所以a相电压ua0’=f（t）是以+ud/2和－ud/2为幅值作正、负跳变的脉冲波形。
同理，图3-5c的ub0’=f（t）是由vt3和vt6交替导通得到的，图3-5d的uc0’=f（t）是由vt5和vt2交替导通得到的。
由ua0’和ub0’相减，可得逆变器输出的线电压uab=f（t）（图3-5e），也就是负载上的线电压，其脉冲幅值为+ud和－ud。
可见，线电压的spwm波是由±ud和0三种电平构成的。
图3-5 三相桥式pwm逆变器的双极性spwm波形
图5-20中的uao`、ubo`与uco`是逆变器输出端a、b、c分别与直流电源中点o`之间的电压，o`点与负载的零点o并不一定是等电位的，uao`等并不代表负载上的相电压。
令负载零点o与直流电源中点o`之间的电压为uoo`，则负载各相的相电压分别为
（3-1）
将式（3-1）中各式相加并整理后得
一般负载三相对称，则uao+ubo+uco=0，故有
（3-2）
由此可求得a相负载电压为
（3-3）
在图3-5f中绘出了相应的负载a相电压波形，ubo和uco波形与此相似。
3.2 spwm波的基波电压
对电动机来说，有用的是电压的基波，希望spwm波形中基波的成分越大越好。
为了找出基波电压，须将spwm脉冲序列波u（t）展开成傅氏级数，由于各相电压正、负半波及其左、右均对称，它是一个奇次正弦周期函数，其一般表达式为
式中
（3-4）
要把包含n个矩形脉冲的u（t）代入上式，必须先求得每个脉冲的起始相位和终了相位。
在图3-5中，由于在原点处三角波是从负的顶点开始出现的，所以第i个脉冲中心点的相位应为
（3-5）
于是，第i个脉冲的起始相位为
终了相位为
其中δi是第i个脉冲的宽度。
把各脉冲起始和终了相位代入式（3-4）中，可得
（3-6）
故
（3-7）
以k=1代入式（3-7），可得输出电压的基波幅值。
当半个周期内的脉冲数n不太少时，各脉冲的宽度δi都不大，可以近似地认为sinδi/2≈δi/2，因此
（3-8）
可见输出基波电压幅值u1m与各段脉宽δi有着直接的关系，它说明调节参考信号的幅值从而改变各个脉冲的宽度时，就可实现对逆变器输出电压基波幅值的平滑调节。
根据脉冲与相关段正弦波面积相等的等效原则可以导出
（3-9）
将式（3-5）、式（3-9）代入式（3-8），得
（3-10）
可以证明，除n=1以外，有限项三角级数
而n=1是没有意义的，因此由式（3-10）可得
u1m=um
也就是说，spwm逆变器输出脉冲波序列的基波电压正是调制时所要求的正弦波幅值电压。
当然，这个结论是在作出前述的近似条件下得到的，即n不太少，sinπ/2n≈π/2n，且sinδi/2≈δi/2。
当这些条件成立时，spwm变压变频器能很好地满足异步电动机变压变频调速的要求。
要注意到，spwm逆变器输出相电压的基波和常规六拍阶梯波的交-直-交变压变频器相比要小一些，据有关资料介绍，仅为其86%~90%，这样就影响了电机额定电压的充分利用。
为了弥补这个不足，在spwm逆变器的直流回路中常并联相当大的滤波电容，以抬高逆变器的直流电源电压ud。
3.3 脉宽调制的制约条件
根据脉宽调制的特点，逆变器主电路的功率开关器件在其输出电压半周内要开关n次。
如果把期望的正弦波分段越多，则n越大，脉冲波序列的脉宽δi越小，上述分析结论的准确性越高，spwm波的基波就更接近期望的正弦波。
但是，功率开关器件本身的开关能力是有限的，因此，在应用脉宽调制技术时必然要受到一定条件的制约，这主要表现在以下两个方面。
3.3.1 功率开关器件的开关频率
各种电力电子器件的开关频率受到其固有的开关时间和开关损耗的限制，全控型器件常用的开关频率如下：
双极型电力晶体管（bjt）开关频率可达1~5khz，可关断晶闸管（gto）开关频率为1~2khz，功率场效应管（p-mosfet）开关频率可达50khz，而目前最常用的绝缘栅双极晶体管（igbt）开关频率为5～20khz。
