届北师大版 空间几何体单元测试.docx
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届北师大版空间几何体单元测试
第13练 空间几何体
1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
答案 D
解析 被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条棱为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D项符合.
2.（2017·全国Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A.90πB.63πC.42πD.36π
答案 B
解析 方法一 （割补法）如图所示，由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×
＝63π.
故选B.
方法二 （估值法）由题意知，
V圆柱＜V几何体＜V圆柱.
又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.
观察选项可知只有63π符合.
故选B.
3.如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是（ ）
答案 D
解析 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正（主）视图和侧（左）视图可知选项D正确.
4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正（主）视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）
A.2
B.
C.
D.1
答案 C
解析 由直观图、正（主）视图以及俯视图可知，侧（左）视图是宽为
，长为1的长方形，所以面积S＝
×1＝
，故选C.
5.已知正三棱锥V－ABC的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧（左）视图的面积是________.
答案 6
解析 如图，由俯视图可知正三棱锥底面边长为2
，
则AO＝
×2
sin60°＝2.
所以VO＝
＝2
，
则VA′＝2
.
所以该正三棱锥的侧（左）视图的面积为
×2
×2
＝6.
6.（2016·北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.1
答案 A
解析 由三视图知，三棱锥如图所示.由侧（左）视图得高h＝1，
又底面积S＝
×1×1＝
，
所以体积V＝
Sh＝
.
7.（2017·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是（ ）
A.
＋1B.
＋3
C.
＋1D.
＋3
答案 A
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面是直角边长为
的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积为V＝
×
π×12×3＋
×
×
×
×3＝
＋1.
故选A.
8.已知某几何体的三视图如图所示，其正（主）视图和侧（左）视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）
A.2B.1C.
D.
答案 C
解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝
×1×1×1＝
，故选C.
9.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为______.
答案 2
解析 由题可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1截去四棱锥A－BEDC得到的，故其体积V＝
×22×
×3－
×
×2×
＝2
.
10.（2017·山东）由一个长方体和两个
圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.
答案 2＋
解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的
圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2×
×π×12×1＝2＋
.
11.（2017·全国Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A.πB.
C.
D.
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，
由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r＝
＝
.
∴圆柱的体积为V＝πr2h＝
π×1＝
.
故选B.
12.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A.
cm3B.
cm3C.
cm3D.
cm3
答案 A
解析 过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，
在Rt△OAB中，OA＝（R－2）cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，
由R2＝（R－2）2＋42，得R＝5，
∴V球＝
πR3＝
π（cm3）.
故选A.
13.（2016·全国Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（ ）
A.4πB.
C.6πD.
答案 B
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为
.
14.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A.
B.16πC.9πD.
答案 A
解析 由图知，R2＝（4－R）2＋2，
∴R2＝16－8R＋R2＋2，
∴R＝
.
∴S表＝4πR2＝4π×
＝
，故选A.
15.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.
答案
解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，
则V圆锥＝
·πa2·
a＝
πa3.
又R2＝a2＋（
a－R）2，所以R＝
a，
故V球＝
·
3＝
πa3，
故其体积比值为
.
1.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正（主）视图与侧（左）视图的面积之比为（ ）
A.1∶1B.2∶1C.2∶3D.3∶2
答案 A
解析 由题意可得正（主）视图的面积等于矩形ADD1A1面积的
，侧（左）视图的面积等于矩形CDD1C1面积的
.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正（主）视图与侧（左）视图的面积之比是1∶1.
2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正（主）视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于（ ）
A.1B.2C.4D.8
答案 B
解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝
×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝（5π＋4）r2.又S＝16＋20π，∴（5π＋4）r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.
3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A.36πB.64πC.144πD.256π
答案 C
解析 易知△AOB的面积确定，若三棱锥O－ABC的底面OAB的高最大，则其体积才最大.因为高最大为半径R，所以VO－ABC＝
×
R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.
解题秘籍
（1）三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征.
（2）多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合.
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为
S＝2×
π×12＋
×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2.（2016·山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
＋
πB.
＋
πC.
＋
πD.1＋
π
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝
，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝
×1×1×1＋
×
π×
3＝
＋
π，故选C.
3.（2016·全国Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
，则它的表面积是（ ）
A.17πB.18πC.20πD.28π
答案 A
解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被过球心O且互相垂直的三个平面）切掉左上角的
后得到的组合体，其表面积是球面面积的
和三个
圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝
×4π×22＋3×
π×22＝17π，故选A.
4.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为（ ）
A.2B.
C.
D.
答案 D
解析 多面体ABCDE为四棱锥（如图），利用割补法可得其体积V＝4－
＝
，故选D.
5.一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正（主）视图的是（ ）
A.①②B.①③C.③④D.②④
答案 D
解析 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线（对应6种不同的展开方式），若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正（主）视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正（主）视图为④.而其他几种展开方式对应的正（主）视图在题中没有出现.故选D.
6.在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2
，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为（ ）
A.6πB.12πC.32πD.36π
答案 B
解析 因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2
，所以SA＝SB＝SC＝2，所以（2R）2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.
7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A.8－2πB.8－π
C.8－
D.8－
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝
×2＝8－π.
8.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
πB.
πC.
πD.
π
答案 D
解析 作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，由正方体的性质知，B1G1＝
，则在Rt△OB1G1中，OB
＝G1B
＋OG
，即（2－x）2＝x2＋
2，解得x＝
，所以球的半径R＝OB1＝
，所以球的表面积为S＝4πR2＝
π，故选D.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
答案
解析 设新的底面半径为r，由题意得
πr2×4＋πr2×8＝
π×52×4＋π×22×8，解得r＝
.
10.如图，侧棱长为2
的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________.
答案 6
解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，
则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.
在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6.
11.如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________.
答案 4－
解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，所以长方体的体积为2×2×1＝4，半球的体积为
×
π×13＝
，所以该几何体的体积是4－
.
12.（2017·全国Ⅰ）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
答案 36π
解析 如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径知，OA⊥SC，OB⊥SC.
又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S－ABC的体积V＝
×
·OA＝
，
即
＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.
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