高微高级微观经济学交大上海交大经济学.docx

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高微高级微观经济学交大上海交大经济学

1.假设消费者生活两期，第一期消费者劳动获得收入，用来满足第二期的消费和储蓄，消费者在第二起不劳动，用储蓄来满足消费。

假设消费者在第一期的消费为C1，储蓄为S，劳动收入为w，消费者在第二期的消费为C2，假设市场利率为r，贴现因子为0＜δ＜1。

设消费者的效用函数为：

Arepresentativeconsumerleavefortwoperiods,infirstperiod,heworksandgetsincomeforconsumptionandsaving.Insecondperiodhedoesn’twork,anduseshissavinginfirstperiodtofinancetheconsumptioninsecondperiod.AssumehisconsumptioninfirstperiodisC1,savingisS,incomeisw,consumptioninsecondperiodisC2,themarketinterestisr,anddiscountfactoris0＜δ＜1.Theutilityfunctionisshownasfollow:

（1）写出消费者的效用最大化问题

（2）求出消费者的储蓄函数，并讨论利率的改变和储蓄的关系。

（1）Trytowritedowntheconsumer’sutilitymaximizationproblems

（2）Calculateoutthesavingfunctionanddiscusstherelationshipbetweeninterestrateandsaving

解：

（1）消费者的效用最大化问题为：

Theutilitymaximizationproblemisshownasfollow

其中

（3）把约束条件带入目标函数中，有：

substitutethebindingconditionintotheutilityfunctionwehave：

对目标函数式关于C1求导，并令导数等于0

DifferentiatebothsideswithregardtoC1,makingfirstorderderivativeequalto0

解得

对U’（C1）求导得到U（C1）’’＜0

因为S（r）=w-C1=

上式对r求导得到：

2.一个有垄断势力的厂商面临需求曲线为（A为投入的广告费）：

Thedemandfunctionforamonopolistisshownasfollow:

c

成本函数为：

Itscostfunctionisshownas:

（1）试求出厂商利润最大化的A,Q和P的值

CalculateouttheA,Q,andPtomaximizetheprofit

（2）试求出厂商在利润最大化时的勒那指数

CalculateouttheLernerIndexwhenthemonopolistmaximizesitsprofit

Solution:

（1）

Wehave:

（3）Lernerindex=P-MC/P

=1/|ε|=|dP/dQ*（Q/P）|=9/35

3.考虑对电信业的需求，通常这种需求中存在着网络外部性，即随着上网或者电话客户用书上升，消费者对电信服务的效用评价也会上升。

下列效用函数就是反应“网络外部性”的：

ThedemandfortheTelecomusuallyinvolvesexternality,whichiswhenthenumberofpeopleusingthesamenetincreases,theconsumerswillbenefitmore.Whentheexternalityexists,theutilityfunctionisshownasfollow:

其中UX是消费者X的效用，n是网络中消费者的人数，x为消费者在电信客户中的先后顺序，对n对x标准化后，我们有0≤n≤1,0≤x≤1，x越趋近于0，表示消费者越早成为电信用户。

UXisconsumer’sutility,nisthenumberofpeopleusingthesamenet,xrepresentstheconsumeristhexthpersonwhostartstousetheservice.Afternormalizingnandx,wehave0≤n≤1,0≤x≤1,themorexiscloseto0,theearliertheconsumerstartstousethetelecomservice.

Provethatwiththeexternality,monopolistcan’tgain100%marketshare.

