高考数学总复习教师用书第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理.docx

高考数学总复习教师用书第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理.docx

《高考数学总复习教师用书第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习教师用书第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学总复习教师用书第4章第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲　正弦定理和余弦定理

最新考纲　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知识梳理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

＝＝＝2R

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

b2＝c2＋a2－2cacos__B；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

常见变形

（1）a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；

（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝；

（3）a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

（4）asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝；

cosB＝；

cosC＝

2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA

a≥b

a>b

a≤b

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（　　）

（2）在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.（　　）

（3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（　　）

（4）当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.（　　）

（5）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.（　　）

解析　

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.

（3）已知三角时，不可求三边.

（4）当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

2.（2016·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝（　　）

A.B.C.2D.3

解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.

答案　D

3.（2017·湖州预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝（　　）

A.－B.

C.－D.

解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈（0，π），所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.

答案　B

4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

A.B.

C.2D.2

解析　因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，

所以BC＝.

答案　B

5.（必修5P10B2改编）在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.

解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

答案　等腰三角形或直角三角形

6.（2017·绍兴调研）已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则角B＝________，AC＝________.

解析　∵钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，

∴＝×1××sinB，解得sinB＝，∴B＝或，

∵当B＝时，由余弦定理可得

AC＝

＝＝1，

此时，AB2＋AC2＝BC2，可得A＝，此△ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去.

∴B＝，由余弦定理可得AC＝

＝＝.

答案　　

考点一　利用正、余弦定理解三角形

【例1】

（1）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有（　　）

A.1个B.2个

C.0个D.无法确定

（2）在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.

（3）（2015·广东卷）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.

解析　

（1）∵bsinA＝×＝，∴bsinA

∴满足条件的三角形有2个.

（2）由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA，

即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋bc，

∴cosA＝，∵A∈（0°，180°），∴A＝45°，sinB＝，又B∈（0°，180°），b＜a，∴B＝30°，∴C＝105°.

（3）因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或B＝.

又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.

又a＝，由正弦定理得＝，即＝，

解得b＝1.

答案　

（1）B　

（2）45°，30°，105°　（3）1

规律方法　

（1）判断三角形解的个数的两种方法

①代数法：

根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.

②几何图形法：

根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.

（2）已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.

【训练1】

（1）（2017·金华模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（　　）

A.1B.2C.4D.6

（2）（2016·全国Ⅱ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

解析　

（1）a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去）.

（2）在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.

答案　

（1）C　

（2）

考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状（典例迁移）

【例2】（经典母题）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

解析　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，

∴sin（B＋C）＝sin2A，即sin（π－A）＝sin2A，sinA＝sin2A.

∵A∈（0，π），∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝.

答案　B

【迁移探究1】将本例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是（　　）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

解析　法一　由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，因为－π

法二　由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.

答案　B

【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC（　　）

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

解析　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，

∴a∶b∶c＝5∶11∶13，

故设a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>0），由余弦定理可得

cosC＝＝＝－<0，

又∵C∈（0，π），∴C∈，∴△ABC为钝角三角形.

答案　C

【迁移探究3】将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状.

解　法一　利用边的关系来判断：

由正弦定理得＝，

由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝＝.

又由余弦定理得cosA＝，

∴＝，

即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.

又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，

∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.

法二　利用角的关系来判断：

∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin（A＋B），

又∵2cosAsinB＝sinC，

∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin（A－B）＝0，

又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.

又由a2＋b2－c2＝ab，

由余弦定理，得cosC＝＝＝，

又0°

规律方法　

（1）判定三角形形状的途径：

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.

（2）无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

考点三　和三角形面积有关的问题

【例3】（2016·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

解　

（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB＋sinB·cosA）＝sinC，2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.由C∈（0，π）知sinC≠0，

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.所以△ABC的周长为5＋.

规律方法　三角形面积公式的应用原则

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

【训练2】（2017·日照模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a－b）cosC－ccosB＝0.

（1）求角C的值；

（2）若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.

解　

（1）根据正弦定理，（2a－b）cosC－ccosB＝0可化为（2sinA－sinB）cosC－sinCcosB＝0.

整理得2sinAcosC＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin（B＋C）＝sinA.

∵0

又∵0

（2）由

（1）知cosC＝，又a＋b＝13，c＝7，

∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－3ab＝169－3ab＝49，

解得ab＝40.

∴S△ABC＝absinC＝×40×sin＝10.

[思想方法]

1.应熟练掌握和运用内角和