高考数学理科一轮复习空间的垂直关系学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习空间的垂直关系学案含答案

高考数学（理科）一轮复习空间的垂直关系学案含答案

学案44　空间的垂直关系

导学目标：

1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．自主梳理

1．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．

②垂直于同一个平面的两条直线______．

③垂直于同一直线的两个平面________．

2．直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l⊂α，则它们成________角．

3．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法．

②利用判定定理：

一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．

4．二面角的平面角

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

自我检测

1．平面α⊥平面β的一个充分条是（　　）

A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β

B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β

．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β

D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β

2．（2010•浙江）设l，是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥，⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥，则⊥α

．若l∥α，⊂α，则l∥

D．若l∥α，∥α，则l∥

3．（2011•长沙模拟）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条：

①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；

②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；

③存在直线l⊂α，直线⊂β，使得l∥；

④存在异面直线l、，使得l∥α，l∥β，∥α，∥β

其中，可以判定α与β平行的条有（　　）

A．1个B．2个

．3个D．4个

4．（2011•十堰月考）已知，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若∥α，n∥α，则∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

．若∥α，∥β，则α∥β

D．若⊥α，n⊥α，则∥n

．（2011•大纲全国）已知点E、F分别在正方体ABD－A1B11D1的棱BB1、1上，且B1E＝2EB，F＝2F1，则面AEF与面AB所成的二面角的正切值为________．探究点一　线面垂直的判定与性质

例1　Rt△AB所在平面外一点S，且SA＝SB＝S，D为斜边A的中点．

（1）求证：

SD⊥平面AB；

（2）若AB＝B求证：

BD⊥平面SA

变式迁移1　在四棱锥V—ABD中，底面ABD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABD证明：

AB⊥VD

探究点二　面面垂直的判定与性质

例2　（2011•邯郸月考）如图所示，已知四棱柱ABD—A1B11D1的底面为正方形，1、分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABD内的射影是求证：

平面1D⊥平面ABD变式迁移2　（2011•江苏）如图，在四棱锥P－ABD中，平面PAD⊥平面ABD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：

（1）直线EF∥平面PD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

探究点三　直线与平面，平面与平面所成的角

例3　（2009•湖北）如图，四棱锥S—ABD的底面是正方形，SD⊥平面ABD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0<λ≤2）．

（1）求证：

对任意的λ∈（0,2]，都有A⊥BE；

（2）设二面角—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．

变式迁移3　（2009•北京）如图，在三棱锥P—AB中，PA⊥底面AB，PA＝AB，∠AB＝60°，∠BA＝90°，点D、E分别在棱PB、P上，且DE∥B

（1）求证：

B⊥平面PA

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PA所成角的正弦值．

（3）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？

并说明理由．

转化与化归思想综合应用

例　（12分）已知四棱锥P—ABD，底面ABD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABD，点、N分别是棱AD、P的中点

（1）证明：

DN∥平面PB；

（2）证明：

平面PB⊥平面PAD

多角度审题　

（1）在平面PB内找到（或构造）一条直线与DN平行即可；

（2）要证面PB⊥面PAD，只需证明B⊥面PAD即可．

【答题模板】

证明　

（1）取PB中点Q，连接Q、NQ，因为、N分别是棱AD、P的中点，所以QN∥B∥D，且QN＝D，故四边形QND是平行四边形，

于是DN∥Q

又∵Q⊂平面PB，DN⊄平面PB

∴DN∥平面PB[6分]

（2）∵PD⊥平面ABD，B⊂平面ABD，∴PD⊥B

又因为底面ABD是∠A＝60°的菱形，且为AD中点，

所以B⊥AD又AD∩PD＝D，所以B⊥平面PAD

又∵B⊂平面PB，∴平面PB⊥平面PAD[12分]

【突破思维障碍】

立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：

1．证明线面垂直的方法：

（1）线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直ͤa⊥α；

（2）判定定理1：

、n⊂α，∩n＝Al⊥，l⊥nͤl⊥α；（3）判定定理2：

a∥b，a⊥αͤb⊥α；（4）面面平行的性质：

α∥β，a⊥αͤa⊥β；（）面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥lͤa⊥β

2．证明线线垂直的方法：

（1）定义：

两条直线的夹角为90°；

（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂αͤa⊥b；（4）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥αͤa⊥b

3．证明面面垂直的方法：

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥βͤα⊥β（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•滨州月考）已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的（　　）