Proof:

Then,weconsiderasituationwhereaconsumerisindifferentbetweenbuyandnotbuy.Wehave：

0=n（1-x）-P

Becausexrepresentsconsumerxisthexthpersonwhostartstousetheservice,wehavex=n.Thenwecangettheequationforthemarginalconsumer:

0=x（1-x）-p

Themonopolisttriestomaximizeitsprofit,wehave:

Substitutethebindingconditionintotheprofitmaximizationfunction,wehave

Differentiatethemaximizationfunctionwithregardtox,wehavethefirstorderconditionshownasfollow:

2x-3x2=0

X=2/3

Nowwehaveshownmonopolistcan’tget100%marketshare

4．消费者的效用函数如下：

θs-pifbuy

U=

1ifnotbuy

θ是消费者对商品的边际评价，s是商品质量，商品可以是高质量，也他可以是低质量。

高质量商品S=1，低质量商品S=0。

商家提供高质量商品的成本为C1，提供低质量商品的成本为C2，其中C2＜C1。

因为θ＞C1，因此提供高质量商品是有效率的。

θisthemarginalutilityofthegoods,sisthequalityofthegoods.Thequalitycanbehigh,whichisS=1,orlow,whichisS=0.ThecostofproducinghighqualitygoodsisC1,andthecostofproducinglowqualitygoodsisC0,C0＜C1.θ＞C1,Highqualitygoodissociallyefficient.

（1）如果所有消费者都完全不知道商品质量，该市场的均衡将如何？

Ifallthebuyerareuninformedconsumer,whatisthemarketequilibrium?

（2）如果有α比例的消费者具有完全信息，1-α的消费者完全不知道商品质量，市场的均衡将如何？

Ifthereareainformedbuyerswhichaccountsforαofthetotalbuyers,andtherestofbuyersareuninformed,whatisthemarketequilibrium?

Solution:

（1）

H

L

BUY

（θ-P,P-C1）

（-P,P-C0）

NOTBUY

（0,0）

（0,0）

从博弈矩阵易知，最后的结果是消费者不购买商品，而商家只会提供低质量的商品。

Basedonthematrix,weknowthatthemarketequilibriumisthatbuyswon’tbuythegoodandsellerwillonlyprovidethelowqualitygood.

（2）

在有具备完全信息的消费者的情况下，商家提供高质量商品和低质量商品的得益如下：

Theprofitsofproducinghighqualitygoodandlowqualitygoodareshownasfollow

π1=P-C1，如果商家提供高质量商品

π0=（1-α）（P-C0）如果商家提供低质量商品

H

L

BUY

（θ-P,P-C1）

（-P,（1-α）P-C0）

NOTBUY

（α（P-C1）,0）

（0,0）

从博弈矩阵，我们得到，当P-C1≥（1-α）（P-C0）时，垄断厂商会提供高质量的商品，最终的博弈结果是，商家提供高质量商品，而两类买方都会购买商品。

Monopolistwillsupplythehighqualitygood,whenthePissufficientlyhigh.

当P-C1＜（1-α）（P-C0）

此时，垄断厂商会选择以一定概率提供高质量商品，而不具备完全信息的消费者以一定概率购买商品。

假设垄断厂商提供高质量商品的概率为r，提供低质量商品的概率为1-r，垄断厂商是的消费者在选择购买与不购买之间误差别：

r（θ-P）+（1-r）（-p）=0得到r=P/θ

消费者以概率β购买商品，以1-β不购买商品，使得垄断厂商在提供高质量与提供低质量的商品之间无差异。

β（P-C1）+（1-β）α（P-C1）=β（1-α）（P-C0）

可解除β

5.某一市场需求曲线如下：

Thedemandfunctionisshownasfollow:

P=100-0.5（q1+q2）

在该市场上，只有两家厂商，他们各自的成本函数为：

Thereare2firmswiththecostfunctionsshownrespectivelyasfollow:

C1=5q1，C2=5q2

（1）在斯塔克伯格模型中，谁会成为追随者？

InStackelbergcompetition,whichfirmwillbethefollower?

（2）该市场最后的结局是什么？

为什么？

Whatisthemarketequilibrium?

Andwhy?

