精品毕业论文设计浅谈中学数学中的函数与方程思想.docx
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精品毕业论文设计浅谈中学数学中的函数与方程思想
浅谈中学数学中的函数与方程思想
摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议.
关键词函数思想方程思想应用培养
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KeywordsfunctionthoughtEquationthoughtApplicationTraining
目录
一、前言…………………………………………………………………………………5
二、正文…………………………………………………………………………………6
1、函数与方程思想的概念……………………………………………………………6
2、函数与方程思想的应用……………………………………………………………7
3、如何在中学教学中培养学生函数与方程的思想………………………………18
三、结束语………………………………………………………………………………20
四、结论…………………………………………………………………………………21
五、参考文献……………………………………………………………………………22
前言
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的一门学科，通过抽象化和逻辑推理的使用，从计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.只有通过数学思想的培养，人的数学能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.
在中学数学中常用的数学思想方法主要有:
函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想等.而函数与方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想.应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现学生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体.俗话说得好“授之以鱼，不如授之以渔”,一个学生仅仅学习了函数与方程的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题.函数与方程思想的教学，既有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义.
在我国古代数学中虽然没有明确地提出函数的概念,但函数的思想在现今发现的我国最早的数学著作《算数书》就有所体现.譬如“增减分”描述的就是正比例函数与反比例函数的单调性,虽然不够完整,但对于以常量计算为主的中国古代数学来说,这是非常难能可贵的.
解析几何中的一个重要思想是将方程中的未知数看作“变数”,让方程中的未知数取不同的数值最早体现在“不定方程”的研究中.一般认为,数学史上第一个对不定方程进行广泛深入研究的是公元3世纪的古希腊数学家丢番图,而在公元前1世纪成书的中国数学典籍《九章算术》中,对不定方程就进行了比较广泛的讨论.
目前函数与方程内容丰富，应用广泛.在历年高考试题中对函数与方程及其思想方法的考查遍布于代数、三角、几何以及各类题型的题目中，函数与方程的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系.而目前，人们对它的研究涉及的方面比较零散单一，只注重了其在数学方面各种题型的应用，但函数与方程思想还应用到了其它学科知识中.除此以外，随着数学教学改革的深入，教师应该在日常的教学中注重培养学生函数与方程思想这一方面的能力.
正文
1函数与方程思想的概念
1.1函数思想
即用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．函数描述了自然界
中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画．因此，函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．
1.2方程思想
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、
不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．
1.3函数与方程思想的相互转化
很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标
新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的．
笛卡尔的方程思想是：
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关．而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f（x）－y＝0，可以说，函数的研究离不开方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的．方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维．
1.4在运用函数与方程思想解题时应注意的问题.
（1）要重视基础知识和基本技能的培养和训练,深刻理解集合、函数、反函数
的有关概念.
（2）要能熟练讨论函数性质（如单调性、奇偶性、周期性、极值等）,掌握函数
图像特征的分析（如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等）,函数图像的变换（平移变换对称变换、伸缩变换等）,特别是要掌握与研究函数性质有关的数学知识（如向量的平移、函数的导数等）.
（3）要能将函数、方程、不等式有机结合起来,互相转化.能用集合的语言加以
表述,用参数的工具来体现运动变化,用高等数学的观点来指导问题的解决.
（4）要能充分运用数学建模的思想,从数学的角度发现问题、提出问题、进行探
索与研究,培养实践能力和创新意识.
（5）函数与方程思想和化归、数形结合、分类讨论、归纳、特殊化等数学思想
同样有着密不可分的关系．
2函数与方程思想的应用
2.1函数和方程是密切相关的，可相互转换．
方程f（x）＝0的解就是函数y＝f（x）的图像与x轴交点的横坐标，函数y＝f（x）
也可以看作二元方程y－f（x）＝0．它们之间的这种关系为我们解决方程与函数问题提供了思路．一方面，对于有些方程问题，可以用变量的观点，将其转化为函数问题，利用函数性质来解决；另一方面，也可将函数问题转化为方程问题，利用方程性质或通过解方程来解决．
例1.若关于x的方程中有实数解，求实数a的取值范围.
分析:
处理此问题可以有两种方法:
一是从“原方程有解”出发，进行等价转换，
从而求出a的取值范围;二是将已知方程变形转化，将a作为t的函数，把求a的取值范围转化为求函数值域的问题.
