第一讲机械振动学生版.docx
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第一讲机械振动学生版
第1讲:
机械振动
基础知识强化理解:
一、 简谐运动的规律
简谐运动的运动规律:
x=Asin(ωt+φ)
(1)变化规律
位移增大时
(2)对称规律
①做简谐运动的物体,在关于平衡位置对称的两点,回复力、位移、加速度具有等大反向的关系,另外速度的大小、动能具有对称性,速度的方向可能相同或相反.
②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等,如tBC=tCB;振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,如tBC=tB′C′,如图1所示.
图1
(3)运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同.
二、 简谐运动的图象
1.简谐运动的图象
图象
横轴
表示振动时间
纵轴
表示某时刻质点的位移
物理意义
表示振动质点的位移随时间的变化规律
2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期.
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向.
①回复力和加速度的方向:
因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.
②速度的方向:
速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增大,振动质点的速度方向就是远离t轴,若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向t轴.
强化理解例题:
例1
如图2所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间是1s,则下列说法中正确的是( )
图2
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
例2
一质点做简谐运动,其位移和时间的关系如图3所示.
图3
(1)求t=0.25×10-2s时质点的位移;
(2)在t=1.5×10-2s到t=2×10-2s的振动过程中,质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化?
(3)在t=0到t=8.5×10-2s时间内,质点的路程、位移各多大?
变式强化题组:
1.关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系,下列说法中正确的是( )
A.位移减小时,加速度减小,速度也减小
B.位移方向总是与加速度方向相反,与速度方向相同
C.物体的运动方向指向平衡位置时,速度方向与位移方向相反;背离平衡位置时,速度方向与位移方向相同
D.物体向负方向运动时,加速度方向与速度方向相同;向正方向运动时,加速度方向与速度方向相反
2.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin
t,则质点( )
A.第1s末与第3s末的位移相同
B.第1s末与第3s末的速度相同
C.3s末至5s末的位移方向都相同
D.3s末至5s末的速度方向都相同
3.弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.3s,第一次到达点M,再经过0.2s第二次到达点M,则弹簧振子的周期为( )
A.0.53sB.1.4sC.1.6sD.3s
4.一质点做简谐运动的振动图象如图4所示,质点的速度方向与加速度方向相同的时间段是( )
图4
A.0~0.3s
B.0.3~0.6s
C.0.6~0.9s
D.0.9~1.2s
5.如图5甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是( )
图5
A.t=0.8s时,振子的速度方向向左
B.t=0.2s时,振子在O点右侧6cm处
C.t=0.4s和t=1.2s时,振子的加速度完全相同
D.t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子的速度逐渐减小
6.如图6所示为一弹簧振子的振动图象,试完成以下问题:
图6
(1)写出该振子简谐运动的表达式;
(2)在第2s末到第3s末这段时间内,弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的?
(3)该振子在前100s的总位移是多少?
路程是多少?
对“理想化模型”的理解
(1)确定振动质点在任一时刻的位移,如图7所示,对应t1、t2时刻的位移分别为x1=7cm,x2=-5cm.
图7
(2)确定振动的振幅,图象中最大位移的值就是振幅,如图所示,振动的振幅是10cm.
(3)确定振动的周期和频率,振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.
由图可知,OD、AE、BF的间隔都等于振动周期,T=0.2s,频率f=1/T=5Hz.
(4)确定各质点的振动方向,例如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向正方向运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动.
(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻质点位移x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
三、单摆周期公式的应用
1.受力特征:
重力和细线的拉力
(1)回复力:
摆球重力沿切线方向上的分力,F=mgsinθ=-
x=-kx,负号表示回复力F与位移x的方向相反.
(2)向心力:
细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcosθ.
特别提醒 ①当摆球在最高点时,F向=
=0,FT=mgcosθ.
②当摆球在最低点时,F向=
,F向最大,FT=mg+m
.
2.周期公式:
T=2π
,f=
(1)只要测出单摆的摆长l和周期T,就可以根据g=
,求出当地的重力加速度g.
(2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长,悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心.
(3)g为当地的重力加速度.
四、受迫振动和共振的应用
1.受迫振动
(1)概念:
振动系统在周期性外力作用下的振动.
(2)特点:
受迫振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.
2.共振
(1)现象:
当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大.
(2)条件:
驱动力的频率等于系统的固有频率.
(3)特征:
共振时振幅最大.
(4)共振曲线:
如图11所示.
图11
3.自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱
T驱=T0或f驱=f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
强化理解例题:
例1
如图8甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置.设向右为正方向.图乙是这个单摆的振动图象.根据图象回答:
图8
(1)单摆振动的频率是多大?
(2)开始时摆球在何位置?
(3)若当地的重力加速度为10m/s2,试求这个摆的摆长是多少?
(计算结果保留两位有效数字)
例2
一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子,如图12甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动,匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子以驱动力,使振子做受迫振动,把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期,若保持把手不动,给砝码一个向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图线如图乙所示,当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图线如图丙所示,若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅,则( )
图12
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4s附近时,y显著增大;当T比4s小得多或大得多时,y很小
D.当T在8s附近时,y显著增大;当T比8s小得多或大得多时,y很小
变式强化题组:
1.做简谐振动的单摆摆长不变,若摆球质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2,则单摆振动的( )
A.频率、振幅都不变B.频率、振幅都改变
C.频率不变、振幅改变D.频率改变、振幅不变
2.如图9所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子,使OO′=
,将单摆拉至A处释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°,则此摆的周期是( )
图9
A.2π
B.2π
C.2π(
+
)D.π(
+
)
3.如图10所示,光滑圆弧槽半径为R,A为圆弧的最低点,圆弧的最高点到A的距离远小于R.两个可视为质点的小球B和C都由静止开始释放,要使B、C两球在点A相遇,问点B到点A的距离H应满足什么条件?