解：

（1）如果厂商1是领导者，厂商2是追随者:

iffirm1isleaderandfirm2isfollower:

P=100-0.5（q1*+q2）

π2=[100-0.5（q1*+q2）]q2-0.5q22

解得：

q2=50-0.25q1*

将其带入厂商1的利润最大化目标函数中，得到：

π1=[100-0.5（q1+50-0.25q1）]q1-5q1

解得π1=3266，π2=711

以同样方法计算厂商2为领导时，两个厂商的利润。

π1=3003，π2=918

如果是古诺均衡，那么π1=3200，π2=900

可以画出博弈矩阵：

厂商2

厂商1

领导者leader

追随者follower

领导者leader

（3200,900）

（3266,711）

追随者follower

（3003,918）

（3200,900）

可知，在有限次博弈中，最终结果是古诺均衡。

但在无限重复博弈中，厂商可采取以下策略：

对厂商1而言，他会选择如下策略：

加入厂商2率先宣布自己的产量为q2，那么厂商1可以选择这样一个产量q1，使得厂商2的利润为负，同时是自己的利润为正。

那么这意味着下面两个不等式成立：

Accordingtothematrix,weknowthatinfiniterepeatedgame,themarketyieldsCournotequilibrium,butintheinfiniterepeatedgame,firm1cantakethefollowingstrategy:

iffirm2declareitsoutput,firm1couldchoosetoproduceq1（whichismaynotaprofitmaximizationoutput）tomaketheprofitoffirm2lessthan0andkeepitsownprofitpositive.So,thefollowing2conditionsshouldbesatisfied:

（100-0.5q1-0.5q2）q1-5q1＞0

（100-0.5q1-0.5q2）q2-0.5q22＜0

这意味着着q2≤10，否则q1可以选择一个产量使得自己盈利，这样给定厂商2的产量q2，厂商1的目标是：

Wecanderivefromthetwoinequalities,thatq2≤10,ifq2＞10,firm1couldtakeactiontomakefirm2’sprofitnegative.Theprofitmaximizationfunctionforfirm1isshownasfollow

Max:

（100-0.5q1-0.5q2）q1-5q1

一阶条件解得q1=95-0.5q2

厂商2的利润最大化问题可以写为：

Thefirm2’sprofitmaximizationfunctionisshownasfollow:

（100-0.5（95-0.5q2）-0.5q2）q2-0.5q22

0≤q2≤10

如此，得到厂商二利润最大化时的收益为450，还不如做追随者时的711高。

Nowwegetthatfirm2’sprofit（s.t.0≤q2≤10）is450,whichislessthan711.

厂商1当领导者时，厂商2有可以采用同样策略来威胁企业1，为了是企业2策略无效，厂商1不能生产超过180的产量，此时他的利润仍然为3266。

Withthesamemethod,weknowthatfirm2coulddothesametofirm1.Inordertomakethestrategyirrelevant,firm1canonlyproducemaximumnumberofunitsof180.However,itsprofitunderthisconditionisstill3266.

因此，在无限重复博弈中，厂商1会成为领导者，厂商2会成为追随者。

Therefore,intheinfiniterepeatedgame,firm1willbecometheleaderandfirm2willbecomethefollower.

（2）在无限重复博弈中，厂商1会成为领导者，厂商2会成为追随者；在有限次重复博弈和一次博弈中，两个厂商最终会形成古诺均衡。

（理由如前所述）

7．假定二手车市场上的质量分布服从[0,2],但卖主与买主一样不知道产品质量，如果卖主和买主的效用函数分别为U1=M+qn和U2=M+3/2qn，预算的约束分别为y1=M+Pn，和y2=M+Pn，

请证明：

市场均衡时有P＞0，q＞0，并不存在逆向选择。

Assumethequalityofusedcarisuniformlydistributedat[0,2],butthesellersdon’tknowthequalityoftheproductaswell.IftheutilityfunctionsofsellerandbuyerareshownrespectivelyasfollowU1=M+qnandU2=M+3/2qn.Thebudgetconstraintisshownasy1=M+Pnandy2=M+Pn

Prove:

Inequilibrium,P＞0,q＞0,andadverseselectiondoesn’texist.

