典型例题详解及中考数学专题练习全等与相似三角形.docx

1、典型例题详解及中考数学专题练习全等与相似三角形 相似三角形例题解析编辑：启慧为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。相似三角形是初中几何的重要 。分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明A确给出BDFEGC的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由AD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。 及由平BC（对顶评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有

2、两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C是公共而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一用的方法。证明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=BCD角，种常C=72又BD平分ABC，则DBC=36在ABC和BCD中，C为公共角，A=DBC=36ABCBCD例3：已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC 分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC

3、，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD BCBE= ABBD 即：BCAB= BEBD在DBE和ABC中CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC 且BCAB= BEBDDBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的AD结论。分析：本题要找出相

4、似三角形，那么如何寻找相B似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 BCEFCE(2)如图：其中1=2，则ADEABC称为“相交线型”的相似三角形。 AE1BDC2BA4DEAEDCBC (3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a， 由勾股定理可求得AE=2a， 在EAF与ECA中，AEF为公共角，且AEEC 2 EFAEADEBC所以EAFECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角似

5、）形相注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF AC=BC FE 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：证明：过D点作DKAB，交BC于K， DKAB，DF：FE=BK：BE EBFKADCDF：又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DF AC=BC FE 例2：已知：如图，在ABC中，BAC=90，M是

6、BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。 0AE2ME 求证：（1）MA=MD ME；（2） 2MDAD2证明：（1）BAC=90，M是BC的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=90-B，1=D，2=2，MAEMDA， B00DAMCEMAME ， MDMA2MA=MD ME，（2）MAEMDA， AEMAAEME ， ADMDADMAAE2MAMEME 2MDMAMDAD评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证明MA=MD ME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去2寻觅与确定需证相似的三角形。（2）本例的

7、关键是证明MAEMDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解： 命题1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB=AD AC。 2命题2 如图，如果AB=AD AC，那么ABDACB，1=2。 2ABD 例3：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，AEAFAE2AFAF 。与结论相

8、比较，显然问题转化 1DEDGEDFBBF2为证DG 1FB。 2证明：过D点作DGAB交FC于G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） AEAF （1） DEDGD为BC的中点，且DGBFG为FC的中点则DG为CBF的中位线，DG 1BF （2） 2将（2）代入（1）得：AEAF2AF DE1FBBF2评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及

9、时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且AEF=FBD EBAF1 。求证：ABAD3分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作FGBD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k， BD=32kADB=45

10、，FGD=90DFG=45 000AFDGEBCDG=FG=DF2 2kBG=32k 2k 22k AFFG1 AEBG20又A=FGB=90AEFGBF AEF=FBD评注：本例是通过构造一对相似三角形，而证明两个角相等，而证明两个三角形相似又运用了代数法，设参数，计算边长，从而证明两个三角形的对应边成比例。运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正三角形的条件时效果很好，同学们可以试试看。例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQAB，RPBC DSABC分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比

11、例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQAB，只需证明AR：AS=BR：DS。证明：在ADS和ARB中。DAR=RAB=11DAB，DCP=PCB=ABC 22ADSABR ARBR ASDS但ADSCBQ，DS=BQ， 则ARBR，SQAB，同理可证，RPBC ASBQ例3、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD分析：要证明AFCD，已知条件中有平行的AC条件，选择。因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的OOAOF 其实要证明AFCD，只要证明即可，OCOD要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功

12、。证明：ABED，BCFE BFD因此只OAOBOEOF ， OEODOCOBOAOF OCOD 两式相乘可得：例4、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG CAGBE分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到FCFG （“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。 ?证明： FGACBE，ABEAGF 则有

13、GFAF BEAE而FCDE AEDAFC 则有CFAFGFCFAF DEAEBEDEAE又BE=DE（正方形的边长相等） DFGF ，即GF=CF。 BEBE例5、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，A求证：AE=BFED证明：CO平分C，2=3， 故RtCAERtCDO，BAEAC ODCDC又OFBC，BFAB ODADACABAEBF ，即 CDADODOD又RtABDRtCAD，AE=BF。评注：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比