图10
4.如图13所示,A球振动后,通过水平细绳迫使B、C振动,振动达到稳定时,下列说法中正确的是( )
图13
A.只有A、C的振动周期相等
B.C的振幅比B的振幅小
C.C的振幅比B的振幅大
D.A、B、C的振动周期相等
5.个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图14所示,则( )
图14
A.此单摆的固有周期约为0.5s
B.此单摆的摆长约为1m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
课堂强化练习
1.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20cm,周期为3.0s.当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过10cm时,游客能舒服地登船.在一个周期内,游客能舒服地登船的时间是( )
A.0.5sB.0.75s
C.1.0sD.1.5s
2.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin(2.5πt),位移y的单位为m,时间t的单位为s,则( )
A.弹簧振子的振幅为0.2m
B.弹簧振子的周期为1.25s
C.在t=0.2s时,振子的运动速度为零
D.在任意0.2s时间内,振子的位移均为0.1m
3.一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、B两点,历时1s,质点通过B点后再经过1s又第2次通过B点,在这两秒钟内,质点通过的总路程为12cm,则质点的振动周期和振幅分别是( )
A.3s,6cmB.4s,6cm
C.4s,9cmD.2s,8cm
4.一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图15所示,已知弹簧的劲度系数为20N/cm,则( )
图15
A.图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5N,方向指向x轴的负方向
B.图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C.在0~4s内振子做了1.75次全振动
D.在0~4s内振子通过的路程为3.5cm
课后强化练习
一、单项选择题
1.弹簧振子以O点为平衡位置,在水平方向上的A、B两点间做简谐运动,以下说法正确的是( )
A.振子在A、B两点时的速度和加速度均为零
B.振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C.振子的加速度方向总跟速度方向相反
D.振子离开O点的运动总是减速运动,靠近O点的运动总是加速运动
2.如图1甲所示,水平的光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动,设向右为正方向,其振动图象如图乙所示.由振动图象可知( )
图1
A.振子的振动周期等于t1
B.在t=0时刻,振子的位置在a点
C.在t=t1时刻,振子的速度为零
D.从t1到t2,振子正从O点向b点运动
3.如图2所示,在曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把,让振子自由上下振动,测得其频率为2Hz;然后以60r/min的转速匀速转动摇把,当振子振动稳定时,它的振动周期为( )
图2
A.0.25sB.0.5s
C.1sD.2s
4.一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反,则Δt一定等于
的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=
,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
5.一个做简谐振动的弹簧振子,周期为T,振幅为A,已知振子从平衡位置第一次运动到x=
处所用的最短时间为t1,从最大的正位移处第一次运动到x=
处所用的最短时间为t2,那么t1与t2的大小关系是( )
A.t1=t2B.t1<t2
C.t1>t2D.无法判断
6.如图3所示,圆弧AO是半径为2m的光滑圆弧面的一部分,圆弧与水平面相切于点O,AO弧长为10cm,现将一小球先后从圆弧的点A和点B无初速度地释放,到达底端O的速度分别为v1和v2,所经历的时间分别为t1和t2,那么( )
图3
A.v1<v2,t1<t2B.v1>v2,t1=t2
C.v1>v2,t1>t2D.上述三种都有可能
二、多项选择题
7.如图4所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象,下列说法中正确的是( )
图4
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆大
C.甲摆的机械能比乙摆大
D.在t=0.5s时有正向最大加速度的是乙摆
E.由图象可以求出当地的重力加速度
8.一根用绝缘材料制成的轻弹簧,劲度系数为k,一端固定,另一端与质量为m、电荷量为+q的小球相连,静止在光滑绝缘的水平面上,当施加一水平向右的匀强电场E后(如图5所示),小球开始做简谐运动,关于小球运动下列说法中正确的是( )
图5
A.球的速度为零时,弹簧伸长
B.球做简谐运动的振幅为
C.运动过程中,小球的机械能守恒
D.运动过程中,小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为零
9.如图6所示为一个竖直放置的弹簧振子,物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,A点位置恰好为弹簧的原长.物体由C点运动到D点(C、D两点未在图上标出)的过程中,弹簧的弹性势能增加了3.0J,重力势能减少了2.0J.对于这段过程说法正确的是( )
图6
A.物体的动能增加1.0J
B.C点的位置可能在平衡位置以上
C.D点的位置可能在平衡位置以上
D.物体经过D点的运动方向可能指向平衡位置
10.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x随时间t变化的关系为x=Asinωt,振动图象如图7所示,下列说法正确的是( )
图7
A.弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B.第3s末振子的位移大小为
A
C.从第3s末到第5s末,振子的速度方向发生变化
D.从第3s末到第5s末,振子的加速度方向发生变化
三、非选择题
11.如图8所示,质量M=0.5kg的框架B放在水平地面上,劲度系数k=100N/m的轻弹簧竖直放在框架B中,轻弹簧的上端和质量m=0.2kg的物体C连在一起,轻弹簧的下端连在框架B的底部,物体C在轻弹簧的上方静止不动,现将物体C竖直向下缓慢压下距离x=0.03m后释放,物体C就在框架B中沿竖直方向做简谐运动,在运动的过程中,框架B始终没有离开地面,物体C始终不碰撞框架B的顶部,已知重力加速度g取10m/s2.求当物体C运动到最低点时,物体C的加速度和此时物体B对地面的压力.