dE=A[J+eC.
2
【答案】证明：
（1）•••△BEA是厶BEC按逆时针方向旋转/ABC得到，
•••BE=BE/E'BA=ZEBC
•••/DBE=1/ABC•/ABDfZEBC=1/ABC
22
11
•••/ABDFZE'BA=/ABC即/E'BD=/ABCE'BD玄DBE
22
在厶E'BD和^EBD中，TBE=BE/E'BD玄DBEBD=BD
•••△E'BD^AEBD（SAS。
•DE=DE
（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转
/ABC=90,得到△BEA（点C与点A重合，点E到点E'处），连接DE。
由
（1）知DE=DE
由旋转的性质，知E'A=EC/E'AB=ZECB
又•••BA=BC/ABC=90,BACKACB=45。
•••/E'AD=ZE'AB+ZBAC=90。
在Rt△DEA中，DE2=aD+E'A2,.・.DE^aD+eC。
【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
1
【分析】
（1）由旋转的性质易得BE=BEZE'BA=/EBC由已知ZDBE=-ZABC经等量
2
代换可得
ZE'BD=/DBE从而可由SAS^#^E'BD^AEBD得到DE=DE
（2）由
（1）的启示，作如
（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DEA,根据
勾股定理即可证得结论。
2.（2012宁夏区8分）正方形ABCD勺边长为3,E、F分别是ABBC边上的点，且ZEDF=45。
将厶DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM。
（1）求证：
EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长。
【答案】解：
（1）证明：
•••△DAE逆时针旋转90°得到△DCM：
DE=DM/EDM90。
。
•••/EDF+/FDM=90°o
•••/EDF=45°,aZFDM=ZEDF=45°o
•/DF=DFDEF^ADMF（SAS。
•EF=MF
（2）设EF=xo
•/AE=CM=1,•BF=BM-MF=BMEF=4-x。
•••EB=2,「.在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2BF^EF2，即
22（4—x）2=x2
解得，x='o
5
•EF的长为—。
2
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
【分析】
（1）由旋转可得DE=DMZEDM为直角，可得出/EDFVMDF=90，由/EDF=4—,得到/MDF为45°，可得出/EDF2MDF再由DF=DF利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF
（2）由
（1）的全等得到AE=CM=1正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，
再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x可得出BF=BM-FM=B—EF=4-x,在RtBF中，禾U
用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。
3.（2012广东珠海7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形AB'CD（此时，点B'落在对角线AC上，点A'落在CD的延长线上），AB'交AD于点E,连接AA、CE
求证：
（〔）△ADA◎△CDE
（2）直线CE是线段AA的垂直平分线.
【答案】证明：
（1）•••四边形ABCD是正方形，•••AD=CD/ADC=90。
•丄ADE=90。
根据旋转的方法可得：
/EAD=45，•/AED=45。
二AD=DE
••在△AD人’和厶CDE中，AD=CDZEDCMADA=90,AD=DE
•△ADA◎△CDE（SAS。
（2）•AC=AC,a点C在AA的垂直平分线上。
•AC是正方形ABCD的对角线，•/CAE=45。
•/AC=AC,CD=CB,•••AB=AD。
••在△AEB和厶AED中，/EAB=ZEAD,ZAEB=ZAEDAB=AD,
•△AEB◎△A'ED（AAS。
•-AE=AE。
•••点E也在AA的垂直平分线上。
•直线CE是线段AA的垂直平分线。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AD=CDZADC=90,/EAD=45,则/A'DE=90,再计算出/AED=45，根据等角对等边可得AD=ED即可利用SAS证明厶AACED
（2）首先由AC=AC,可得点C在AA的垂直平分线上；再证明△AEB◎△AED可得AE=AE,从而得到点E也在AA的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA的垂直平分线。
（2011湖北咸宁，22,10分）
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，求.EAF的度数.
（2）如图②，在Rt△ABD中，.BAD=90,AB=AD，点M,N是BD边上的任意两点，且ZMAN=45，将△ABM绕点A逆时针旋转90至厶ADH位置，连接NH，试判断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由.
（3）在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,
GF=6,BM=3,2，求AG,MN的长.
设MN=a，则a2=（12、、2-3、2-a）2（32）2.
•a=5、2.即MN=5.2.10分
【思路分析】
（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明△ABE◎△AGE,
1
△AFG◎△AFD,从而得出•EAFBAD;
（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得
2
到对应边、对应角相等，从而为证明△AMNAHN做好了足够铺垫•将线段MN的长转移为HN的长，从而将三条线段集中于Rt△HDN中•（3）利用
（1）的结论求出AG的长，进
而得出BD的长.利用
（2）的结论求出MN的长.