14、、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。由于时间关系， 2011中考数学一轮专题练习全等与相似三角形一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列命题中是真命题的是（ ）（A）直角三角形都相似； （B）等腰三角形都相似；（C）锐角三角形都相似； （D）等腰直角三角形都相似.2如果 ABC A1B1C1，AB 4,A1B1 6，那么 ABC的周长和 A1B1C1的周长之比是“（ ）A（A）1:3 ； （B）2:3 ； （C）4:9；

15、 （D）3:23如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若EC 1,AC 3则DEBC的值为（ ）. B第3题图DEC （A）2131 ； （B） ； （C）； （D）32434. 已知 ABC DEF，若 ABC的各边长分别3、4、5， DEF的最大角的度数是“ ( ).(A) 30； (B) 60 ； (C) 90 ； (D) 120.5在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ ）（A）若DE/BC，则 ADAEADAE ； （B）若，则 DE/BC； DBECDBECADDEADDE ； （D）若，则DE/BC . ABBCABBC（C）若

16、DE/BC，则6在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，且DE平分ABC的面积，则DEBC等于 ( )（A）112； （B）； （C）； （D） 2332二、填空题：（本大题共12题，每4分，满分48分）7. 在 ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE/BC，且DE=2，BC=5，CE=2，则AC = 8.若ABCDEF，A=64、B=36则DEF别中最小角的度数是_9. 如果线段AB=4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短线段BP= cm10. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是 .DC11.如图，在等边ABC中，AC 9，点O在AC上，且OAO 3，

17、点P是AB上一动点，联接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D， 联接PD，如果PO PD，那么AP的长是 .12. 如图，将 ABC沿直线BC平移到 ABC，使点AP第11题图BB和C重合，连结AC交AC于点D，若 ABC的面积是36，则 CDC的面积是 .13如图，在ABC中，P是AC上一点，联结BP，要使ABPACB，还需要补充一第13题图 BC(B)个条件.这个条件可以是 14. 在平面直角坐标系 15如果两个相似三角形的对应角平分线的比是23，其中较大的一个三角形的面积是36cm，那么另一个三角形的面积是_cm16如图,点D是Rt ABC的斜边AB上的点,DE BC, 垂足为

18、点E,DF AC, 垂足为点F,若AF=15,BE=10, 则四边形DECF的面积是 17.在ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=3，BD=2 ，AC=10，EC=4，则S ADE:S ABC 18 如图，梯形ABCD中，ABCD，EBD第16题图22 D第18题图 B C 90 ，点F在BC边上，AB 8,CD 2,BC 10，若ABF与FCD相似，则CF的长为 三、简答题（本大题共4题，每小题10分，满分40分）19 如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AFBC交ED的延长线于点F，联结AE，CF求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG BE

19、 CE AE BF A DEC 20如图，已知在 ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD AB AE AC，CD与BE相交于点O.（1）求证： AEB ADC； （2）求证：DBABODO . COEOE21.如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE CA，联结AE，过点C作CF AE，垂足为点F，连结BF、FD. （1）求证： FBC FAD；Aos FBD （2）连结BD，若c值.3，且BD 10，求FC的5EFB22已知：如图，AM是ABC的中线，DAM=BAM，CDAB 求证：AB=AD+CD四、解答题（本大题共3题，23-24每题12分，25题14分，满分38分

20、） 23. 如图，在Rt ABC中， ACB 90，CD AB，垂足为点D，E、F分别是 AC、BC边上的点，且CE （1）求证： 11AC，BF BC. 33ACCD ；（2）求 EDF的度数. BCBD E D24.如图，直线y 2x n(n0)与x轴、y轴分别交于点A、B,S OAB 16，抛物线y ax2 bx(a 0)经过点A，顶点M在直线y 2x n上（1）求n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得 OPN和 AMN相似，求点P的坐标 25. 已知在等腰三角形ABC中，AB BC 4,AC 6，D是AC的中点， E是BC上

