2群论公理定理公式.docx
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2群论公理定理公式
定理每一个元素自逆的的群是一个阿贝尔
群
设群G二｛E二A,A2,,An｝，若对-AkG有：
AkAk=E（A‘=Ak）,
证明此群必为阿贝尔群。
【证明】任取A，Aj^G，则有
A=AAj：
-G,人=AjA：
-G
由题给条件知
AAk=（AA）（AjA）=A（AjAj）A）=AA=E
因而有
A=A
亦即
AAj=AjA
定理重排定理
定理1.1（重排定理）：
在一个群的乘法表中，群中所有元素在每一行（列）中必须出现且仅能出现一次；群乘表中任意两行（列）是群中全体元素的不同的排列。
重排定理告诉我们，对于—a，G,G和aG是同一个集合，只不过排列顺序不同而已，于是有下列重要推论
推论重排定理的推论
推论：
设G为群，f（x）（x.G）是定义在G上的函数。
根据重排定理有：
nn
'、f（Xj）二'f（aXj）（1.1）
j4jJ
xj:
-GXj.G
aG
定理由群G中一个m阶元素gk可以生成一
个m阶的循环群
m23-…m
{E=gk,gk,gk,gk,,gk}；
定理若一个n阶群中至少有一个n阶的元
素，则此群必为n阶循环群。
定理群的阶数与群中任何一个元素的阶数
的商是一个整数；
定理任何素数阶的群都是循环群。
定理共轭的性质
共轭是一种等价关系，满足
a）自反性。
即群中任何一个元素都与自身共轭。
事实上，对于「AG,总
有E-G，使得：
EAEf；
b）对称性。
即若A是B的共轭元素，贝UB也是A的共轭元素；
c）传递性。
即若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭。
事实上，对于-代B,C・G，若有X,Y・G,使得：
XAXJ=B,YBYJ=C
则必有：
1111
YBY=YXAXY=ZAZ=C
（Z二YXG,Z」二X」Y」G）
定理类的性质
a）群中共轭的元素必在同一个类中（两个共轭元素的共轭类相同）；
b）群中不共轭的元素属于不同的类（非共轭元素的共轭类完全不同）；
c）群的任意两个相异类的交为零；
d）群的所有类的和（并）等于群；
e）第3、4条可以合并为一条：
群的所有的类构成群的一个划分；
f）类与群中任何一个元素对易，即若C是群G的一个类，则对-AG有
ACA，二C或：
AC=CA；（1.2）
证：
（1）-AA.AJACA，二AC二AA.A^-AC，即
AA-.AC；
（2）又设AC，则必存在AC使得AA：
A二A=：
A「ACA4，即
CACA_。
g）同一类中的元素有相同的阶数。
证：
设XAX'二A],且A：
二E。
贝U
A^（XAX=（XA：
.X'）（XA：
.X'）（XAX^）=（XA：
X'）二E。
定理陪集性质
定理1.2设H是群G的一个子群，则有：
（1）子群和它的任何一个陪集没有共同元素，即，对任意X•G但X-H有:
XH-H二HX-H-（：
•：
」表示空集和）；
（2）子群的任何两个左陪集（右陪集）要么完全相同，要么完全不同，即，对任意X,Y•G但XYH有：
XH二YH，或：
XH-YH
HX二HY，或：
HX-HY二门
（3）群G的子群H群与它的所有相异左（右）陪集定义群G的一个划分*o即若群G的子群H有k-1个相异左（右）陪集XiH（i=1,2,…，k-1），则
G=H_X,H_X2H_一Xk」H
【证明】
（1）设XH-H:
」，贝U存在XHjXH,Hk•H，使得
XHj=Hk=X二HkH「H
显然与条件XH矛盾，故结论
（1）成立；
（2）设XH、YH—-，则存在Hj,H「H，使得
XHj二YHk,=Y’X二HkHj»H，于是由重排定理得至U
Y’XH=H二XH=YH
（3）设H共有k-1个不同的左陪集：
XiH,i=1,2,,k-1
根据陪集的性质有：
H-XiH=",i=1,2,,k-1
XiH一XjH->,i,j=1,2,,k-1,i=j
H-G,XjH-G,i=1,2,,k-1
又因为，对-AG，有AH或AXiH（i=1,2,…，k—1），故AG。
因此，
GG
由此可见G=G'o
定理子群定理
定理1.3设H是n阶群G的一个m阶子群，则有h=n/m必为一个整数，h称为子群的指数。
【证明】设子群H共有k-1个不同的左陪集：
XiH,i=1,2，…，k-1，则有
G=H_X,H_X2H_一Xk」H
由于
G=n,|H