A．充分不必要条B．必要不充分条

．充分必要条D．既不充分也不必要条

2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线、n，有下列四个命题：

①若∥n，⊥α，则n⊥α；②若⊥α，⊥β，则α∥β；③若⊥α，∥n，n⊂β，则α⊥β；④若∥α，α∩β＝n，则∥n

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1．2D．3

3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；

③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β

其中正确命题的序号是（　　）

A．①②B．①④．②④D．③④

4．（2011•浙江）下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点，则动点的轨迹是（　　）

A．一条直线B．一个圆

．一个椭圆D．双曲线的一支

二、填空题（每小题4分，共12分）6．如图所示，四棱锥P—ABD的底面ABD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的个面中，互相垂直的面有________对．

7．（2011•金华模拟）如图所示，正方体ABD—A1B11D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：

①点H是△A1BD的中心；

②AH垂直于平面B1D1；③A1与B1所成的角是90°其中正确命题的序号是____________．

8．正四棱锥S－ABD底面边长为2，高为2，E是边B的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥A，则动点P的轨迹的周长为________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010•东）在如图所示的几何体中，四边形ABD是正方形，A⊥平面ABD，PD∥A，E、G、F分别为B、PB、P的中点，且AD＝PD＝2A

（1）求证：

平面EFG⊥平面PD；

（2）求三棱锥P－AB与四棱锥P－ABD的体积之比．

10．（12分）（2009•天津）如图，在四棱锥P—ABD中，PD⊥平面ABD，AD⊥D，DB平分∠AD，E为P的中点，AD＝D＝1，DB＝22

（1）证明：

PA∥平面BDE；

（2）证明：

A⊥平面PBD；

（3）求直线B与平面PBD所成的角的正切值．11．（14分）（2011•杭州调研）如图所示，已知正方体ABD－A1B11D1中，E为AB的中点．

（1）求直线B1与DE所成角的余弦值；

（2）求证：

平面EB1D⊥平面B1D；

（3）求二面角E－B1－D的余弦值．学案44　空间的垂直关系

自主梳理

1．

（1）②相交　③垂直　

（2）①任意　②平行　③平行

2．射影　直角　0°　3

（1）②一条垂线　

（2）交线　4垂直

自我检测

1．D　2B　3B　4D　23

堂活动区

例1　解题导引　线面垂直的判断方法是：

证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．

证明　

（1）取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△AB中，D、E分别为A、AB的中点，

故DE∥B，且DE⊥AB，

∵SA＝SB，

∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB

∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，

∴AB⊥面SDE而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD

在△SA中，SA＝S，D为A的中点，∴SD⊥A

∵SD⊥A，SD⊥AB，A∩AB＝A，

∴SD⊥平面AB

（2）若AB＝B，则BD⊥A，

由

（1）可知，SD⊥面AB，而BD⊂面AB，

∴SD⊥BD

∵SD⊥BD，BD⊥A，SD∩A＝D，

∴BD⊥平面SA

变式迁移1　证明　∵平面VAD⊥平面ABD，

AB⊥AD，AB⊂平面ABD，

AD＝平面VAD∩平面ABD，

∴AB⊥平面VAD

∵VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD

例2　解题导引　证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．证明　如图所示，连接A，BD，A11，则为A，BD的交点，1为A11，B1D1的交点．

由棱柱的性质知：

A11∥，且A11＝，

∴四边形A11为平行四边形，

∴A1∥1，

又A1⊥平面ABD，∴1⊥平面ABD，

又1⊂平面1D，

∴平面1D⊥平面ABD

变式迁移2　证明　

（1）如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD又因为EF⊄平面PD，PD⊂平面PD，

所以直线EF∥平面PD

（2）连接BD因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD

因为平面PAD⊥平面ABD，BF⊂平面ABD，

平面PAD∩平面ABD＝AD，所以BF⊥平面PAD

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD

例3　解题导引　高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．

求这两种空间角的步骤：

（几何法）．

根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）→认（指）→求．

（1）证明　如图所示，连接BD，由底面ABD是正方形可得A⊥BD

∵SD⊥平面ABD，∴BD是BE在平面ABD上的射影，∴A⊥BE

（2）解　如图所示，由SD⊥平面ABD，D⊂平面ABD，

∴SD⊥D

又底面ABD是正方形，

∴D⊥AD又SD∩AD＝D，

∴D⊥平面SAD

过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接F，则F⊥AE，故∠FD是二面角—AE—D的平面角，即∠FD＝θ

