高考数学理科一轮复习空间的垂直关系学案含答案.docx

1、高考数学理科一轮复习空间的垂直关系学案含答案高考数学（理科）一轮复习空间的垂直关系学案含答案 学案44空间的垂直关系导学目标： 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题自主梳理 1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线垂直于同一个平面的两条直线_垂直于同一直线的两

2、个平面_2直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，说它们所成角为_；直线l或l⊂，则它们成_角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直4二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角自我检测 1平面平面的一个充分条是()A存在一条直线l，l，lB存在一个平面，存在一个平面，D存在一条直线l，l，l2(20

3、10•浙江)设l，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若l，⊂，则lB若l，l，则若l，⊂，则lD若l，则l3(2011•长沙模拟)对于不重合的两个平面与，给定下列条：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线l⊂，直线⊂，使得l；存在异面直线l、，使得l，l，其中，可以判定与平行的条有()A1个 B2个3个 D4个4(2011•十堰月考)已知，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若，n，则nB若，则若，则D若，n，则n(2011•大纲全国)

4、已知点E、F分别在正方体ABDA1B11D1的棱BB1、1上，且B1E2EB，F2F1，则面AEF与面AB所成的二面角的正切值为_探究点一线面垂直的判定与性质例1 RtAB所在平面外一点S，且SASBS，D为斜边A的中点(1)求证：SD平面AB；(2)若ABB求证：BD平面SA 变式迁移1在四棱锥VABD中，底面ABD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABD证明：ABVD探究点二面面垂直的判定与性质例2 (2011•邯郸月考)如图所示，已知四棱柱ABDA1B11D1的底面为正方形，1、分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABD内的射影是求证：平面1D平面ABD 变式迁移

5、2(2011•江苏)如图，在四棱锥PABD中，平面PAD平面ABD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PD；(2)平面BEF平面PAD探究点三直线与平面，平面与平面所成的角例3 (2009•湖北)如图，四棱锥SABD的底面是正方形，SD平面ABD，SD2a，AD2a，点E是SD上的点，且DEa(0<2)(1)求证：对任意的(0,2，都有ABE；(2)设二面角AED的大小为，直线BE与平面ABD所成的角为，若tan tan 1，求的值 变式迁移3(2009•北京)如图，在三棱锥PAB中，PA底面AB，PAAB，AB

6、60，BA90，点D、E分别在棱PB、P上，且DEB(1)求证：B 平面PA(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PA所成角的正弦值(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由 转化与化归思想综合应用例 (12分)已知四棱锥PABD，底面ABD是A60的菱形，又PD底面ABD，点、N分别是棱AD、P的中点 (1)证明：DN平面PB；(2)证明：平面PB平面PAD多角度审题 (1)在平面PB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；(2)要证面PB面PAD，只需证明B面PAD即可【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连接Q、NQ，因为、N分别是棱AD、P的中点，所以QNBD，且QND，

7、故四边形QND是平行四边形，于是DNQ又Q⊂平面PB，DN⊄平面PBDN平面PB6分(2)PD平面ABD，B⊂平面ABD，PDB又因为底面ABD是A60的菱形，且为AD中点，所以BAD又ADPDD，所以B平面PAD又B⊂平面PB，平面PB平面PAD12分【突破思维障碍】立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直ͤa；(2)判定定理1：、n⊂，nAl，lnͤl；(3)判定定理2：ab，aͤb；(4)面面平行的性质：，aͤ

8、a；()面面垂直的性质：，l，a⊂，alͤa2证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，b⊂ͤab；(4)线面垂直的性质：a，bͤab3证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂，aͤ(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1(2011•滨州月考)已知直线a，b和平面，且a，b，那么是ab的()A充分不必要条 B必要不充分条充分必要条 D既不充分也不必要条2已知两个不同的平面、和

9、两条不重合的直线、n，有下列四个命题：若n，则n；若，则；若，n，n⊂，则；若，n，则n其中正确命题的个数是()A0 B1 2 D33设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则其中正确命题的序号是()A B D4(2011•浙江)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交

10、于点，则动点的轨迹是()A一条直线 B一个圆一个椭圆 D双曲线的一支二、填空题(每小题4分，共12分)6如图所示，四棱锥PABD的底面ABD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPD2a，则它的个面中，互相垂直的面有_对7(2011•金华模拟)如图所示，正方体ABDA1B11D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面B1D1；A1与B1所成的角是90其中正确命题的序号是_8正四棱锥SABD底面边长为2，高为2，E是边B的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEA，则动点P的轨迹的周长为_三、解答题(共38分)9(12分

11、)(2010•东)在如图所示的几何体中，四边形ABD是正方形，A平面ABD，PDA，E、G、F分别为B、PB、P的中点，且ADPD2A(1)求证：平面EFG平面PD；(2)求三棱锥PAB与四棱锥PABD的体积之比10(12分)(2009•天津)如图，在四棱锥PABD中，PD平面ABD，ADD，DB平分AD，E为P的中点，ADD1，DB22(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：A平面PBD；(3)求直线B与平面PBD所成的角的正切值 11(14分)(2011•杭州调研)如图所示，已知正方体ABDA1B11D1中，E为AB的中点(1)求直线B1与DE所成角的余

12、弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1D；(3)求二面角EB1D的余弦值学案44空间的垂直关系自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角03(1)一条垂线(2)交线4垂直自我检测1D2B3B4D23堂活动区例1 解题导引线面垂直的判断方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明(1)取AB中点E，连接SE，DE，在RtAB中，D、E分别为A、AB的中点，故DEB，且DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，SEABSEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE而SD⊂面SDE，ABSD在SA中，SAS，D为A的中点，SDASDA，SDAB，AAB