解法一:
令，（t>O）.则原方程即为（*）.
①当方程（*）的根都在（0，）上时，可得下式:
解得
即
②当方程（*）的一个根在（o，）上，另一个根在（，0〕上时，若令，则有
由①②可得实数a的取值范围是
解法二:
令（t>0），则原方程即为
所以
即
评析：
解法一运用方程中根与系数的关系及分类思想，求解过程较烦．而解法
二采用分离参数法，构造函数，运用均值不等式求出a的取值范围解法简单且容易
操作．
例2．已知二次函数f（x）的二次项系数为a且不等式f（x）>-2x的解集为（1,3）,
若方程f（x）+6a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．
分析：
此题若能把二次不等式的解集转化为二次函数的问题即可获解．
解：
f（x）>-2x的解集为（1，3）即f（x）+2x>0的解集为（1，3）
f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a<0
f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=①
由得②
由题意方程②有两个相等实根
△=0即
代入①得
2.2函数、方程、不等式三者之间紧密相关，可适当转化．
以一元函数为例，函数y＝f（x）的图像与x轴的交点的横坐标就是方程f（x）=0
的解，函数图像位于x轴上方的部分对应的横坐标的取值就是不等式f（x）＞0的解，
它们之间的这种关系使得在解决实际问题是，可进行适当的转化、化归．
例1.半径为1的圆o内切于Rt△ABC,求证：
不小于.
证明：
如图，设∠C=,Rt△ABC三边的长分别为a,b,c
因为r=所以a+b=c+2
又因为所以即
所以a,b为一元二次方程的两实数根．
于是解得
由c>0得
又
所以
评析：
此题若直接去求三角形的面积有难度，利用一元二次方程根与系数的
关系构造方程很容易证明．
例2.已知二次函数
设方程f（x）=x的两个实数
根为．如果设函数f（x）的对称轴为求证.
证明：
设
则的二根为和．
由a>0及可得即
即①
②
①+②得
评析：
此题利用了“二次方程根的分布问题”，使问题迎刃而解．
小结：
设，是实系数二次方程的两根，根的分布对照
图象，知其等价不等式组的关系是：
1若，则
2若则
3若则
4若则
5若，有且只有一个在内，则
2.3数列是一种特殊的函数，可运用函数与方程思想求解问题．
它可以看作是自变量依次取正整数，图像为一群孤立点的函数．所以在解有关
数列的问题时，应注重将其与函数有关的知识结合在一起，注重函数与方程思想方法的运用与渗透．
等差数列的函数化分析：
等差数列函数中
．令A=,B=,则=A+Bn.当A≠0（d≠0）时，是关于n的二次式，即（n,）在二次函数的图像上，因此，当d≠0时，数列图像是抛物线上一群孤立点．
等比数列的函数化分析：
由于等比数列的通项公式可以整理为，因此等比数列即中各项所表示的点离散的分布在第一象限或第四象限，其中并且这些点都在函数的图像上．
例1.（2005年江苏卷第23题）设数列的前n项和为Sn,已知=1,=6,
=11,且（5n-8）-（5n+2）=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.
（Ⅰ）求A与B的值.
（Ⅱ）证明数列为等差数列.
（Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.
解析:
（Ⅰ）由=1,=6,=11,得=1,=7,=18.
把n=1,2分别代入（5n-8）-（5n+2）=,得
解得,A=-20,B=-8.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,5n（）-8-2=-20n-8,即
5n-8-2=-20n-8,①
又5（n+1）-8-2=-20（n+1）-8.②
②-①得:
5（n+1）-5n-8-2=-20,
即（5n-3）-（5n+2）=-20.③
又（5n+2）-（5n+7）=-20 ④
④-③得:
（5n+2）（）=0,
=0
∴
=5,又=5,
因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列.
（Ⅲ）不妨设m≤n,则可设左边=f（m,n）=
≥
=是关于m的一次函数且单调递增．
所以f（m,n）≥g（1,n）=显然g（1,1）=而时，f（1,n）≥g（1,n）>=
因此,不等式对任何正整数m、n都成立.
