„„„（）.
（A）30°；（B）60°；（C）90°；（D）120°.
5．在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（）．
（A）若DE//BC，则ADAEADAE；（B）若，则DE//BC；DBECDBEC
ADDEADDE；（D）若，则DE//BC.ABBCABBC（C）若DE//BC，则
6．在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，则DE∶BC等于„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）
（A）112；（B）；（C）；（D）．2332
二、填空题：
（本大题共12题，每4分，满分48分）
7.在ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE//BC，且DE=2，BC=5，CE=2，则AC=．
8.若△ABC∽△DEF，∠A=64°、∠B=36°则△DEF别中最小角的度数是___________．
9.如果线段AB=4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短线段BP=cm
10.若两个相似三角形的周长比是4：
9，则对应中线的
比是.
DC
11.如图，在等边△ABC中，AC9，点O在AC上，且
O
AO3，点P是AB上一动点，联接OP，以O为圆心，OP长
为半径画弧交BC于点D，联接PD，如果POPD，那么AP
的长是.
12.如图，将ABC沿直线BC平移到ABC，使点’’’AP第11题图B
‘‘B’和C重合，连结AC’交AC于点D，若ABC的面积是36，则CDC的面积
是.
13．如图，在△ABC中，P是AC上一点，
联结BP，要使△ABP∽△ACB，还需要补充一．
‘Ｂ
第13题图BC（B’）’
个条件.这个条件可以是．．
14.在平面直角坐标系．
15．如果两个相似三角形的对应角平分线的比是2︰3，其中较大的一个三角形的面积是36cm，那么另一个三角形的面积是_____________cm
16．如图,点D是RtABC的斜边AB上的点,DEBC,垂足为点E,DFAC,垂足为点F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是．
17.在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=3，BD=2，AC=10，EC=4，则SADE:
SABC18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，
E
B
D
第16题图
2
2
Ａ
D
第18题图
BC90，点F在BC边上，
AB8,CD2,BC10，若△ABF与△FCD相似，则CF
的长为．
三、简答题（本大题共4题，每小题10分，满分40分）
19．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作
AF∥BC交ED的延长线于点F，联结AE，CF．
求证：
（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FGBECEAE．
B
F
AD
E
C
20．如图，已知在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且ADABAEAC，
CD与BE相交于点O.
（1）求证：
AEB∽ADC；
（2）求证：
D
B
A
BODO
.COEO
E
21.如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CECA，联结AE，过点C作CFAE，垂足为点F，连结BF、FD.
（1）求证：
FBC≌FAD；
A
osFBD
（2）连结BD，若c
值.
3
，且BD10，求FC的5
E
F
B
22．已知：
如图，AM是△ABC的中线，∠DAM=∠BAM，CD∥AB．求证：
AB=AD+CD．
四、解答题（本大题共3题，23-24每题12分，25题14分，满分38分）
23.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为点D，E、F分别是
AC、BC边上的点，且CE
（1）求证：
11AC，BFBC.33ACCD；
（2）求EDF的度数.BCBDED
24.如图，直线y2xn（n＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B,SOAB16，抛物线yax2bx（a0）经过点A，顶点M在直线y2xn上．
（1）求n的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得
OPN和AMN相似，求点P的坐标．
25.已知在等腰三角形ABC中，ABBC4,AC6，D是AC的中点，E是BC上的动点（不与B、C重合），联结DE，过点D作射线DF，使EDFA，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.
（1）求证：
CED∽ADH；
（2）设ECx,BFy.
①用含x的代数式表示BH；
②求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.
