3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,)
值域
R
[0,)
R
[0,)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,)时,增;
x∈时,减
增
增
x∈(0,+)时,减;
x∈(-,0)时,减
定点
(1,1)
三:
例题诠释,举一反三
知识点1:
指数幂的化简与求值
例1.(2007育才A)
(1)计算:
;
(2)化简:
变式:
(2007执信A)化简下列各式(其中各字母均为正数):
(1)
(2)
(3)
知识点2:
指数函数的图象及应用
例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式,下列五个关系式:
①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式:
(2010华附A)若直线与函数且的图象有两个公共点,则a的取值范围是_______.
知识点3:
指数函数的性质
例3.(2010省实B)已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判断函数的单调性;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
变式:
(2010东莞B)设a>0,f(x)=是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)求证:
f(x)在(0,+∞)上是增函数.
知识点4:
对数式的化简与求值
例4.(2010云浮A)计算:
(1)
(2)2(lg)2+lg·lg5+;
(3)lg-lg+lg.
变式:
(2010惠州A)化简求值.
(1)log2+log212-log242-1;
(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
(3)(log32+log92)·(log43+log83).
知识点5:
对数函数的性质
例5.(2011深圳A)对于,给出下列四个不等式:
①②;
③④其中成立的是()
(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④
变式:
(2011韶关A)已知0<a<1,b>1,ab>1,则loga的大小关系是()
A.logaB.
C.D.
例6.(2010广州B)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.
变式:
(2010广雅B)已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-]上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
知识点6:
幂函数的图象及应用
例7.(2009佛山B)已知点在幂函数的图象上,点,在幂函数的图象上.问当x为何值时有:
(1);(2);(3).
变式:
(2009揭阳B)已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.
(1)求函数f(x);
(2)讨论F(x)=a的奇偶性.
四:
方向预测、胜利在望
1.(A)函数的定义域为()
A.(1,4)B.[1,4)C.(-∞,1)∪(4,+∞)D.(-∞,1]∪(4,+∞)
2.(A)以下四个数中的最大者是()
(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln(D)ln2
3(B)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a=()
(A)(B)2(C)2(D)4
4.(A)已知是周期为2的奇函数,当时,设则()
(A) (B) (C) (D)
5.(B)设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为()
(A)(1,2)(3,+∞)(B)(,+∞)
(C)(1,2)(,+∞)(D)(1,2)
6.(A)设,,,则( )
A.B.C.D.
7.(A)已知,则()
A.B.C.D.
8.(B)下列函数中既是奇函数,又是区间上单调递减的是()
(A)(B)
(C)(D)
9.(A)函数的定义域是:
()
ABCD
10.(A)已知函数的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则()
A.B.C.D.
11.(B)若函数、三、四象限,则一定有()
A.B.
C.D.
12.(B)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=()
A.B.C.D.
13.(A)已知0<x<y<a<1,则有()
(A)(B)
(C)(D)
14.(A)已知,那么等于()
(A)(B)8(C)18(D)
15.(B)函数y=lg|x|()
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
16.(A)函数的定义域是____________________________.
17.(B)函数的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为.
18.(A)设则__________
19.(B)若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为___________.
20.(B)若函数是奇函数,则a=.
21.(B)已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
参考答案:
三:
例题诠释,举一反三
例1.解:
(1),
(2)
变式:
解:
(1)1,
(2)(3)110
例2.解:
B
变式:
解:
;
例3.解:
(Ⅰ)(Ⅱ)减函数。
(Ⅲ)
变式:
解:
(1)a=1.
(2)略
例4.解:
(1)-1.
(2)1.(3).
变式:
解:
(1)
(2)2.(3)
例5.解:
选D。
变式:
解:
C
例6.解:
(1,3]∪[,1)
变式:
解:
{a|2-2≤a<2}
例7.解:
(1)当或时,;
(2)当时,;
(3)当且时,.
变式:
解:
(1)f(x)=x-4.
(2)F(x)=,∴F(-x)=+bx3.
①当a≠0,且b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数;
③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;
④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.
四:
方向预测、胜利在望
1—5ADDDC;6—10AADDA;11—15CADDB.
16.(-,3)(3,4)17.418.19.[-1,0]20.
21.[解]x须满足
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).
因为函数的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有
,所以是奇函数.
研究在(0,1)内的单调性,任取x1、x2∈(0,1),且设x1得>0,即在(0,1)内单调递减,
由于是奇函数,所以在(-1,0)内单调递减.
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