评析:
试题的第一问只要简单的赋值即可得到方程组来解决;试题的第二问也是
利用方程组通过消元来获解;试题的第三问通过变换,可视为自变量m的一次函数,再利用函数的单调性将问题迎刃而解;以上三问通过运用函数与方程的思想方法都得到了解决,充分说明了函数与方程的思想方法的实用性和重要性.
2.4函数f（x）＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的．
用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题，运用不定
方程的解题思想也可以解决二项式定理．
例1．求证
证明：
令显然是展开式中的系数
=
其中的系数为
故
评析：
一般的，利用二项式定理构造函数应用广泛，特
别是在证明组合数恒等式，组合数求和，证明不等式，证明整除等问题中用得较多．
例2：
求展开所得的关于x的多项式中，系数为有理数的项数．
解析：
有理项的求法：
解不定方程．
=
依题意有
所以r为3和2的倍数，即为6的倍数，又因0≤r≤100
所以r=0,6……96构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列．
由96=0+（n-1）6得n=17.故系数为有理数的项共有17项．
评析：
此题若一项一项去找较麻烦，运用不定方程思想及等差数列的性质则很容易解决．
2.5函数与方程思想在三角解题中有着十分广泛的应用.
在三角学习中，我们要善于根据问题的特征，合理地展开联想，巧妙地实施转化，增强运用函数与方程思想解题的意识，使解题的水平得到大幅度的提高.“数学的精神和本质在于它的思想和方法”，道理就在于此．
例1.已知函数
的最大值为0，最小值为-4，求
a,b的值．
解：
因为
=
=
=
1若，则当时，f（x）有最大值．
当时，f（x）有最小值
所以解得不符合，应舍去．
2若，则当时，f（x）有最大值
当时，f（x）有最小值
所以解得符合条件．
综合可得：
评析：
将三角函数化为关于的简单复合函数，是三角函数性质
的又一基本性质．
小结：
三角函数是一类特殊的函数,高考主要在三角函数的图像、性质以及结
合三角变换求三角函数值等方面进行考查.判断函数单调性的问题,可以结合导数的相关知识进行解答.
2.6以向量为载体且融合函数的考题频频出现.在解答向量相关问题中,如能巧妙地运用函数思想方法,常常可收到事倍功半之效.
例1.若存在三个实数s、t、k,使，且
（Ⅰ）求函数s=f（t）;
（Ⅱ）若s=f（t）在[1,+∞）上递增,求k的范围.
解：
（Ⅰ）易知
又由得化简得s=f（t）=
（Ⅱ）,因f（t）在[1,+∞）上递增,则当t≥1时,≥0恒
成立.由≥0≥0k≤3t只要k≤（）min=3即可.故
评析：
①将向量间的几何关系,通过坐标运算数量化,构建函数,回归函数问题，解该题的思维取向;②该题凸现用导数研究函数、不等式的工具作用,具有思路清晰、明快简洁等特点,注重其方法领会要领,强化应用意识;③分离变量,利用函数的最值解恒成立问题,是一种重要的解题策略.
2.7解析几何中的许多问题，可运用函数与方程思想求解．
例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉
及到二次方程与二次函数的有关理论．
例1.直线m:
和双曲线的左支交于A、B两点，直线L过
点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围.
剖析:
b的变化是由于k的变化而引起的，即对于k的任一确定的值.b有确定
的值与之对应，因此b是k的函数，本题即为求这个函数的值域.
解：
由消去y得:
（*）
因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（*）有两个不相等的负实数根．
所以解得
设M则
由P（-2，0），M,Q（0,b）三点共线，不难得出
设
，则在上为减函数．
所以
，
所以
评析:
根据函数的思想建立b与k的函数关系，根据方程的思想，运用二次方程的理论具体求出b的表达式，是解此题的两个关键问题.不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题，经常要转化为方程问题，用方程的理论加以解决.
2.8立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程（组）
或建立函数表达式的方法加以解决．
例1.如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于
点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记BE＝x，V（x）表示四棱锥P－ACFE的体积．
（Ⅰ）求V（x）的表达式.
（Ⅱ）当x为何值时，V（x）取得最大值.
