（2）减函数：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
增（减）函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2）；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.
有关单调区间的两个防范
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
（2）有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M或f（x）≥M.
（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M.
那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．
二、常用结论汇总——规律多一点
在公共定义域内：
（1）函数f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）＋g（x）是增函数；
（2）函数f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）＋g（x）是减函数；
（3）函数f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）是增函数；
（4）函数f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）是减函数；
（5）若k>0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k<0，则kf（x）与f（x）单调性相反；
（6）函数y＝f（x）（f（x）>0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反；
（7）复合函数y＝f[g（x）]的单调性与y＝f（u）和u＝g（x）的单调性有关．简记：
“同增异减”．
三、基础小题强化——功底牢一点
（1）函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（ ）
（2）具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．（ ）
（3）若定义在R上的函数f（x）有f（－1）（4）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）．（ ）
（5）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．（ ）
（6）所有的单调函数都有最值．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）× （4）× （5）× （6）×
（二）选一选
1．若函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则（ ）
A．m> B．m<
C．m>－D．m<－
解析：
选B 若函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.
2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A．y＝ B．y＝－x2＋1 C．y＝2x D．y＝log2|x|
解析：
选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在（0，＋∞）上单调递减，y＝log2|x|在（0，＋∞）上单调递增，所以排除D.故选B.
3．函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是（ ）
A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞）
解析：
选A 由于f（x）＝|x－2|x＝结合图象（图略）可知函数的单调减区间是[1,2]．
（三）填一填
4.
设定义在[－1,7]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的增区间为________．
解析：
由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．
答案：
[－1,1]和[5,7]
5．函数f（x）＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．
解析：
易知f（x）在[－2,0]上是减函数，
∴f（x）max－f（x）min＝f（－2）－f（0）＝－－（－2）＝.
答案：
[典例]
（1）求函数f（x）＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
（2）试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1,1）上的单调性．
[解]
（1）易知f（x）＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．
（2）法一：
定义法
设－1f（x）＝a＝a，
则f（x1）－f（x2）＝a－a
＝.
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
函数f（x）在（－1,1）上单调递减；
当a<0时，f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）函数f（x）在（－1,1）上单调递增．
法二：
导数法
f′（x）＝
＝＝－.
当a>0时，f′（x）<0，函数f（x）在（－1,1）上单调递减；
当a<0时，f′（x）>0，函数f（x）在（－1,1）上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
（1）定义法：
一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
（2）图象法：
如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
（3）导数法：
先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
（4）性质法：
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”的是（ ）
A．f（x）＝2x B．f（x）＝|x－1|
C．f（x）＝－xD．f（x）＝ln（x＋1）
解析：
选C 由（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0可知，f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A、D选项中，f（x）为增函数；B中，f（x）＝|x－1|在（0，＋∞）上不单调；对于f（x）＝－x，因为y＝与y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）在（0，＋∞）上是减函数．
2．函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间是（ ）
A．（0，＋∞）B．（－∞，0）
C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）
解析：
选D 令t＝x2－4，则y＝logt.因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（－∞，－2）．
3．判断函数f（x）＝x＋（a>0）在（0，＋∞）上的单调性．
解：
设x1，x2是任意两个正数，且x1则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1x2－a）．
当0所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
所以函数f（x）在（0，]上是减函数；
当≤x1a，x1－x2<0，
所以f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）所以函数f（x）在[，＋∞）上是增函数．
综上可知，函数f（x）＝x＋（a>0）在（0，]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数．
[典例]
（1）（2019•深圳调研）函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
（2）若函数f（x）＝－＋b（a>0）在上的值域为，则a＝________，b＝________.
（3）函数f（x）＝的最大值为________．
[解析]
（1）图象法
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞）．
（2）单调性法
∵f（x）＝－＋b（a>0）在上是增函数，
∴f（x）min＝f＝，f（x）max＝f
（2）＝2.
即解得a＝1，b＝.
（3）当x≤0时，f（x）＝－x2－4x＝－（x＋2）2＋4，而－2∈（－∞，0]，此时f（x）在x＝－2处取得最大值，且f（－2）＝4；当x>0时，f（x）＝sinx，此时f（x）在区间（0，＋∞）上的最大值为1.综上所述，函数f（x）的最大值为4.
[答案]
（1）[3，＋∞）
（2）1 （3）4
[解题技法] 求函数最值的5种常用方法
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不
等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
[口诀归纳]
单调性，左边看，上坡递增下坡减；
函数值，若有界，上界下界值域外．
[提醒]
（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[题组训练]
1．函数f（x）＝的值域为________．
解析：
当x>0时，f（x）＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时取等号；
当x<0时，－x＋≥4，
即f（x）＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）．
答案：
（－∞，－4]∪[4，＋∞）
2．若x∈，则函数y＝4sin2x－12sinx－1的最大值为________，最小值为________．
解析：
令t＝sinx，因为x∈，
所以t∈，y＝f（t）＝4t2－12t－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝，所以当t∈时，函数f（t）单调递减，
所以当t＝－时，ymax＝6；
当t＝1时，ymin＝－9.