【方法规律】
（1）当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三
角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题•
（2）
当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应
了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有
三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要
解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间•
【易错点分析】因为找不到/HDN=90°而无法判断三条线段的关系•第（3）问不能很好的与第
（2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻•
【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理
【推荐指数】★★★★★
【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题
（2012山东东营10分）
（1）如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求
证：
CE=CF;
（2）如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果/GCE=45°
请你利用
（1）的结论证明：
GE=BE+GD.
（3）运用
（1）
（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
【答案】解：
（1）证明：
在正方形
ABCD中，TBC=CD，/B=ZCDF,BE=DF,
•••△CBE◎△CDF（SAS）。
/•CE=CF。
（2）证明:
如图，延长AD至F,使DF=BE.连接CF。
由
（1）知厶CBE◎△CDF,
•••/BCE=/DCF。
•••/BCE+ZECD=/DCF+ZECD,
即/ECF=ZBCD=90°
又/GCE=45°a/GCF=ZGCE=45°•/CE=CF,/GCE=ZGCF,GC=GC,•••△ECG◎△FCG（SAS）。
aGE=GF,
（3）如图，过C作CG±AD，交AD延长线于G.
aGE=DF+GD=BE+GD。
在直角梯形ABCD中，TAD//BC,A=ZB=90°。
又/CGA=90°AB=BC,
•四边形ABCD为正方形。
•AG=BC。
已知/DCE=45°
根据
（1）
（2）可知，ED=BE+DG。
•10=4+DG，即DG=6。
设AB=x,贝UAE=x—4,AD=x—6,
在RtAAED中，TDE2=AD2+AE2,即卩102=（x—6）2+（x—4）2解这个方程，得：
x=12或x=—2（舍去）。
•AB=12。
11
•S梯形ABCD（ADBC）AB（612）12=108。
22
•梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。
【分析】
（1）由四边形是ABCD正方形，易证得厶CBECDF（SAS），即可得CE=CF。
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由
（1）知厶CBE◎△CDF，易证得/
ECF=/BCD=90°,又由/GCE=45°,可得/GCF=/GCE=45°,即可证得厶ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。
（3）过C作CG丄AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由
（1）
（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAAED中，由勾股定理
DE2=AD2+AE2,可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。
一1
23.（2010年南充市）如图，△ABC内接于OO,AD丄BC,OE丄BC,OE=BC.
（1）求/BAC的度数.
（2）将厶ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求证：
四边形AFHG是正方形.
（3）
（3）若BD=6,CD=4,求AD的长.
答案：
（1）解：
连结0B和0C.
0E丄BC,「.BE=CE.
1
0E=—BC,「./BOC=90°•••/BAC=45°
2
E1E2
D
【答案】解：
（1）证明：
在正方形
ABCD中，TBC=CD，/B=ZCDF,BE=DF,
•••△CBE也厶CDF（SAS）。
/•CE=CF。
（2）证明：
如图，延长AD至F,使DF=BE.连接CF。
由
（1）知厶CBE◎△CDF,
•••/BCE=ZDCF。
•••/BCE+ZECD=ZDCF+ZECD,
即/ECF=ZBCD=90°
又/GCE=45°GCF=ZGCE=45°
•/CE=CF，/GCE=ZGCF,GC=GC,
GD
•••△ECG也厶FCG（SAS）。
•GE=GF,
•GE=DF+GD=BE+GD。
（3）如图，过C作CG±AD，交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中，•/AD//BC,•/A=ZB=90°。
又/CGA=90°AB=BC,
•四边形ABCD为正方形。
•AG=BC。
已知/DCE=45°
根据
（1）
（2）可知，ED=BE+DG。
•10=4+DG，即DG=6。
设AB=x,贝UAE=x—4,AD=x—6,
在RtAAED中,
DE2=AD2+AE2,即卩102=（x—6）2+（x—4）
解这个方程，得：
x=12或x=—2（舍去）。
•••AB=12。
11
•-S梯形abcd（ADBC）AB（6-12）12=108。
22
•梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。
【分析】
（1）由四边形是ABCD正方形，易证得厶CBECDF（SAS）,即可得CE=CF。
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由
（1）知厶CBE◎△CDF，易证得/
ECF=/BCD=90°又由/GCE=45°可得/GCF=ZGCE=45°即可证得厶ECGFCG,从而可得GE=BE+GD。
（3）过C作CG丄AD，交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形，由
（1）
（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x,在RtAAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。
一、正方形内的45。
角
（2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上,
将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，贝UEF的长为
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【分析】•••正方形纸片ABCD的边长为3,「./C=90°,BC=CD=3。
根据折叠的性质得：
EG=BE=1,GF=DF。
设DF=x，贝UEF=EG+GF=1+x,FC=DC—DF=3—x,EC=BC—BE=3—1=2。
在RtAEFC中，EF2=EC2+FC2,即（x+1）2=22+（3—x）2,解得：
x=3。
2
335
•DF=,EF=1+=。
故选Bo
222
（2009益阳市）如图"，△ABC中，已知/BAC=45°,AD丄BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，
巧妙地解答了此题•
图11
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对
称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于
G点，证明四边形AEGF是正方形；
⑵设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值•
【答案】
（1）证明：
由题意可得：
△ABD◎△ABE,△ACD◎△ACF
•••/DAB=ZEAB，/DAC=ZFAC，又/BAC=45°,
•••/EAF=90°
又•••AD丄BC
•••/E=ZADB=90°/F=ZADC=90°
又•••AE=AD,AF=AD
•AE=AF
•四边形AEGF是正方形
（2）解：
设AD=x,贝UAE=EG=GF=x
•/BD=2,DC=3
•BE=2,CF=3
•-BG=x—2,CG=x—3
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2•••（x—2）2+（x—3）2=52化简得，x2—5x—6=0解得X1=6,X2=—1（舍）所以AD=x=6
（2011湖北咸宁，22,10分）
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，求•EAF的度数.