在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，

∴tanφ＝DEBD＝λ2

在Rt△ADE中，∵AD＝2a＝D，DE＝λa，

∴AE＝aλ2＋2，

从而DF＝AD•DEAE＝2λaλ2＋2

在Rt△DF中，tanθ＝DDF＝λ2＋2λ，

由tanθ•tanφ＝1，得

λ2＋2λ•λ2＝1ͤλ2＋2＝2ͤλ2＝2

由λ∈（0,2]，解得λ＝2，即为所求．

变式迁移3　

（1）证明　∵PA⊥底面AB，∴PA⊥B

又∠BA＝90°，∴A⊥B又A∩PA＝A，

∴B⊥平面PA

（2）解　∵D为PB的中点，DE∥B，∴DE＝12B

又由

（1）知，B⊥平面PA，

∴DE⊥平面PA，垂足为点E

∴∠DAE是AD与平面PA所成的角．

∵PA⊥底面AB，∴PA⊥AB

又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．

∴AD＝22AB

在Rt△AB中，∠AB＝60°，∴B＝12AB

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝DEAD＝B2AD＝24

∴AD与平面PA所成的角的正弦值为24

（3）解　∵DE∥B，又由

（1）知，B⊥平面PA，

∴DE⊥平面PA

又∵AE⊂平面PA，PE⊂平面PA，

∴DE⊥AE，DE⊥PE

∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．

∵PA⊥底面AB，∴PA⊥A，∴∠PA＝90°

∴在棱P上存在一点E，使得AE⊥P

这时，∠AEP＝90°，

故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．

后练习区

1．　2D　3

4．D　[两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．]

．A

6．

解析　面PAB⊥面PAD，

面PAB⊥面ABD，面PAB⊥面PB，

面PAD⊥面ABD，面PAD⊥面PD

7．①②③

解析　由于ABD—A1B11D1是正方体，所以A—A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面B1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面B1D1，故②正确；从而可得A1⊥平面B1D1，即A1与B1垂直，所成的角等于90°

86＋2解析　如图取D的中点F，S的中点G，连接EF，GF，GE

则A⊥平面GEF，故动点P的轨迹是△EFG的三边．

又EF＝12DB＝2，

GE＝GF＝12SB＝62，

∴EF＋FG＋GE＝6＋2

9．

（1）证明　因为A⊥平面ABD，

PD∥A，所以PD⊥平面ABD

又B⊂平面ABD，所以PD⊥B（2分）

因为四边形ABD为正方形，

所以B⊥D

又PD∩D＝D，所以B⊥平面PD（4分）

在△PB中，因为G、F分别为PB、P的中点，

所以GF∥B，所以GF⊥平面PD又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PD（6分）

（2）解　因为PD⊥平面ABD，四边形ABD为正方形，不妨设A＝1，

则PD＝AD＝2，

所以VP－ABD＝13S正方形ABD•PD＝83（8分）

由题意可知，DA⊥平面AB，且PD∥A，

所以DA即为点P到平面AB的距离，

所以VP－AB＝13×12×1×2×2＝23（10分）

所以VP－AB∶VP－ABD＝1∶4（12分）

10．

（1）证明　设A∩BD＝H，连接EH在△AD中，因为AD＝D，且DB平分∠AD，所以H为A的中点，又由题设，知E为P的中点，故EH∥PA又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE（4分）

（2）证明　因为PD⊥平面ABD，A⊂平面ABD，所以PD⊥A由（Ⅰ）可得，DB⊥A又PD∩DB＝D，

故A⊥平面PBD（8分）

（3）解　由A⊥平面PBD可知，BH为B在平面PBD内的射影，所以∠BH为直线B与平面PBD所成的角．

由AD⊥D，AD＝D＝1，DB＝22，可得DH＝H＝22，BH＝322

在Rt△BH中，tan∠BH＝HBH＝13

所以直线B与平面PBD所成的角的正切值为13

（12分）

11．

（1）解　连接A1D，则由A1D∥B1知，B1与DE所成角即为A1D与DE所成角．（2分）连接A1E，可设正方体ABD－A1B11D1的棱长为a，

则A1D＝2a，

A1E＝DE＝2a，

∴s∠A1DE＝

A1D2＋DE2－A1E22•A1D•DE＝10

∴直线B1与DE所成角的余弦值是10（6分）

（2）证明　取B1的中点F，B1D的中点G，

连接BF，EG，GF∵D⊥平面B1B1，

且BF⊂平面B1B1，∴D⊥BF

又∵BF⊥B1，D∩B1＝，

∴BF⊥平面B1D（8分）

又∵GF綊12D，BE綊12D，

∴GF綊BE，∴四边形BFGE是平行四边形，

∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1D

∵GE⊂平面EB1D，

∴平面EB1D⊥B1D（10分）

（3）解　连接EF

∵D⊥B1，GF∥D，∴GF⊥B1

又∵GE⊥平面B1D，∴GE⊥B1

又∵GE∩GF＝G，∴B1⊥平面GEF，∴EF⊥B1，

∴∠EFG是二面角E－B1－D的平面角．（12分）

设正方体的棱长为a，则在△EFG中，

GF＝12a，EF＝32a，GE⊥GF，∴s∠EFG＝GFEF＝33，

∴二面角E－B1－D的余弦值为33（14分）