微分几何复习.docx

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微分几何复习

一、填空题

1.曲线x=cost，y=sint,z=t在t=0处的切线方程是__________。

2.曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是__________不变量。

3.若点（u0,v0）为曲面的正常点，则

在（u0,v0）满足__________。

4.两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的__________。

5.若向量函数

满足

，则

具有固定的__________.

6.曲线

的正常点是指满足__________的点.

7.椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是__________ .

8.平均曲率H=0的曲面称为__________ 曲面.

9.曲面上的直线必是__________曲线.

10.向量函数

具有固定方向的充要条件是    .

11.曲线的主法向量的正向总是指向    .

12.在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系    .

13.曲面三个基本形式之间有关系式    .

14.曲线

的曲率定义是_____________。

15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_____________。

16.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_____________。

17.曲线

={t3-t2-t,t2-2t+2,2}上的点不是正常点的是t=_____________。

18.曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是_____________。

19.极小曲面是指_____________的曲面。

20.向量函数

具有固定长的充要条件是_____________。

21.曲线

的挠率是_____________。

22.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。

23.向量函数

平行于固定平面的充要条件是_____________.

24.以杜邦（Dupin）指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_____________,平点.

25.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_____________的最大值和最小值.

26.球面

={acosvcosu,acosvsinu,asinv}的坐标曲线就是_____________。

27.曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是_____________。

28.两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是_____________。

29.在曲面的椭圆点处，高斯曲率_____________。

（这个空填符号，即填“大于零”、“等于零”、“小于零”）

30.一般螺线的曲率和挠率的关系是_______。

31.曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是_______参数变换下的不变量。

32.曲面域的面积作为曲面的内蕴量是_____参数变换下的不变量。

33.设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的_____。

34.曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_____。

35.法曲率的最大值和最小值正好是曲面的_____曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的_____方向.

36.距离单位球面球心距离为d（0

37.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是       ,坐标曲线网成为曲率线网

的充要条件是       .

38.曲率为0的曲线是______________,挠率为0的曲线是______________________.

39.半径为R的圆的曲率为___________,半径为R的球面的法曲率为____________.

40.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,坐标曲线网成为曲率线网

的充要条件是___________________.

41.圆柱面的高斯曲率为___________,极小曲面的平均曲率为____________.

42.在脐点处曲面的第一,第二类基本量满足____________________,把第二类基本

量L=M=N=0的脐点称为____________.

43.法曲率的最大值和最小值正好是_____________,使法曲率达到最大值和最小值

的方向是________________方向.

二、单项选择题

1.下面各量中,不是内蕴量的是（  ）

A.曲面上曲线的曲率      B.曲面上曲线的测地曲率

C.曲面上测地三角形的内角和  D.曲面的高斯曲率

3.曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为（ ）

4.等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的（ ）

A.曲率   B.挠率  C.法曲率  D.测地曲率

5.过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲线C趋于点P时，平面π的极限位置称为曲线C在P点的 （ ）

A.法平面  B.密切平面  C.从切平面  D.不存在

6.曲率和挠率均为非零常数的曲线是（ ） 

A.直线   B.圆     C.圆柱螺线  D.平面曲线

7.下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是（ ） 

A.脐点处，任何方向都是主方向    B.非脐点处，主方向垂直

C.脐点处，无主方向         D.非脐点处，有且仅有两个主方向

8.下面各量中,不是内蕴量的是（ ）

A.曲面上曲线的曲率       B.曲面域的面积

C.曲线的弧长          D.高斯曲率

9.下面说法不正确的是（ ）

A.等距变换一定是保角变换   B.保角变换一定是等距变换

C.平面与圆柱面成等距对应   D.平面与除去北极外的球面成保角对应

10.平面曲线的密切平面与曲线所在平面（）

A.相交  B.平行  C.重合  D.垂直

11.两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后，（）

A.第一基本型相同  B.第一基本型成比例

C.第二基本型相同  D.第二基本型成比例

12.在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1,k2为（）

13.设曲面

的第一、二类基本量为

和

，则曲面的面积为

A.

；  B.

；

C.

；  D.

14.下面曲线中是一般螺线的是（）

A.平面曲线  B.圆柱螺线  C.直线  D.以上全是

15.下列关于主方向,正确的说法是（）

A.曲面上一点处至少有两个主方向

B.除脐点处外,主方向是互相垂直的

C.沿主方向,法曲率达到最大值或最小值

D.以上全正确

16.下面各量中,不是内蕴量的是（ ）

A.曲面上曲线的曲率    B.曲面上曲线的法曲率

C.曲面的平均曲率     D.曲面的高斯曲率

17.曲率和挠率均为非零常数的曲线是（ ）

A.直线  B.圆  C.圆柱螺线  D.平面曲线

18.在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足（ ）

19.在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 （ ）

20．反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉（Euler）公式是 （ ）

三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.曲线上的正常点是指曲率不为零的点。

（   ）

2.如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行。

（   ）

3.高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。

（   ）

4.密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线。

（   ）

5.若给出闭区间上的任意两个连续函数

则必存在曲线以

分别为它的曲率和挠率.（    ）

6.曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0.（    ）

7.若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线。

（   ）

8.空间曲线穿过法平面和从切平面,不穿过密切平面。

（   ）

9.如果所有法平面互相平行,那么这曲线是直线。

（   ）

10.曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。

（   ）

11.曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L=N=0。

（   ）

12.在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

（   ）

13.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。

（   ）

14.在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。

（   ）

15.曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧。

（   ）

16.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。

（   ）

17.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。

（ 　）

18.圆的曲率、挠率特征是：

k=常数，τ=0。

（ 　）

19.在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

（ 　）

20.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.（ 　）

21.球面曲线的主法线必过球心.（ 　）

22.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.（ 　）

23.平面曲线挠率特征为τ=0。

（  ）

24.如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。

（  ）

25.设曲面的第一基本形式为I=Edu2+Gdv2，则u曲线和v曲线的位置关系为正交。

（  ）

26.圆的曲率和挠率特征是k=常数，τ=0。

（   ）

27.I=2du2+6dudv+3dv2可以作为曲面的第一基本形式。

（   ）

28.一般螺线的主法线与固定直线一定垂直.（  ）

29.曲面的第一基本型是正定的.（ ）