答案：
6 －9
3．已知f（x）＝，x∈[1，＋∞），且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：
对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞）上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞）上恒成立．
又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞）上单调递减，
∴（－x2－2x）max＝－3，故a>－3，
又∵a≤1，∴－3答案：
（－3,1]
考法
（一） 比较函数值的大小
[典例] 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）>f（－3）>f（－2）
B．f（π）>f（－2）>f（－3）
C．f（π）D．f（π）[解析] 因为f（x）是偶函数，所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f
（2）．
又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数．
所以f（π）>f（3）>f
（2），即f（π）>f（－3）>f（－2）．
[答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法
（二） 解函数不等式
[典例] 设函数f（x）＝若f（a＋1）≥f（2a－1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1] B．（－∞，2]
C．[2,6]D．[2，＋∞）
[解析] 易知函数f（x）在定义域（－∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋1）≥f（2a－1），
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是（－∞，2]．
[答案] B
[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f（g（x））>f（h（x））的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g（x）>h（x）（或g（x）考法（三） 利用单调性求参数的范围（或值）
[典例] （2019•南京调研）已知函数f（x）＝x－＋在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[解析] 设11.
∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，
∴f（x1）－f（x2）＝x1－＋－
＝（x1－x2）<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞）．
[答案] [－1，＋∞）
[解题技法]
利用单调性求参数的范围（或值）的方法
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题组训练]
1．已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f，b＝f
（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>c>bD．b>a>c
解析：
选D 由于函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0恒成立，等价于函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以b>a>c.
2．已知函数f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.
又函数f（x）在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f（x）在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
A级——保大分专练
1．下列四个函数中，在x∈（0，＋∞）上为增函数的是（ ）
A．f（x）＝3－x B．f（x）＝x2－3x
C．f（x）＝－D．f（x）＝－|x|
解析：
选C 当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；当x∈时，f（x）＝x2－3x为减函数，当x∈时，f（x）＝x2－3x为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．
2．若函数f（x）＝ax＋1在R上单调递减，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，2）
C．（4，＋∞）D．（－∞，4）
解析：
选B 因为f（x）＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.
而g（x）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a.
因为a<0，所以g（x）在（－∞，2）上单调递增．
3．已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f（2x－1）＜f的x的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 因为函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的增函数，满足f（2x－1）＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4．（2019·菏泽模拟）定义新运算⊕：
当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1B．1
C．6D．12
解析：
选C 由题意知当－2≤x≤1时，f（x）＝x－2，当1（1）＝－1，f
（2）＝6，∴f（x）的最大值为6.
5．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，那么不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（全集为R）（ ）
A．（－1,2）B．（1,4）
C．（－∞，－1）∪[4，＋∞）D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）
解析：
选D 由函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，知不等式－3＜f（x＋1）＜1即为f（0）＜f（x＋1）＜f（3），所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．
6．已知函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－3,0）B．（－∞，－2]
C．[－3，－2]D．（－∞，0）
解析：
选C 若f（x）是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2.
7．已知函数f（x）＝，则该函数的单调递增区间为________．
解析：
设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．
答案：
[3，＋∞）
8．函数f（x）＝的最大值为________．
解析：
当x≥1时，函数f（x）＝为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f
（1）＝1；当x<1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.
答案：
2
9．若函数f（x）＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：
由f（x）＝的图象知，f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，∵[2，a]⊆（0，＋∞），
∴f（x）＝在[2，a]上也是减函数，
∴f（x）max＝f
（2）＝，f（x）min＝f（a）＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：
4
10．（2019·甘肃会宁联考）若f（x）＝在区间（－2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：
f（x）＝＝＝1＋，要使函数在区间（－2，＋∞）上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.
答案：
（－∞，3）
11．已知函数f（x）＝－（a＞0，x＞0）．
（1）求证：
f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．
解：
（1）证明：
任取x1＞x2＞0，
则f（x1）－f（x2）＝－－＋＝，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
（2）由
（1）可知，f（x）在上是增函数，
∴f＝－2＝，f
（2）＝－＝2，
解得a＝.
12．已知f（x）＝（x≠a）．
（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．
解：
（1）证明：
当a＝－2时，f（x）＝.
任取x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝.
因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增．
（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f（x1）－f（x2）＞0，
所以（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.
所以0＜a≤1.
所以a的取值范围为（0,1]．
B级——创高分自选
1．若f（x）＝－x2＋4mx与g（x）＝在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．（－∞，0）∪（0,1]B．（－1,0）∪（0,1]
C．（0，＋∞）D．（0,1]
解析：
选D 函数f（x）＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g（x）＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是（0,1]．
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