定义载波频率ft与参考调制波频率fr之比为载波比n（carrierratio），即
（3-11）
相对于前述spwm波形半个周期内的脉冲数n来说，应有n=2n。
为了使逆变器的输出尽量接近正弦波，应尽可能增大载波比，但若从功率开关器件本身的允许开关频率来看，载波比又不能太大。
n值应受到下列条件的制约：
（3-12）
式（3-12）中的分母实际上就是spwm变频器的最高输出频率。
3.3.2 最小间歇时间与调制度
为保证主电路开关器件的安全工作，必须使调制的脉冲波有个最小脉宽与最小间歇的限制，以保证最小脉冲宽度大于开关器件的导通时间ton，而最小脉冲间歇大于器件的关断时间toff。
在脉宽调制时，若n为偶数，调制信号的幅值urm与三角载波相交的两点恰好是一个脉冲的间歇。
为了保证最小间歇时间大于toff，必须使urm低于三角载波的峰值utm。
为此，定义urm与utm之比为调制度m，即
（3-13）
在理想情况下，m值可在0~1之间变化，以调节逆变器输出电压的大小。
实际上，m总是小于1的，在n较大时，一般取最高的m=0.8~0.9。
3.4 同步调制与异步调制
在实行spwm时，视载波比n的变化与否，有同步调制与异步调制之分。
3.4.1 同步调制
在同步调制方式中，n＝常数，变频时三角载波的频率与正弦调制波的频率同步改变，因而输出电压半波内的矩形脉冲数是固定不变的。
如果取n等于3的倍数，则同步调制能保证输出波形的正、负半波始终对称，并能严格保证三相输出波形间具有互差120°的对称关系。
但是，当输出频率很低时，由于相邻两脉冲间的间距增大，谐波会显著增加，使负载电动机产生较大脉动转矩和较强的噪声，这是同步调制方式的主要缺点。
3.4.2 异步调制
为了消除同步调制的缺点，可以采用异步调制方式。
顾名思义，异步调制时，在变压变频器的整个变频范围内，载波比n不等于常数。
一般在改变调制波频率fr时保持三角载波频率ft不变，因而提高了低频时的载波比。
这样输出电压半波内的矩形脉冲数可随输出频率的降低而增加，从而减少负载电动机的转矩脉动与噪声，改善了系统的低频工作性能。
有一利必有一弊，异步调制方式在改善低频工作性能的同时，又失去了同步调制的优点。
当载波比n随着输出频率的降低而连续变化时，它不可能总是3的倍数，势必使输出电压波形及其相位都发生变化，难以保持三相输出的对称性，可能引起电动机工作的不平稳。
3.4.3 分段同步调制
为了扬长避短，可将同步调制和异步调制结合起来，成为分段同步调制方式，实用的spwm变压变频器多采用这种方式。
在一定频率范围内采用同步调制，可保持输出波形对称的优点，但频率降低较多时，如果仍保持载波比n不变，输出电压谐波将会增大。
为了避免这个缺点，可以采纳异步调制的长处，使载波比分段有级地加大，这就是分段同步调制方式。
具体地说，把整个变频范围划分成若干频段，在每个频段内都维持载波比n恒定，而对不同的频段取不同的n值，频率低时，n值取大些，一般大致按等比级数安排。
表3-1给出了一个系统的频段和载波比的分配，以资参考。
图3-6所示是与表3-1相应的f1与ft的关系曲线。
由图可见，在输出频率f1的不同频段内用不同的n值进行同步调制，使各频段开关频率的变化范围基本一致，以适应功率开关器件对开关频率的限制。
图3-6 分段同步调制时输出频率与开关频率的关系曲线
上述图表的设计计算方法如下：
已知变频器要求的输出频率范围为5~60hz，用igbt作开关器件，取最大开关频率为5.5khz左右，最小开关频率在最大开关频率的1/2~2/3之间，视分段数要求而定。
现取输出频率上限为62hz，则第一段载波比为
取n为3的整数倍数，则n1=90，修正后，
若取
，计算后得
取整数，则f1min=41hz,ftmin=41×90=3690hz。
以下各段依此类推，可得表3-1中各行的数据。
