与名师对话文随机事件的概率.docx
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与名师对话文随机事件的概率
第一节 随机事件的概率
高考概览：
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式．
[知识梳理]
1．事件
（1）在条件S下，一定发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．
（2）在条件S下，一定不发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．
（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．
2．概率和频率
（1）频率：
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．
（2）概率：
对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
（3）频率和概率的区别：
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
[0,1]．
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．
P（A∪B）＝1，P（A）＝1－P（B）．
[辨识巧记]
1．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．
2．互斥与对立
对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）事件发生的频率与概率是相同的．（ ）
（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（ ）
（3）若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1.（ ）
（4）6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．（ ）
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√ （4）×
2．（必修3P121练习T4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
[解析] 两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都不中靶”．故选D．
[答案] D
3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A．B．C．D．
[解析] 甲不输包括两人下成和棋和甲获胜两种情况，由已知条件及互斥事件的概率公式可得甲不输的概率为＋＝.故选A．
[答案] A
4．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A．B．C．D．
[解析] 由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，所以所求概率为＝.故选C．
[答案] C
5．（必修3P123A组T2改编）给出下列三个命题：
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中假命题的序号为________．（写出所有假命题的序号）
[解析] 对于①，可能有10件次品，但不一定必有10件次品；对于②，抛硬币出现正面的概率是；对于③，经过大量试验，随机事件发生的频率接近概率．故①②③均为假命题．
[答案] ①②③
考点一 随机事件间的关系
【例1】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：
某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生．
[解]
（1）互斥事件．
（2）至少有1名男生包含2名男生，1男1女，至少有1名女生，包含2名女生，1女1男，两事件不互斥．
（3）不互斥．
（4）对立事件．
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
[对点训练]
将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．A与B是对立事件
B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[解析] 由题意知，事件A包含的基本事件为向上的点数为1,2,3，事件B包含的基本事件为向上的点数为4,5,6，事件C包含的点数为1,3,5，A与B是对立事件．故选A．
[答案] A
考点二 随机事件的频率与概率
【例2】 （2017·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[思路引导] →→
[解]
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25），
则Y＝6×300＋2（450－300）－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2（450－200）－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的概率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
（1）概率与频率的关系：
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
（2）随机事件概率的求法：
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[对点训练]
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（1）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]
（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P（A）的估计值为0.55.
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P（B）的估计值为0.3.
（3）由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925A．因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925A．
考点三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】 一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求
（1）取出的小球是红球或黑球的概率；
（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
[思路引导] →→
[解] 记事件A＝{任取1球为红球}；
B＝{任取1球为黑球}；C＝{任取1球为白球}；
D＝{任取1球为绿球}，
则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝.
由于A、B互斥，故
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P1＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
（2）解法一：
由于A、B、C互斥，故
取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P2＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝.
解法二：
任取一球，取出的小球是红球或黑球或是白球的对立事件是取出一个小球是绿球．
故P2＝1－P（D）＝1－＝
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
（1）直接法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
（2）间接法：
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（），即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
[对点训练]
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率；
（2）至少3人排队等候的概率．
[解] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）解法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
解法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，
则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
课后跟踪训练（六十五）
基础巩固练
一、选择题
1．在下列六个事件中，随机事件的个数为（ ）
①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．
A．2B．3C．4D．5
[解析] ①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A．
[答案] A
2．下列命题：
①将一枚硬币抛两次，设事件M：
“出现两次正面”，事件N：
“只出现一次反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是（ ）
A．①②④B．②④
C．③④D．①②
[解析] 对于①，“出现两次正面”的对立事件应为“只出现一次反面”或“出现两次反面”，故①错误．对于②，对立事件必是互斥事件，故②正确．对于③，互斥事件不一定是对立事件，故③错误．对于④，事件A，B互为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故④正确．故选B．
[答案] B
3．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（ ）
A．恰有2名男生与恰有4名男生
B．至少有3名男生与全是男生
C．至少有1名男生与全是女生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
[解析] 在所选的4名同学中，“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生．所以A选项是互斥事件，但不是对立事件；“至少有3名男生”包括“3名男生，1名女生”和“4名男生”两种结果，这与“全是男生”可同时发生．所以B选项不是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，且其中必有一个发生．所以C选项是互斥事件，且是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，“至少有1名女生”包括“3名男生，1名女生”、“2名男生，2名女生”、“1名男生，3名女生”和“4名女生”四种结果，它们可能同时发生．所以D选项不是对立事件．故选C．
[答案] C
4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡
[解析] 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．
[答案] A
5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5）2；[15.5,19.5）4；[19.5,23.5）9；[23.5,27.5）18；[27.5,31.5）11；[31.5,35.5）12；[35.5,39.5）7；[39.5；43.5）3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5）的概率约是（ ）
A．B．C．D．
[解析] 根据所给的数据的分组及各组的频数得到：
数据在[31.5,43.5）范围的有[31.5,35.5）12；[35.5,39.5）7；[39.5,43.5）3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22（个），总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5）的频率为＝，由频率估计概率得P＝.故选B．
[答案] B
二、填空题
6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]（单位：
cm）内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为__________．
[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
[答案] 0.3
7．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
[解析] 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为＋＝.
[答案]
8．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
[解析] 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P（A）＝1－P（B）＝.
[答案]
三、解答题
9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
（1）计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率（保留两位小数）；
（2）根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
[解]
（1）贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54，0.52，0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.
（2）根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.
10．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C．求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]
（1）P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
（2）因为事件A，B，C两两互斥，所以P（A∪B∪C）
＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
（3）P（）＝1－P（A∪B）＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
能力提升练
11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
[解析] 由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D．
[答案] D
12．（2019·湖北黄石联考）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：
613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
[解析] 由题意可得，每天下雨的概率P（A）＝＝；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P（B）＝＝.故选C．
[答案] C
13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
[解析] 记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别为事件A，B，C．又事件A，B，C彼此互斥．由题意可得，P（B）＝0.03，P（C）＝0.01.
故所求事件“抽得正品”即事件A，其对立事件为B∪C．
因为事件B，C彼此互斥，
由互斥事件的概率公式，可得P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.03＋0.01＝0.04.
所以所求事件的概率P（A）＝1－P（B∪C）＝1－0.04＝0.96.
[答案] 0.96
14．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
该射击队员射击一次，求：
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率．
[解] 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N*，k≤10），则事件Ak彼此互斥．
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.28＋0.32＝0.60.
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）
＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：
“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”．
∴P（）＝1－P（B）＝1－0.78＝0.22.
拓展延伸练
15．若p：
“事件A与事件B是对立事件”，q：
“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：
“至少出现一次正面”，事件B：
“3次出现正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件．所以p是q的充分不必要条件．故选A．
[答案] A
16．（2019·河南平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为________．
[解析] 白球没有减少的情况有：
①抓出黑球，放入任意球，概率为.②抓出白球放入白球，概率为×＝，所求事件概率为：
＋＝.
[答案]
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