（2）如图②，在Rt△ABD中，.BAD=90,AB=AD，点M,N是BD边上的任意两点，且/MAN=45，将△ABM绕点A逆时针旋转90至厶ADH位置，连接NH，试判
断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由.
（3）在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,
GF=6，BM=3.2，求AG,MN的长.
【答案】
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG,AE=AE,
•••△ABE◎△AGE.•••NBAE=NGAE.1分
同理，.GAF=DAF.
1
•-EAFBAD=45.2分
2
（2）MN2=ND2DH2.3分
•••.BAM=DAH,BAM.DAN=45,
•ZHANZDAH£DAN=45.•ZHANZMAN.
又•••AM=AH,AN二AN,
•△AMN◎△AHN.•MN=HN.5分
•••.BAD=90,AB二AD,•.ABD=ADB=45.
（3）由
（1）知，BE=EG,DF=FG.
设AG二x，贝UCE=x-4,CF=x-6.
222
•••CE2CF2二EF2,
•（x-4）2（x-6）2=102.
解这个方程，得x1=12,x2=-2（舍去负根）.
•AG=12
•BD=：
AB2AD2»2AG2=12..2.
在
（2）中，MN2=ND2DH2,BM=DH,
设MN=a，则a2=（12•2-3.2-a）2（3一2）2.
10分
•a=5、.2.即MN=5.2.
【思路分析】
（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明△ABE◎△AGE,
1
△AFG◎△AFD,从而得出.EAF=丄.BAD;
（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得
2
到对应边、对应角相等，从而为证明△AMNAHN做好了足够铺垫•将线段MN的长转移
为HN的长，从而将三条线段集中于Rt△HDN中.（3）利用
（1）的结论求出AG的长，进
而得出BD的长.利用
（2）的结论求出MN的长.
【方法规律】
（1）当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.
（2）
当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应
了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有
三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要
解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间•
【易错点分析】因为找不到/HDN=90°而无法判断三条线段的关系.第（3）问不能很好的与第
（2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻.
【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理
【推荐指数】★★★★★
【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题
（2011年上海市浦东新区中考预测）已知：
正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线
BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F，/EAF=45
EF、BE、DF有怎样的数量关系?
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段并证明你的猜想•
（2）设BE=x,DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C）,如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B）,点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的OE和以F为圆心以FD为半径的OF之间的位置关系.
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交
于点G,如图2.问"EGF与"EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.
25.
（1）猜想：
EF=BE+DF.（1分）
证明：
将"ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得"ABF',易知点F'、B、E在一直线上.图1.（1分）
•/AF'=AF,
/F，E=Z1+Z3=Z2+Z3=90°-45°=45°=ZEAF,
又AE=AE,
•••"AF'E也"AFE.
•••EF=FE=BE+DF.（1分）
（2）由
（1）得EF=x+y
又CF=1-y,EC=1-x,
2*2*2（1_y）+（1_X）=（x+y）（1分）
1_x
化简可得y=40■x：
：
：
1（1+1分）
1+x
（3）①当点E在点B、C之间时，由
（1）知EF=BE+DF，故此时OE与OF外切；（1分）
2当点E在点C时，DF=0,OF不存在.
3当点E在BC延长线上时，将"ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得"ABF',图2.
有AF'=AF,/仁/2,BF=FD，•/F'A=90°.
•/F，E=ZEAF=45°.
又AE=AE,
•••"AF'E6AFE.（1分）
•EF二EF=BE-BF二BE-FD•…（1分）
•此时OE与OF内切.（1分）
综上所述，当点E在线段BC上时，OE与OF外切；当点E在BC延长线上时，OE与OF内切.
4）"EGF与"EFA能够相似，只要当/EFG=ZEAF=45。
即可.
这时有CF=CE.（1分）
设BE=x,DF=y，由（3）有EF=x-y.
由CE2CF^EF2，得
（x-1f十（1+yf=（x-yi
X—1
化简可得y=—x1.（1分）
x+1
，化简得
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