13、A，SD平面AB(2)若ABB，则BDA，由(1)可知，SD面AB，而BD⊂面AB，SDBDSDBD，BDA，SDAD，BD平面SA变式迁移1证明平面VAD平面ABD，ABAD，AB⊂平面ABD，AD平面VAD平面ABD，AB平面VADVD⊂平面VAD，ABVD例2 解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行证明如图所示，连接A，BD，A11，则为A，BD的交点，1为A11，B1D1的交点由棱柱的性质知：A11，且A11，四边形A11为平行四边形，A11，又A1平面AB

14、D，1平面ABD，又1⊂平面1D，平面1D平面ABD变式迁移2证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD又因为EF⊄平面PD，PD⊂平面PD，所以直线EF平面PD(2)连接BD因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABD，BF⊂平面ABD，平面PAD平面ABDAD，所以BF平面PAD又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF平面PAD例3 解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查求这两种空间

15、角的步骤：(几何法)根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)认(指)求(1)证明如图所示，连接BD，由底面ABD是正方形可得ABDSD平面ABD，BD是BE在平面ABD上的射影，ABE(2)解如图所示，由SD平面ABD，D⊂平面ABD，SDD又底面ABD是正方形，DAD又SDADD，D平面SAD过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接F，则FAE，故FD是二面角AED的平面角，即FD在RtBDE中，BD2a，DEa，tan DEBD2在RtADE中，AD2aD，DEa，AEa22，从而DFAD•DEAE2a22在RtDF

16、中，tan DDF22，由tan •tan 1，得22•21ͤ222ͤ22由(0,2，解得2，即为所求变式迁移3(1)证明PA底面AB，PAB又BA90，AB又APAA，B平面PA(2)解D为PB的中点，DEB，DE12B又由(1)知，B平面PA，DE平面PA，垂足为点EDAE是AD与平面PA所成的角PA底面AB，PAAB又PAAB，ABP为等腰直角三角形AD22AB在RtAB中，AB60，B12AB在RtADE中，sinDAEDEADB2AD24AD与平面PA所成的角的正弦值为24(3)解DEB，又由(1)知，B平面PA，DE平面PA又AEX

17、34;平面PA，PE⊂平面PA，DEAE，DEPEAEP为二面角ADEP的平面角PA底面AB，PAA，PA90在棱P上存在一点E，使得AEP这时，AEP90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角后练习区12D34D两个平面，垂直时，设交线为l，则在平面内与l平行的直线都平行于平面，故A正确；如果平面内存在直线垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故正确；两个平面，垂直时，平面内与交线平行的直线与平行，故D错误A6解析面PAB面PAD，面PAB面ABD，面PAB面PB，面PAD面ABD，面PAD面PD7解析由于AB

18、DA1B11D1是正方体，所以AA1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正确；又因为平面B1D1与平面A1BD平行，所以AH平面B1D1，故正确；从而可得A1平面B1D1，即A1与B1垂直，所成的角等于90862解析如图取D的中点F，S的中点G，连接EF，GF，GE则A平面GEF，故动点P的轨迹是EFG的三边又EF12DB2，GEGF12SB62，EFFGGE629(1)证明因为A平面ABD，PDA，所以PD平面ABD又B⊂平面ABD，所以PDB(2分)因为四边形ABD为正方形，所以BD又PDDD，所以B平面PD(4分)在PB中，因为G、F

19、分别为PB、P的中点，所以GFB，所以GF平面PD又GF⊂平面EFG，所以平面EFG平面PD(6分)(2)解因为PD平面ABD，四边形ABD为正方形，不妨设A1，则PDAD2，所以VPABD13S正方形ABD•PD83(8分)由题意可知，DA平面AB，且PDA，所以DA即为点P到平面AB的距离，所以VPAB131212223(10分)所以VPABVPABD14(12分)10(1)证明设ABDH，连接EH在AD中，因为ADD，且DB平分AD，所以H为A的中点，又由题设，知E为P的中点，故EHPA又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，所以PA平面B

20、DE(4分)(2)证明因为PD平面ABD，A⊂平面ABD，所以PDA由()可得，DBA又PDDBD，故A平面PBD(8分)(3)解由A平面PBD可知，BH为B在平面PBD内的射影，所以BH为直线B与平面PBD所成的角由ADD，ADD1，DB22，可得DHH22，BH322在RtBH中，tanBHHBH13所以直线B与平面PBD所成的角的正切值为13(12分)11(1)解连接A1D，则由A1DB1知，B1与DE所成角即为A1D与DE所成角(2分)连接A1E，可设正方体ABDA1B11D1的棱长为a，则A1D2a，A1EDE2a，sA1DEA1D2DE2A1E22•A1D&

21、#8226;DE10直线B1与DE所成角的余弦值是10(6分)(2)证明取B1的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GFD平面B1B1，且BF⊂平面B1B1，DBF又BFB1，DB1，BF平面B1D(8分)又GF綊12D，BE綊12D，GF綊BE，四边形BFGE是平行四边形，BFGE，GE平面B1DGE⊂平面EB1D，平面EB1DB1D(10分)(3)解连接EFDB1，GFD，GFB1又GE平面B1D，GEB1又GEGFG，B1平面GEF，EFB1，EFG是二面角EB1D的平面角(12分)设正方体的棱长为a，则在EFG中，GF12a，EF32a，GEGF，sEFGGFEF33，二面角EB1D的余弦值为33(14分)