H
E
CDAC
参考答案
一、选择题
1．D，2．B，3．A，4．C，5.D，6.C
二、填空题7.10；8．36°；9．（62）；10.4∶9；11.6；12．18；3
13．答案不惟一，ABPC（或APBABC或
14．（-1,2）；15．16；16.150；
17．9∶25；18．2或8；
三、解答题
19．证明:
（1）∵AF∥BC,∴AFDCED„„„„„„„1分备用图APAB2或ABAPAC）；ABAC
∵ADCD,ADFCDE
∴AFD≌CED„„„„„„„„2分∴FDED„„„„„„„„1分∴四边形AFCE是平行四边形„„„„„„„„1分
（2）∵四边形AFCE是平行四边形∴AFGAEC,AFCE„„„„„„„„1分∵AF∥BC,∴FAGEBA„„„„„„„„1分∴AFG∽BEA„„„„„„„„1分∴AFFG„„„„„„„„1分BEEA
CEFG∴即BEFGCEEA„„„„1分BEEA
ADAE„„„„„„1分ACAB20．证明：
（1）∵ADABAEAC,∴
又AA„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴AEB∽ADC„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
（2）∵AEB∽ADC∴ABEACD„„„„„„„„„„„„„„„„„2分∵DOBEOC„„„„„„„„„„„„„„„„„2分∴BOD∽COE„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴
21.
（1）证明：
CEAC,CFAE,∴AFEF„„„„„„„1分∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC,ABCBAD90„„„„„„„„„„„„„„„1分∴在RtABE中，BFAF„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴FBAFAB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴FADFBC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴FBC≌FAD„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分BODO„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分COEO
（2）∵FBC≌FAD,FCFD,BFCAFD„„„„„„„1分∴BFDBFCCFDAFDCFD90„„„„„„„„1分
3cosFBD,BD105
FD8„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分FC8„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
22．证明：
分别延长AM、CD相交于点N．
∵CD∥AB，∴∠BAM＝∠N．„„„„„„„„„„„2分
又∵∠BMA＝∠CMN，BM=CM，∴△ABM≌△NCM„„„„2分∴AB=CN．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∵∠BAM＝∠N，∠DAM＝∠BAM，∴∠DAM＝∠N．„2分∴AD=ND．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分∴AB=CN=AD＋CD．„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
四、
23.证明：
（1）∵ACB90，CDAB,
∴CDBACB90，„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分又BB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴ACB∽CDB„„„„“„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
ACBC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分CDBD
ACCD∴„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分BCBD
11
（2）∵CEAC,BFBC，33∴∴AC3CE,BC3BF„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分∴3CECDCE„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分3BFBDBF
∵BBCDECDBCD90，
∴BACD„„„„„“„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
∴ECD∽FBD„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
∴EDCFDB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
∵FDBCDF90,
∴EDFEDCCDF90„„„„„„„„„„„„„„„1分
24.（本题满分12）
解:
（1）∵直线y2xn与x轴、y轴分别交于点A、B,
0）、B（0，n）∴A（，,„„„„„„„„„„„1分
∵n＞0，∴OA
∴SOABn2n,OBn211nOAOBn16„„„„„„„„„„„1分222
解得，n18,n28（舍去）
∴n8„„„„„„„„„„„1分
（2）方法一：
由
（1）得，y2x8，∴A（4,0）„„„„„„„„„„„1分
bb2
）∵抛物线yaxbx的顶点M（2a4a2∵抛物线yax2bx的顶点M在直线y2x8上
又抛物线yax2bx经过点A16a4b02∴-b2（b）82a4aa1解得，b4„„„„„„„„„2分
2∴抛物线的解析式为：
yx4x„„„„„„„„„„„1分
方法二：
由
（1）得，y2x8，∴A（4,0）„„„„„„„„„„„1分22当x0时，yaxbxa0b00
2∴抛物线yaxbx经过原点O（0,0）
∴抛物线yax2bx的对称轴是直线x2设抛物线yax2bx的顶点M（2,y）∵顶点M在直线y2x8上∴y2284，∴M（2,4）„„„„„„„„„„1分设抛物线ya（x2）24
∵抛物线过原点O（0,0）∴a（02）240解得，a1„„1分∴抛物线的解析式为：
yx24x（或y（x2）24）„„1分
（3）由
（2）可得，抛物线yx24x的对称轴是直线x2得N（2,0）
∵N（2,0）、M（2,4）、A（4,0）
ANM90，且AN2，MN4在RtAMN中，
在RtONP中，ONP90，且ON2
∴当PNAN1ONA
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