分析：
依题求出底面ACFE的面积表达式与高，由体积公式构建出体积表达式，借助于求导来解决问题．
解：
（Ⅰ）∵EF⊥AB,∴EF⊥PE,
且PE⊥AE,EF∩AE=E,
又PE在平面ACFE外，∴PE⊥平面ACFE，
∵EF⊥AB,CD⊥AB,
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
令得，且；
故当时，V（x）取得最大值．
评析：
对几何图形中的动态变化问题，应分析各个量在变化过程中的相互关系中找到所需要的量，构建相应的函数，转化为函数求值问题，而在立几的翻折问题中要注意折前与折后的变与不变量，这也是正确解决问题的关键所在．
2.9在概率统计中，也常常通过研究相关函数的性质或方程的解的分布，从
而揭示随机变量的取值规律．
例1．某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，摸球袋中装有10个号码为n（0≤n≤10，n∈）重为克的球，摸球方案如下表
方案
摸奖办法
奖金
①
凡一次购物在元者，摸球一个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖．
10元
②
摸出两球，若两球的重量相等则中奖
40元
试比较两种方案中奖概率的大小（说明：
每个球以等可能性从袋中被摸出，假定
符合条件的顾客均参加摸奖．）
解：
当球的重量小于号码数时，有
解得3则所求概率=
设第n号与第m号的两个球的重量相等，不妨设n即（n-m）（m+n-9）=0m+n=9
所以（n,m）的取值为（1，8）（2，7）（3，6）（4，5）
所求概率=即方案①的中奖概率大．
2.10运用函数与方程思想解决导数与函数问题函数与方程思想是最重要的一种数学思想．
例1.设函数
（1）求f（x）的最小值h（t）
（2）若h（t）<-2t+m对恒成立，求实数m的取值范围
解：
（1）x=-t
x
-t
-
0
+
减函数
极小值
增函数
所以f（x）的最小值h（t）=
（2）由
（1）得h（t）=令g（t）=h（t）-（-2t+m）=+2t-m
=
由得t=1,t=-1（不合题意，舍去）
t
（0,1）
1
（1,2）
+
0
-
g（t）
增函数
极大值1-m
减函数
所以g（t）在（0,2）内有最大值g
（1）=1-m
所以h（t）<-2t+m在（0,2）内恒成立g（t）<0在（0,2）内恒成立g（t）在（0,2）内的最大值g
（1）=1-m<0m>1
所以m的取值范围为m>1
评析：
由于含有字母系数m，直接解不等式不易得解，而运用函数与方程思想，把求m的取值范围问题转化为函数g（t）在（0，2）内有最大值g
（1）＜0，从而得解．
2.11在应用题中常常通过构建函数模型或方程（组）来解决一些实际问题．
例1.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用为每
日115元．根据经验若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出,若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于计算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数并且要求出租自行车一日总收入必须高于这一日的管理费用．用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用的所得）
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域.
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时才能使一日的净收入最多.
解:
（1）当x≤6时，y=50x-115
令50x-115>0解得x>2.3
因为,所以x≥3
所以3≤x≤6
当x>6时，y=〔50-3（x-6）〕x-115
令〔50-3（x-6）〕x-115>0，有
此不等式的整数解为2≤x≤20（）
所以6故
定义域为｛x︱3≤x≤20｝
（2）对于y=50x-115（3≤x≤6）显然，当x=6时，（元）
对于
当x=11时，（元）
综上所述当每辆自行车日租金定在11元时，才能使一日的净收入最高．
2.12函数与方程思想在其他学科领域（物理，生物等）中的应用．
物理学质结构和运动基本规律的科学,要研究物质结构和运动的基本规律,需要
一些能够用来描述物质结构和运动的物理量,找出物理量与物理量之间的关系,为描述物理量与物理量之间的变化规律,通常利用数学上的函数关系．
例1.10m/s的速度在平直的公路上行驶,突然发现正前方3m处有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做匀减速运动．
（1）汽车的加速度大小若为,
（2）汽车加速度大小若为,两种情况汽车能否碰上自行车?
若不能碰上,求两车的最小距离．
解：
假设汽车能追上自行车,可得
代入数据即
因Δ=36-6a≥0,故当a≤时，方程有解,即汽车能追上自行车,a>时,Δ<0,无实数解,汽车将不能追上自行车．即当时,汽车将碰上自行车:
当时,汽车不能碰上自行车．
两车的距离为:
Δs=
=3+4t--6t+3
=+0.75
这就
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