21、的动点（不与B、C重合），联结DE，过点D作射线DF，使 EDF A，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.（1）求证： CED ADH； （2）设EC x,BF y.用含x的代数式表示BH；求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.HECDA C 参考答案一、选择题1D， 2B， 3A，4 C， 5. D， 6. C二、填空题 7. 10；836；9(6 2)； 10. 49； 11. 6； 12 18； 313答案不惟一， ABP C（或 APB ABC或14(-1,2)； 1516； 16. 150；17 925； 182或8；三、解答题19证明:(1) AFBC, AFD CED

22、 1分 备用图APAB2 或AB AP AC）； ABAC AD CD, ADF CDE AFD CED 2分 FD ED 1分 四边形AFCE是平行四边形 1分(2) 四边形AFCE是平行四边形 AFG AEC,AF CE 1分 AFBC, FAG EBA 1分 AFG BEA 1分 AFFG 1分 BEEACEFG 即 BE FG CE EA 1分 BEEAADAE 1分 ACAB 20 证明：（1）AD AB AE AC,又 A A1分 AEB ADC1分（2） AEB ADC ABE ACD2分 DOB EOC2分 BOD COE1分 21.（1）证明： CE AC,CF AE,AF

23、EF 1分 四边形ABCD是矩形，AD BC, ABC BAD 90 1分 在Rt ABE中，BF AF 1分 FBA FAB 1分 FAD FBC 1分 FBC FAD 1分 BODO 2分 COEO（2） FBC FAD, FC FD, BFC AFD 1分 BFD BFC CFD AFD CFD 90 1分3 cos FBD ,BD 10 5 FD 8 1分 FC 8 1分22证明：分别延长AM、CD相交于点NCDAB，BAMN2分又BMACMN，BM=CM，ABMNCM2分 AB=CN 1分 BAMN，DAMBAM，DAMN2分 AD=ND2分 AB=CN=ADCD1分四、 23. 证

24、明：（1） ACB 90，CD AB, CDB ACB 90，1分 又 B B1分 ACB CDB“1分 ACBC 1分 CDBDACCD 1分 BCBD11（2）CE AC,BF BC， 33AC 3CE,BC 3BF1分 3CECDCE 2分 3BFBDBF B BCD ECD BCD 90， B ACD“1分 ECD FBD 1分 EDC FDB1分 FDB CDF 90, EDF EDC CDF 901分 24. （本题满分12）解:(1) 直线y 2x n与x轴、y轴分别交于点A、B,0)、B（0，n） A(，, 1分 n0， OA S OABn2n,OB n 211n OA OB

25、n 16 1分 222解得，n1 8,n2 8（舍去） n 8 1分（2）方法一：由（1）得，y 2x 8， A(4,0) 1分bb2, ) 抛物线y ax bx的顶点M( 2a4a2 抛物线y ax2 bx的顶点M在直线y 2x 8上又 抛物线y ax2 bx经过点A 16a 4b 0 2-b 2 ( b) 8 2a 4aa 1 解得，b 4 2分2 抛物线的解析式为：y x 4x 1分方法二： 由（1）得，y 2x 8， A(4,0) 1分 22 当x 0时，y ax bx a 0 b 0 02 抛物线y ax bx经过原点O(0,0) 抛物线y ax2 bx的对称轴是直线x 2 设抛物线y ax2 bx的顶点M(2,y) 顶点M在直线y 2x 8上 y 2 2 8 4， M(2,4) 1分 设抛物线y a(x 2)2 4 抛物线过原点O(0,0) a(0 2)2 4 0 解得，a 11分 抛物线的解析式为：y x2 4x（或y (x 2)2 4） 1分（3）由（2）可得，抛物线y x2 4x的对称轴是直线x 2 得N(2,0)N(2,0)、M(2,4)、A(4,0) ANM 90 ，且AN 2，MN 4 在Rt AMN中，在Rt ONP中， ONP 90 ，且ON 2 当PNAN1ONA