高二数学数学归纳法综合测试题带答案.docx

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高二数学数学归纳法综合测试题带答案

高二数学数学归纳法综合测试题（带答案）

选修2-22.3数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－11）时，第一步应验证不等式（）

A．1＋12B．1＋12＋13＜2

C．1＋12＋13＜3

D．1＋12＋13＋14＜3

答案]B

解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a（n∈N*，a≠1），在验证n＝1时，左边所得的项为（）

A．1

B．1＋a＋a2

C．1＋a

D．1＋a＋a2＋a3

答案]B

解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.

3．设f（n）＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）等于（）

A.12n＋1B.12n＋2

C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2

答案]D

解析]f（n＋1）－f（n）

＝1（n＋1）＋1＋1（n＋1）＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12（n＋1）

－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12（n＋1）－1n＋1

＝12n＋1－12n＋2.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得（）

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

答案]C

解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）

A．假设n＝k（k∈N*），证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1（k∈N），证明n＝k＋1时命题也成立

答案]C

解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f（n＋1）为（）

A．f（n）＋n＋1

B．f（n）＋n

C．f（n）＋n－1

D．f（n）＋n－2

答案]C

解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f（n＋1）＝f（n）＋1＋n＋1－3＝f（n）＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证（）

A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

答案]D

解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，

当n＝k＋1时2k＋1＝2•2k>2（k2－2）

由2（k2－2）≥（k－1）2－4⇔k2－2k－3≥0

⇔（k＋1）（k－3）≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f（n）＝（2n＋7）•3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）

A．30

B．26

C．36

D．6

答案]C

解析]因为f

（1）＝36，f

（2）＝108＝3×36，f（3）＝360＝10×36，所以f

（1），f

（2），f（3）能被36整除，推测最大的m值为36.

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝（）

A.2（n＋1）2

B.2n（n＋1）

C.22n－1

D.22n－1

答案]B

解析]由Sn＝n2an知Sn＋1＝（n＋1）2an＋1

∴Sn＋1－Sn＝（n＋1）2an＋1－n2an

∴an＋1＝（n＋1）2an＋1－n2an

∴an＋1＝nn＋2an（n≥2）．

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13

a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.

由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110

猜想an＝2n（n＋1），故选B.

10．对于不等式n2＋n≤n＋1（n∈N＋），某学生的证明过程如下：

（1）当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

（2）假设n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即k2＋k∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法（）

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案]D

解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2（n∈N*）”时，第一步的验证为________．

答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立

解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，

∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．

12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n（n＋1），通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.

答案]nn＋1

解析]解法1：

通过计算易得答案．

解法2：

Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n（n＋1）

＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1

＝1－1n＋1＝nn＋1.

13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

答案]5

解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

14．用数学归纳法证明命题：

1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2.

（1）当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第（k－1）项是__________________．

（2）假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．

（3）当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．

答案]

（1）1；1×（3×1＋1）；1×（1＋1）2；k；

（k－1）3（k－1）＋1]

（2）1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2

（3）1×4＋2×7＋…＋（k＋1）3（k＋1）＋1]

＝（k＋1）（k＋1）＋1]2；（k＋1）3（k＋1）＋1]

解析]由数学归纳法的法则易知．

三、解答题

15．求证：

12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n）2＝－n（2n＋1）（n∈N*）．

证明]①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＝－k（2k＋1）2.

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝－k（2k＋1）＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝－k（2k＋1）－（4k＋3）＝－（2k2＋5k＋3）＝－（k＋1）2（k＋1）＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何n∈N*都成立．

16．求证：

12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22（n≥2）．

证明]①当n＝2时，左＝12>0＝右，

∴不等式成立．

②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立．

即12＋13＋…＋12k－1>k－22成立．

那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1

＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1

>k－22＋12k－1＋1＋…＋12k>k－22＋12k＋12k＋…＋12k

＝k－22＋2k－12k＝（k＋1）－22，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：

这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．

证明]

（1）n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．

（2）假设当n＝k（k≥2）时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．

当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝（k＋1）2＋（k＋1）＋22块区域．

所以n＝k＋1时命题也成立．

由

（1）

（2）可知，原命题成立．

18．（2010•衡水高二检测）试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论．

分析]由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；

②利用数学归纳法证明猜想的结论．

解答本题的关键是先利用特殊值猜想．

解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，

当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，

当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，

当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，

由此可以猜想，

2n＋2>n2（n∈N*）成立

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，

左边＝21＋2＝4，右边＝1，

所以左边>右边，

所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，

右边＝22＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，

所以左边>右边．

（2）假设n＝k时（k≥3且k∈N*）时，不等式成立，

即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，

2k＋1＋2＝2•2k＋2＝2（2k＋2）－2>2•k2－2.

又因：

2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3

＝（k－3）（k＋1）≥0，

即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2>（k＋1）2成立．

根据

（1）和

（2），原不等式对于任何n∈N*都成立．