Proof:

证明：

在双方都不知道二手车的质量的情况下，买主的效用函数与以前一样：

EU2=y2+[3/2μ-P]n

要买主买车，必须有3/2μ≥P

卖主的效用函数为：

EU1=y2+[μ-P]n

要卖主卖车，必须有μ≤P

因此，我们可以退出，μ≤P≤3/2μ，且市场上所有车都会被出售。

8.一个消费者的初始收入为I，如果发生事故，他会损失L，设出现事故的概率为θ，不发生事故时，不会有损失。

消费者是严格厌恶风险的，保险公司是风险中立者，他要求消费者在投保时支付保费为P，但保证在发生事故时赔偿S。

AssumetheinitialincomeforarepresentativeconsumerisI,ifthereisanaccident,hewillloseL.weassumetheprobabilityoftheaccidentisθ,iftheaccidentdoesnothappen,hewilllosenothing.Theconsumerisriskaverseandtheinsurancecompanyisriskneutral.ThecompanychargesPfortheinsuranceandguaranteestocoverSiftheaccidenthappens.

（1）写出投保人的期望效用，写出保险公司的期望利润。

Writedowntheexpectedutilityfunctionfortheconsumerandtheexpectedprofitfortheinsurancecompany.

（2）如果保险公司要选择S与P，来确保最大化保险公司的期望利润，应该满足投保人怎样的“约束”

IftheinsurancecompanyhavetochooseSandPtomaximizeitsprofit,whichconstraintshoulditsatisfy?

（3）解

（2）中列出的数学规则，证明最优赔偿金S应该满足S=L

Basedonthesecondquestion,provethattheSthatmaximizetheexpectedprofitequalstoL.

解：

（1）假设投保人的效用函数为U（X）,这个效用函数呈现凹性，即V’＞0，V’’＜0,则他的期望效用为：

EU（X）=θU（I-P-L+S）+（1-θ）U（I-P）

保险公司的期望利润为：

Eπ=θ（P-S）+（1-θ）P=P-θS

（2）如果保险公司的目标是最求利润最大化，他么他的保险计划至少要使得投保人的境况和不投保时一样好。

EU（P,S）≥EU（0,0）

具体化以后为：

θU（I-P-L+S）+（1-θ）U（I-P）≥θU（I-L）+（1-θ）U（I）

整理得：

θ[U（I-P-L-S）-U（I-L）]+（1-θ）[U（I-P）-U（I）]≥0

（3）保险公司的利润最大化问题为：

建立拉格朗日函数求解：

F.O.C

因为U’’（.）＜0,因此U’（.）严格递减，所以I-P+S-L=I-P

从而得出S=L

9．（Thisisthelasthomework,soIthinkyouguysalreadyhavetheEnglishversion）生产一种公共物品P和一种私人物品G的经济生产可能性边界由下式决定：

并且，该经济由100个完全相同的个人组成，每个人有如下形式的效用函数：

Gi是个人在私人商品生产中的份额（=G/100）

（1）如果G和P的市场是完全竞争的，将会生产出多少？

在此情况下典型的个人效用会如何？

（2）G和P的最优生产水平如何？

典型的消费者效用水平如何？

应该怎样对商品进行征税已达到这一结果？

解：

（1）如果G和P的市场是完全竞争的，在均衡时必有以下条件：

MRSP,G=MRTP,G

得到：

因为Gi=G/100,所以我们解得：

G=100P

把G=100P带入约束条件中，我们得到P=0.704，Gi=0.704

（2）按照萨缪尔森加总规则计算G和P的最优生产水平：

解得G=10P，将其带入生产可能性边界中，解得P=5，G=50,Gi=0.5

消费者的效用为U=0.5*10^1/2=1.58

政府可以通过向消费者消费公共品征收从量税，是的在竞争条件下公共物品的供给达到有效数量，假设私人品的的价格为1，公共物品的价格为t（所征税收）。

在达到竞争性均衡时，每个消费者的边际替代率相同，都等于私人物品和公共物品的价格之比，即：