分段同步调制虽然比较麻烦，但在微电子技术迅速发展的今天，这种调制方式是很容易实现的。
3.5 spwm控制方法
采用高开关频率的全控型电力电子器件组成逆变电路时，先假定器件的开与关均无延时，于是可将要求变频器输出三相spwm波的问题转化为如何获得与其形状相同的三相spwm控制信号问题，用这些信号作为变频器中各电力电子器件的基极（栅极）驱动信号。
原始的spwm是由模拟控制实现的。
图3-7是spwm变压变频器的模拟控制电路框图。
三相对称的参考正弦电压调制信号ura、urb、urc由参考信号发生器提供，其频率和幅值都可调。
三角载波信号ut由三角波发生器提供，各相共用。
它分别与每相调制信号进行比较，给出“正”的饱和输出或“零”输出，产生spwm脉冲波序列uda、udb、udc，作为变压变频器功率开关器件的驱动信号。
spwm的模拟控制现在已很少应用，但它的原理仍是其它控制方法的基础。
图3-7 spwm变压变频器的模拟控制电路
目前常用的spwm控制方法是数字控制。
可以采用微机存储预先计算好的spwm波形数据表格，控制时根据指令调出；或者通过软件实时生成spwm波形；也可以采用大规模集成电路专用芯片中产生的spwm信号。
下面介绍几种常用的方法。
3.5.1 自然采样法
完全按照模拟控制的方法，计算正弦调制波与三角载波的交点，从而求出相应的脉宽和脉冲间歇时刻，生成spwm波形，称为自然采样法（naturalsampling），如图3-8所示。
在图中截取了任意一段正弦调制波与三角载波的相交情况。
交点a是发出脉冲的时刻，b点是结束脉冲的时刻。
图3-7spwm变压变频器的模拟控制电路tc为三角载波的周期；t1为在tc时间段内在脉冲发生以前（即a点以前）的间歇时间；t2为ab之间的脉宽时间；t3为在tc时间段以内b点以后的间歇时间。
显然，tc=t1+t2+t3。
图3-8 生成spwm波形的自然采样法
若以单位1代表三角载波的幅值utm，则正弦调制波的幅值urm就表示调制度m，正弦调制波可写作ur=msinω1t
式中，ω1是调制频率，也就是变压变频器的输出频率
由于a、b两点对三角载波的中心线并不对称，须把脉宽时间t2分成t`2和t``2两部分（见图3-8）。
按相似直角三角形的几何关系，可知
经整理得
（3-14）
这是一个超越方程，其中ta、tb与载波比n、调制度m都有关系，求解困难，而且t1≠t3，分别计算更增加了困难。
因此，自然采样法虽能确切反映正弦脉宽调制的原始方法，计算结果正确，却不适于微机实时控制。
3.5.2 规则采样法
自然采样法的关键问题是，spwm波形每一个脉冲的起始和终了时刻ta和tb对三角波的中心线不对称，因而求解困难。
工程上实用的方法要求算法简单，只要误差不大，允许作一些近似处理。
这样就提出了各种规则采样法（regularsampling）。
规则采样法的出发点是设法在三角载波的特定时刻处确定正弦调制波的采样电压值，使脉冲的起始和终了时刻对称，这样就比较容易计算求出对应于每一个spwm波的采样时刻。
图3-9所示是一种规则采样法，以三角载波的负峰值（e点）作为采样时刻，对应的采样电压为ure。
在三角载波上由ure水平线截得a、b两点，以此确定了脉宽时间t2。
由于在两个三角载波波形正峰值之间的时刻即为tc，因此a点、b点与载波各正峰值的间隔时间分别为t1和t3，且t1=t3，而相应的spwm波形相对于tc的中间时刻（载波负峰值对应的时刻）对称，这就大大简化了计算。
需要指出的是，上述规则采样法所得spwm波形的起始时刻、终了时刻以及脉宽大小都不如自然采样法准确，脉冲起始时刻a点比自然采样法提前了，终了时刻b点也提前了，虽然两者提前的时间不尽相同，但终究相互之间有了一些补偿，对脉冲宽度的影响不大，所造成的误差是工程上能够允许的，毕竟规则采样法的算法简单多了。
