初中数学复习总动员第33讲轴对称变换.docx

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初中数学复习总动员第33讲轴对称变换

2017年暑期初中数学复习总动员第33讲轴对称变换

【知识巩固】

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别。

轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。

把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：

（1）

图1

成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义。

经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，

∵CA=CB，

直线m⊥AB于C，

∴直线m是线段AB的垂直平分线。

图2

（2）性质。

线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，

图3

∵CA=CB，

直线m⊥AB于C，

点P是直线m上的点。

∴PA=PB。

（3）判定。

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，

直线m是线段AB的垂直平分线，

∴点P在直线m上。

【典例解析】

典例一、轴对称图形

（2017黑龙江鹤岗）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】R5：

中心对称图形；P3：

轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选C．

【变式训练】

（2017湖北荆州）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：

①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．

【考点】N4：

作图—应用与设计作图；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．

【解答】解：

如图所示，直线OO′即为所求．

典例二、轴对称的性质

（2017呼和浩特）图中序号

（1）

（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）

A．

（1）B．

（2）C．（3）D．（4）

【考点】P3：

轴对称图形．

【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．

【解答】解：

∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，

∴通过轴对称得到的是

（1）．

故选：

A．

【变式训练】

（2017四川眉山）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．

【考点】P7：

作图﹣轴对称变换；KQ：

勾股定理；PA：

轴对称﹣最短路线问题．

【分析】

（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；

（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；

（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接B2交y轴于点P，则P点即为所求．

【解答】解：

（1）如图所示；

（2）如图，即为所求；

（3）作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2交y轴于点P，则点P即为所求．

设直线AB2的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（﹣4，6），B2（2，2），

∴

，解得

，

∴直线AB2的解析式为：

y=﹣

x+

，

∴当x=0时，y=

，

∴P（0，

）．

典例三、线段的垂直平分线

（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

A．30°B．45°C．50°D．75°

【考点】KH：

等腰三角形的性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=30°，

∴∠BDC=60°，

∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

故选B．

典例四、轴对称的综合应用

（2016·四川南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）

A．AM=BMB．AP=BNC．∠MAP=∠MBPD．∠ANM=∠BNM

【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，

∴点A与点B对应，

∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，

∵点P时直线MN上的点，

∴∠MAP=∠MBP，

∴A，C，D正确，B错误，

故选B．

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．

【变式训练】

如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．

【解答】解：

如图所示：

由题意可得：

∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，

则NG=AM，故AN=NG，

则∠2=∠4，

∵EF∥AB，

∴∠4=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，

∴∠DAG=60°．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．

【能力检测】

1.（2017深圳）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】R5：

中心对称图形；P3：

轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：

A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．

故选D．

2.（2017内江）下列图形：

平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】P3：

轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

【解答】解：

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，

矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，

菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，

圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，

等腰三角形不是中心对称图形，只是轴对称图形，

所以，只是轴对称图形的有1个．

故选A．

3.（2017日照）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】R5：

中心对称图形；P3：

轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：

A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

4.（2016·山东省菏泽市·3分）以下微信图标不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．

【解答】解：

A、是轴对称图形；

B、是轴对称图形；

C、是轴对称图形；

D、不是轴对称图形．

故选D．

【点评】本题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

5.（2016·重庆市B卷·4分）下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

6.（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　

﹣

　．

【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．

【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=

，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．

【解答】解：

如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，

由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，

在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，

∴cos∠AOC=

=，AC=

=

∴∠AOC=60°，AB=2AC=

，

∴∠AOB=2∠AOC=120°，

则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB

=

﹣×

×

=

﹣

，

S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM

=π×12﹣2（

﹣

）

=

﹣

．

故答案为：

﹣

．

【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．

7.（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．

【解答】解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，

∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，

故选A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

8.如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A．4B．3

C．2

D．2+

【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．

【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．

【解答】解：

连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．

∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，

∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，

∴A′C=2×

A′B=2

．

故选C．

9.如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．

【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．

【解答】解：

解：

∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，

∴点C到x轴的距离为1+2×

=

+1，

横坐标为2，

∴A（2，

+1），

第2016次变换后的三角形在x轴上方，

点A的纵坐标为

+1，

横坐标为2-2016×1=-2014，

所以，点A的对应点A′的坐标是（-2014，

+1）

故答案为：

（-2014，

+1）．