由此得到n=km,可见k=n/m是一个整数。
定理子群定理推论
推论：
该定理的一个直接推论为：
群的阶与任何元素的阶的商必为整数。
【证明】设AG，且Am=E，则由A必可生成G的一个m阶循环子群
工=Am,A,A2,,AT
由定理1.3得到k=n/m是一个整数。
定理正规子群的性质
正规子群（自轭子群、不变子群）
例1.13已知H二｛E,C：
｝，为群C4、，=｛E,C4,c2,C：
mx,my,・,「｝的一个子群，
考察该子群的性质。
解：
由C4、.群的乘法表可以列出H的所有左、右陪集如下：
C4H二HC4={C4,c4}，c3h=hc4={c4,C4}
mxH=Hmx二{mx,my}，myH=Hmy={my,mix}
-H=H；」-{；=「}，匚、H=H；「.-{「，；打
稍加分析即可看出：
a）H的任何一个左陪集与对应的右陪集相等，即XjH=HXj；
b）H除与自身共轭外，没有其它共轭子群，即对-Xj•G，有XjHX「1=H；
c）子群H可以表达为C-群的几个类的并，即：
H={E}_{C4HCUC20
定理不变子群
定理1.5
（1）不变子群的任何两个陪集的直积*仍然是该子群的陪集；
（2）不变子群与任何一个陪集的直积等于陪集自身。
【证明】
（1）设H是群G的不变子群，任取X,Y・G，有
（XH）（YH）=X（HH）Y=XHY=XYH=ZH
（Z二XYG）
（2）任取X•G，有
H（XH）=（HX）H=（XH）H=X（HH）二XH
注：
两个陪集的积定义为：
第一陪集中的元素与第二陪集中的元素依次相乘得到的集合，但重复的元素只算一次。
定理商群的性质
商群有下列性质:
（1）商群G/H的单位元素（幺元）为正规子群H;
（2）商群的阶数为正规子群的指数，即，若G的阶数为n,H的阶数为m,则G/H的阶数为n/m；
（3）商群G/H给出了群G的一个划分。
即-Ki，Kj・G/H有
心-Kj=<>
Kr'.K?
…K|=G（I=n/m）
事实上，由G群的任何一个子群H都可以导出G的一个划分，这个划分就是子群与其所有相异左陪集（右陪集）所组成的集合。
由正规子群导出的划分就是商群G/H。
定理群的结构
对任何一个群G,总有它的一个生成子集S5G，由S中各元素的幕和乘积可以生成群中所有的元素，子集中的各元素称为群的生成元。
显然，若子集S中只有一个元素，那么群就是一个循环群。
若群的阶n是一个素数，则群只能有一种结构，这就是n阶循环群。
定理生成集的充要条件
定理1.7子集S5G是群G的一个生成集的充要条件是：
G中不存在包含S的真子群。
【证明】
（1）设S是群G的一个生成集。
若存在G的一个真子群H使得：
S-HG
则由运算在子群H上的封闭性知道，由S中各元素的幕和乘积只能生成H中的元素，显然与前提矛盾，故假设不成立；
（2）设S是群G的一个子集。
且G的任何真子群不包含S,则令
K={S中各元素的幕}-{S中各元素的乘积}
显然K包含S,且是G的一个子群（运算在K上封闭，K中各元素有逆），即
S工K工G
但由前提知道K不可能是G的真子群，故必有K二G。
可见S是群G的生成集。
例如：
下列集合都是的Cg二{E,C4,C；c3,mx,my,；r，「}生成集:
{C4，mx},{C4,匚J{C4，my},{C4，「}
关于Sn群:
（1）Sn群中有一半偶置换和一半奇置换；
（2）偶置换与偶置换的乘积是偶置换，奇置换与奇置换的乘积是偶置换，奇置换与偶置换的乘积是奇置换；
（3）全体偶置换构成Sn群的子群，称为n次交代群。
置换群的概念不仅可用于全同对象系统，实际上对任何有限群有下列结论：
定理1.8任何有限群总同构于S.群的一个子群。
例1■佃写出与C4、..二{E,C4,C2，C：
mx,my,—,二,}群同构的置换群。
解：
将4个顶点标记为a,b,gd，顶点所在的空间位置标记为1，2，3，4
、y
■1
*
■»
•«|
A
*4
*
■1
*
■
'V
1
2
a
b
4
3
则群中每一个对称操作对应一个置换:
f1
E=
<1
234
234；
，C4二
34
23」
<1234
mx=
3
2
1丿，
2
3
4、
叩=
.1
4
3
2J，
「1
2
3
4"
my=
1
3」
4
er=
2
3
4、
V
3
2
1
4」
显然,
8个置换构成的群是&群的一个子群，它与C4、.同构
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