由图3-9可以看出，规则采样法的实质是用阶梯波来代替正弦波（图中粗实线所示），从而简化了算法。
只要载波比足够大，不同的阶梯波都很逼近正弦波，所造成的误差可以忽略不计。
图3-9 生成spwm波的一种规则采样法
在规则采样法中，三角载波每个周期的采样时刻都是确定的，都在负峰值处，不必作图就可计算出相应时刻的正弦波值。
例如采样值应依次为msinω1te，msin（ω1te+tc），msin（ω1te+2tc），………，因而脉宽时间和间歇时间都可以很容易计算出来。
由图3-9可得规则采样法的计算公式：
脉宽时间
（3-15）
间歇时间
（3-16）
实用的变频器多是三相的，因此还应形成三相的spwm波形。
三相正弦调制波在时间上互差2π/3，而三角载波是共用的，这样就可在同一个三角载波周期内获得图3-10所示的三相spwm脉冲波形。
在图中，每相的脉宽时间ta2、tb2和tc2都可用式（3-15）计算，求三相脉宽时间的总和时，等式右边第一项相同，加起来是其三倍，第二项之和则为零，因此
（3-17）
图3-10 三相spwm波形的生成
三相间歇时间总和为
脉冲两侧的间歇时间相等，所以
（3-18）
式中，下角标a、b、c分别表示a、b、c三相。
在数字控制中，一般可以离线先在计算机上算出不同ω1与m时的脉宽时间t2或
后，写入eprom，然后由调速系统的微机通过查表和加减法运算求出各相脉宽时间和间歇时间，这就是查表法。
也可以在内存中存储正弦函数和tc/2值，控制时，先取出正弦值与调速系统所需的调制度m作乘法运算，再根据给定的载波频率取出对应的tc/2值，与msinω1te作乘法运算，然后运用加、减、移位即可算出脉宽时间t2和间歇时间t1、t3，此即实时计算法。
按查表法或实时计算法所得的脉冲数据都送入定时器，利用定时中断向接口电路送出相应的高、低电平，以实时产生spwm波形的一系列脉冲。
对于开环控制系统，在某一给定转速下其调制度m与频率ω1都有确定值，所以宜采用查表法。
对于闭环控制的调速系统，在系统运行中调制度m值须随时被反馈控制调节，所以用实时计算法更为宜。
3.5.3 spwm专用集成电路芯片与微处理器
应用单片微机产生spwm波形时，其效果受到指令功能、运算速度、存储容量和兼顾其它控制算法功能的限制，有时难以有很好的实时性。
特别是在高频电力电子器件的应用以及在闭环调速系统中，完全依靠软件生成spwm波形的方法实际上很难适应其要求。
随着微电子技术的发展，早期曾陆续开发了一些专门用于发生spwm控制信号的集成电路芯片，如mullard公司的hef4752、philips公司的mkⅱ、siemens公司的sle4520、sanken公司的mb63h110，以及我国研制的zps-110等，应用这类专用芯片当然比用单片微机生成spwm信号要方便得多。
近来更出现了多种用于电动机调速控制的专用单片微处理器，如intel公司的8xc196mc系列、tl公司的tms320系列、日立公司的sh7000系列等。
这些微处理器一般都具有以下功能：
（1）有pwm波形生成硬件及较宽的调频调制范围；
（2）为了对变频器及所组成调速系统的运行参数（如电压、电流、转速等）进行实时检测与故障保护，微处理器具有很强的中断功能与较多的中断通道；（3）具有将外部的模拟量控制信号及通过各种传感器送来的模拟反馈、检测信号进行a/d转换的接口，且一般为8位转换器；（4）具有较高的运算速度、能完成复杂运算的指令、内存容量较大；（5）有用于外围通信的同步、异步串行接口的硬件或软件单元。
由于这些功能的支持，所以上述微处理器能方便地用于开发基于pwm控制技术的电动机调速系统，微处理器除能产生可调频率的pwm控制信号外，还能完成必需的保护、控制等功能。
现代spwm变频器的控制电路大都是以微处理器为核心的数字控制电路。
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