3.解函数应用问题的4步骤
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
（3）解模：
求解函数模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
[小题体验]
1．（教材习题改编）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（ ）
2．已知某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog3（x＋1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏]
1.
甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．
[典例引领]
某跳水运动员在一次跳
水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m，规定：
以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
（1）当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
二次函数模型问题的3个注意点
（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
（2）确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
A，B两城相距100km，在两城之间距A城x（km）处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离（km）的平方与供电量（亿度）之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
（1）求x的取值范围；
（2）把月供电总费用y表示成x的函数；
（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系C（x）＝
（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
[由题悟法]
应用函数y＝x＋
模型的关键点
（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝
叠加而成的．
（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋
的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋
的形式．
（3）利用模型f（x）＝ax＋
求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
[即时应用]
“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：
万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：
平方米）成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：
万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：
平方米）之间的函数关系是C（x）＝
（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
（1）试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
（2）当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
[典例引领]
（2016·四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11,lg2≈0.30）
A．2018年 B．2019年
C．2020年D．2021年
[由题悟法]
指数函数与对数函数模型的应用技巧
（1）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
[即时应用]
某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大（ ）
A．8元/件 B．10元/件
C．12元/件D．14元/件
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2－1
C．y＝2x－2D．y＝log2x
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示．则杯子的形状是（ ）
4．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某电信公司推出两种手机收费方式：
A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差（ ）
A．10元B．20元
C．30元D.
元
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件（ ）
A．100元B．110元
C．150元D．190元
3．（2016·北京朝阳统一考试）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0A．15B．16
C．17D．18
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是（参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017）（ ）
A．1.5%B．1.6%
C．1.7%D．1.8%
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有
，则m的值为（ ）
A．7B．8
C．9D．10
6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元）．
9.
如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值．
10．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？
其最大利润是多少？
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．（2017·潍坊模拟）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/100kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是________．
（2）最低种植成本是________（元/100kg）．
2．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝k·f（x），其中f（x）＝
若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；
（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？
请说明理由．
命题点一 基本初等函数（Ⅰ）
命题指数：
☆☆☆☆☆
难度：
中、低
题型：
选择题、填空题
1.（2016·全国甲卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lgx
C．y＝2xD．y＝
2．（2016·全国丙卷）已知a＝2
，b＝4
，c＝25
，则（ ）
A．bC．b3．（2013·全国卷Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（ ）
A．c＞b＞aB．b＞c＞a
C．a＞c＞bD．a＞b＞c
4．（2014·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（ ）
5．（2015·山东高考）若函数f（x）＝
是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围为（ ）
A．（－∞，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1，＋∞）
6．（2015·天津高考）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．aC．c
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