届广东省广州市高三毕业班综合测试二理科数学试题及答案.docx
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届广东省广州市高三毕业班综合测试二理科数学试题及答案
试卷类型：
A
广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（理科）
4
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
球的表面积公式，其中是球的半径．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．已知，则下列不等关系式中正确的是
A．B．C．D．
3．已知函数则
A．B．C．D．
4．函数的图象的一部分如图1所示，
则此函数的解析式为
A．B．
C．D．
5．已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为
A．B．C．D．
6．如图2，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A．B．
C．D．
7．已知两定点，，若直线上存在点，使得，则称直线为“型直线”．给出下列直线：
①；②；③；④；⑤．其中是“型直线”的条数为
A．1B．2C．3D．4
8．设是函数的图象上一点，向量，，且.数列
是公差不为0的等差数列，且，则
A.0B.9C.18D.36
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．已知为虚数单位，复数，则．
10．执行如图3所示的程序框图，则输出的的值是．
11．已知，若，则．
12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．
13．在边长为1的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图4，在平行四边形中，，点为边的中点，
与的延长线交于点，且平分，作，
垂足为，若，则的长为．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系中，已知曲线和的方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和的交点有个．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知△的三边，，所对的角分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若△的面积为，求△外接圆半径的大小．
17．（本小题满分12分）
某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示．
组号
年龄
分组
答对全卷
的人数
答对全卷的人数
占本组的概率
1
[20,30）
28
2
[30,40）
27
0.9
3
[40,50）
5
0.5
4
[50,60]
0.4
（1）分别求出，，，的值；
（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记为第3组被授予“环保之星”的人数，求的分布列与数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图5，已知六棱柱的侧棱
垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，，分别
是棱，上的点，且．
（1）证明：
，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知点在直线：
上，是直线与轴的交点，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：
．
20．（本小题满分14分）
已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）由圆上的动点向圆作两条切线分别交轴于，两点，求的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数，（其中为自然对数的底数）．
（1）若函数在区间内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数的图象上有两点，，过点，作图象的切线分别记为，，设与的交点为，证明．
广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
B
C
C
二、填空题：
本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案
1
32
30
16．（本小题满分12分）
解：
（1）因为，
所以可设，，，…………………………………………………………2分
由余弦定理得，
…………………………………………………………3分
．………………………………………………………………………………………………4分
（2）由
（1）知，，
因为是△的内角，
所以．………………………………………………………………………6分
由
（1）知，，
因为△的面积为，所以，……………………………………………8分
即，
解得．…………………………………………………………………………………………10分
由正弦定理，即，…………………………………………………11分
解得．
所以△外接圆半径的大小为．…………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：
（1）根据频率直方分布图，得，
解得．……………………………………………………………………………………………1分
第3组人数为，所以．…………………………………………………2分
第1组人数为，所以．……………………………………………3分
第4组人数为，所以．……………………………………………4分
（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为，
所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分
依题意的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分
，…………………………………………………………………………………7分
，………………………………………………………………………………8分
，………………………………………………………………………………9分
所以的分布列为：
0
1
………………………………………10分
2
所以．………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
第
（1）问用几何法，第
（2）问用向量法：
（1）证明：
连接，，，，
在四边形中，且，
在四边形中，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以．………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．…………………………………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．………………………………………………………………………6分
（2）解：
以点为坐标原点，，，所在的直线
分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，，…………………………8分
则，，
．……………………………………………………………………………………10分
设是平面的法向量，
则
即
取，则，．
所以是平面的一个法向量．………………………………………………12分
设直线与平面所成的角为，
则
．
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
第
（1）
（2）问均用向量法：
（1）证明：
以点为坐标原点，，，所在的直线
分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，，，……………2分
所以，．………………3分
因为，且与不重合，
所以．…………………………………………5分
所以，，，四点共面．………………………………………………………………………6分
（2）解：
由
（1）知，，．………………10分
（特别说明：
由于给分板
（1）6分
（2）8分，相当于把
（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）
设是平面的法向量，
则
即
取，则，．
所以是平面的一个法向量．………………………………………………12分
设直线与平面所成的角为，
则
．
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
第
（1）
（2）问均用几何法：
（1）证明：
连接，，，，
在四边形中，且，
在四边形中，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以．………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．…………………………………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．………………………………………………………………………6分
（2）连接，因为，
所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．…………………7分
连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
则．……………………………………………………………………………………………8分
因为，即．…………………………………………9分
在边长为3的正六边形中，，，
在△中，，，，
由余弦定理可得，．
在△中，，，所以．
在△中，，，所以．
在△中，，，，
由余弦定理可得，，所以．
所以．…………………………………………………11分
又，……………………………………………………………………………………………12分
所以．…………………………………………………………………………13分
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1）解：
因为是直线：
与轴的交点，
所以，．……………………………………………………………………………………2分
因为数列是公差为1的等差数列，
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