第一讲机械振动学生版.docx

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第一讲机械振动学生版

第1讲：

机械振动

基础知识强化理解：

一、　简谐运动的规律

简谐运动的运动规律：

x＝Asin（ωt＋φ）

（1）变化规律

位移增大时

（2）对称规律

①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系，另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．

②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图1所示．

图1

（3）运动的周期性特征

相隔T或nT的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同．

二、　简谐运动的图象

1．简谐运动的图象

图象

横轴

表示振动时间

纵轴

表示某时刻质点的位移

物理意义

表示振动质点的位移随时间的变化规律

2.振动图象的信息

（1）由图象可以看出振幅、周期．

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．

（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．

①回复力和加速度的方向：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．

②速度的方向：

速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增大，振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．

强化理解例题：

例1

　如图2所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（　　）

图2

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1s，振幅是10cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm

例2

　一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图3所示．

图3

（1）求t＝0.25×10－2s时质点的位移；

（2）在t＝1.5×10－2s到t＝2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？

（3）在t＝0到t＝8.5×10－2s时间内，质点的路程、位移各多大？

变式强化题组：

1．关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是（　　）

A．位移减小时，加速度减小，速度也减小

B．位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同

C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同

D．物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反

2．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

t，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．3s末至5s末的位移方向都相同

D．3s末至5s末的速度方向都相同

3．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期为（　　）

A．0.53sB．1.4sC．1.6sD．3s

4．一质点做简谐运动的振动图象如图4所示，质点的速度方向与加速度方向相同的时间段是（　　）

图4

A．0～0.3s

B．0.3～0.6s

C．0.6～0.9s

D．0.9～1.2s

5．如图5甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

图5

A．t＝0.8s时，振子的速度方向向左

B．t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处

C．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同

D．t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小

6.如图6所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：

图6

（1）写出该振子简谐运动的表达式；

（2）在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

（3）该振子在前100s的总位移是多少？

路程是多少？

　　　　　　对“理想化模型”的理解

（1）确定振动质点在任一时刻的位移，如图7所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7cm，x2＝－5cm.

图7

（2）确定振动的振幅，图象中最大位移的值就是振幅，如图所示，振动的振幅是10cm.

（3）确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦（或余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．

由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2s，频率f＝1/T＝5Hz.

（4）确定各质点的振动方向，例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．

（5）比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.

三、单摆周期公式的应用

1．受力特征：

重力和细线的拉力

（1）回复力：

摆球重力沿切线方向上的分力，F＝mgsinθ＝－

x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反．

（2）向心力：

细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.

特别提醒　①当摆球在最高点时，F向＝

＝0，FT＝mgcosθ.

②当摆球在最低点时，F向＝

，F向最大，FT＝mg＋m

.

2．周期公式：

T＝2π

，f＝

（1）只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以根据g＝

，求出当地的重力加速度g.

（2）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．

（3）g为当地的重力加速度．

四、受迫振动和共振的应用

1．受迫振动

（1）概念：

振动系统在周期性外力作用下的振动．

（2）特点：

受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．

2．共振

（1）现象：

当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．

（2）条件：

驱动力的频率等于系统的固有频率．

（3）特征：

共振时振幅最大．

（4）共振曲线：

如图11所示．

图11

3．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

　振动　

项目　　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力　

受驱动力作用

受驱动力作用

振动周期或频率

由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0

由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱

T驱＝T0或f驱＝f0

振动能量

振动物体的机械能不变　　

由产生驱动力的物体提供　

振动物体获得的能量最大　

常见例子

弹簧振子或单摆（θ≤5°）

机械工作时底座发生的振动

共振筛、声音的共鸣等

强化理解例题：

例1

　如图8甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：

图8

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少？

（计算结果保留两位有效数字）

例2

　一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图12甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动，匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动，把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期，若保持把手不动，给砝码一个向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示，当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图丙所示，若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则（　　）

图12

A．由图线可知T0＝4s

B．由图线可知T0＝8s

C．当T在4s附近时，y显著增大；当T比4s小得多或大得多时，y很小

D．当T在8s附近时，y显著增大；当T比8s小得多或大得多时，y很小

变式强化题组：

1．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（　　）

A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变

C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变

2．如图9所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝

，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是（　　）

图9

A．2π

B．2π

C．2π（

＋

）D．π（

＋

）

3．如图10所示，光滑圆弧槽半径为R，A为圆弧的最低点，圆弧的最高点到A的距离远小于R.两个可视为质点的小球B和C都由静止开始释放，要使B、C两球在点A相遇，问点B到点A的距离H应满足什么条件？

图10

4．如图13所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是（　　）

图13

A．只有A、C的振动周期相等

B．C的振幅比B的振幅小

C．C的振幅比B的振幅大

D．A、B、C的振动周期相等

5.个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图14所示，则（　　）

图14

A．此单摆的固有周期约为0.5s

B．此单摆的摆长约为1m

C．若摆长增大，单摆的固有频率增大

D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动

课堂强化练习

1．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为3.0s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是（　　）

A．0.5sB．0.75s

C．1.0sD．1.5s

2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin（2.5πt），位移y的单位为m，时间t的单位为s，则（　　）

A．弹簧振子的振幅为0.2m

B．弹簧振子的周期为1.25s

C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零

D．在任意0.2s时间内，振子的位移均为0.1m

3．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s又第2次通过B点，在这两秒钟内，质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期和振幅分别是（　　）

A．3s,6cmB．4s,6cm

C．4s,9cmD．2s,8cm

4．一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图15所示，已知弹簧的劲度系数为20N/cm，则（　　）

图15

A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5N，方向指向x轴的负方向

B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子做了1.75次全振动

D．在0～4s内振子通过的路程为3.5cm

课后强化练习

一、单项选择题

1．弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是（　　）

A．振子在A、B两点时的速度和加速度均为零

B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变

C．振子的加速度方向总跟速度方向相反

D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动

2.如图1甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，设向右为正方向，其振动图象如图乙所示．由振动图象可知（　　）

图1

A．振子的振动周期等于t1

B．在t＝0时刻，振子的位置在a点

C．在t＝t1时刻，振子的速度为零

D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动

3.如图2所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2Hz；然后以60r/min的转速匀速转动摇把，当振子振动稳定时，它的振动周期为（　　）

图2

A．0.25sB．0.5s

C．1sD．2s

4．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）

A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则Δt一定等于

的整数倍

C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等

D．若Δt＝

，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等

5．一个做简谐振动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝

处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝

处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系是（　　）

A．t1＝t2B．t1＜t2

C．t1＞t2D．无法判断

6．如图3所示，圆弧AO是半径为2m的光滑圆弧面的一部分，圆弧与水平面相切于点O，AO弧长为10cm，现将一小球先后从圆弧的点A和点B无初速度地释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别为t1和t2，那么（　　）

图3

A．v1＜v2，t1＜t2B．v1＞v2，t1＝t2

C．v1＞v2，t1＞t2D．上述三种都有可能

二、多项选择题

7．如图4所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（　　）

图4

A．甲、乙两单摆的摆长相等

B．甲摆的振幅比乙摆大

C．甲摆的机械能比乙摆大

D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆

E．由图象可以求出当地的重力加速度

8.一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k，一端固定，另一端与质量为m、电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，当施加一水平向右的匀强电场E后（如图5所示），小球开始做简谐运动，关于小球运动下列说法中正确的是（　　）

图5

A．球的速度为零时，弹簧伸长

B．球做简谐运动的振幅为

C．运动过程中，小球的机械能守恒

D．运动过程中，小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为零

9.如图6所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，A点位置恰好为弹簧的原长．物体由C点运动到D点（C、D两点未在图上标出）的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0J，重力势能减少了2.0J．对于这段过程说法正确的是（　　）

图6

A．物体的动能增加1.0J

B．C点的位置可能在平衡位置以上

C．D点的位置可能在平衡位置以上

D．物体经过D点的运动方向可能指向平衡位置

10．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系为x＝Asinωt，振动图象如图7所示，下列说法正确的是（　　）

图7

A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同

B．第3s末振子的位移大小为

A

C．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化

D．从第3s末到第5s末，振子的加速度方向发生变化

三、非选择题

11.如图8所示，质量M＝0.5kg的框架B放在水平地面上，劲度系数k＝100N/m的轻弹簧竖直放在框架B中，轻弹簧的上端和质量m＝0.2kg的物体C连在一起，轻弹簧的下端连在框架B的底部，物体C在轻弹簧的上方静止不动，现将物体C竖直向下缓慢压下距离x＝0.03m后释放，物体C就在框架B中沿竖直方向做简谐运动，在运动的过程中，框架B始终没有离开地面，物体C始终不碰撞框架B的顶部，已知重力加速度g取10m/s2.求当物体C运动到最低点时，物体C的加速度和此时物体B对地面的压力．