宏观经济学分析方法系列课堂放映版11硕已讲最优控制原理.docx

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宏观经济学分析方法系列课堂放映版11硕已讲最优控制原理

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附录：

宏观经济学分析方法：

最优控制原理

（10、11硕已讲，精细订正版）

一、问题与术语

在优化控制原理中，目的是寻找称为控制变量的最优时间路径的一个控制变量，记为．以前我们用变分法解决最优时间路径时称为状态变量的变量，现继续表示为．状态变量总有等于的运动或转移方程．选择控制变量的时间路径，以使泛函在满足状态变量约束条件下最优．

优化控制原理涉及连续时间，有限时间域，和固定端点三种类型。

它通常写为

满足

（21．1）

这里，

被最优化的泛函值；

控制变量，这样叫是因为它的值被选择或控制来优化；

状态变量，它随着时间约束中等于呈的不同方程集而变化，它的值也由约束中控制变量间接决定；

时间．

一个优化控制问题的解，给出控制变量的最优动力时间路径。

二、哈密顿和最优控制原理最大化的必要条件

满足状态变量约束的泛函动态优化问题涉及到一个哈密顿函数，它与凹规划中的拉格朗日函数相似．

由（21．1），哈密顿函数定义为

（21．2）

这里，称为共态变量．与拉格朗日乘子相似，共态变量估计相关状态变量的边际值或影子价格．

可见，从（21．2）构造哈密顿函数．只将积分号下的被积函数与共态变量和约束乘积相加即可．

假定哈密顿在是可微分的，并严格凹，那么有一个内部解而不是隅角解，最大化的必要条件是

1．

2．（a）（b）

3．（a）（b）

前面两个条件称为最大化原理，第三个条件称为边界条件．

第二个条件中，两个运动方程一般称为哈密顿系统或典型系统．

另，对于最小化，如凹规划一样，仅给目标函数乘-1．如果解不包含端点，第一个条件中，不需要等于零，但必须关于最大．

例1使用第21．2节中的条件，解决下面的最优控制问题：

满足

解：

A从（21.1），建立哈密顿函数．

B假定一个内部解，应用最大化原则．

1．

（21.3）

2．

（a）

（21.4）

（b）

但根据（21．3），．因此，

（21．5）

使用最大化原则，得到两个微分方程。

现在，我们用来求解状态变量和共态变量。

通过积分（21.4）找到共态变量．

（21．6）

把（21．6）代入（21．5），

积分，

（21．7）

C利用边界条件确定积分常量．

将边界条件应用到（21．7），

接着把和代入（21．7）和（21．6），有

状态变量（21．8）

共同变量

D最后，我们可用两种方法中的任一种找到控制变量的最终解．

1.从（21．3），，因此

控制变量

2．或求出（21．8）中的微分，

我们把代入约束中的运动方程，

控制变量

在端点赋值，

控制变量的最优路径是从（0，9）开始到（3，0）约束的线段，以为斜率．

三、最优控制最大化的充分条件

假定描述最优控制最大化的必要条件的最大化原则满足，充分条件也满足，如果：

1．目标泛函和约束可微，并关于和联合凹．

2．当约束关于和为非线性时，，如果约束为线性时，且可取任何符号．线性函数既是凹的也是凸的，但不是严格凹也不是严格凸的．对于非线性函数，用行列式很容易检验联合凹性．给出函数二阶微分的行列式

如果行列式是负定的，那么函数是严格凹的，

且

如果行列式是半负定的，那么函数是简单凹的，

且

一个负定行列式表明全局最大，因此也是最大值的充分条件．一个半负定行列式表明局部最大，如果对变量每种可能顺序的检验有以上结论，则它也是最大值的充分条件．

例2下面说明例1中问题的充分条件．目标泛函为非线性的，求出二阶导数，并利用行列式检验。

不是严格负定，但由于和．是半负定．但是，对于半定检验我们必须以相反的顺序检验变量．

两种行列式检验均是半负定，所以目标泛函在和处联合凹的．因为约束是线性的，它也是连接凹的，这并不需要检验．因此我们可以得出结论，泛函的确取得最大．

四、有一个自由端点的最优控制原理

涉及一个有限时间域的连续时间和一个自由端点的最优控制问题的一般格式是

（21．9）

满足

自由

这里，积分上限不确定．

假定存在一个内部解，前两个最大条件保持不变，但第三个条件或边界条件改变：

1．

2．（a）（b）

3．（a）（b）

这里，最后的一个条件称为自由端点的横截条件．

横截条件的合理性可以从我们凹规划中学到的直接得来．如果在的值自由变化，约束一定是松弛的，且影子价格在的值必须为零，即．

例3用上述条件来求解下面的包含自由端点的最优控制问题：

满足

自由

解：

A从（21．1），构造哈密顿函数为：

B假定一个内部解，应用最大化原则．

1．

（21.10）

2．

（a）（21.11）

（b）

但从（21．10），，因此，

（21．12）

由最大化原理，得到两个微分方程。

由此可求解出状态变量和共态变量．积分（21.11），

（21．13）

把（21．13）代入（21．12），

积分，

（21．14）

C现在利用边界条件确定积分常量．

1．以自由端点的横截条件开始．这里

代入（21.13），

因此，

共态变量（21．15）

2．现把代入（21．14），

并应用最初的边界条件，．

因此

状态变量（21．16）

D于是控制变量可用两种方法中任一种得到．

1．从（21．10），．由（21.15）代入，

控制变量（21．17）

2．或求出（21．16）的导数，

并代入约束中的转移方程，

控制变量

在端点处赋值，

控制变量的最优路径是从（0，12）开始到（2，0）结束的线段，斜率是-6．

例4例3中的充分条件可用与例2相同的方法找到。

求出目标泛函的二阶导数，并应用行列式检验，

不是负定的，但由于和，它是半负定的，但是，对于半定检验，我们必须以相反的顺序检验变量．

两种行列式检验均是半负定，目标泛函关于和是联合凹的．因为约束是线性的，它不需要检验，泛函取得最大．

五、端点的不等约束

如果状态变量的终端值满足不等约束，，只要它不违反约束设定的值，最优值可自由选择．如果，约束是各松弛的，则问题转化为一个自由端点的问题．因此

当

如果，约束是紧的，则令，问题转化为一个固定点问题，即

当

为一致性表现，有时端点条件用类似于库恩-塔克条件的单一式子表达，即

在实践中，可直接解出在端点的不等约束的问题．首先把它看作自由端点求解问题．如果状态变量的最优值大于端点条件的最低要求，即如果，解为所求．如果，置终点值等于约束的值，即，作为固定端点问题求解．该方法在例5和例6中说明》。

例5

满足

为了求解含不等约束的最优控制问题，首先把它由一个自由端点的无约束问题解决．这已在例3中完成，状态变量为

在终点处对（21．16）式赋值，有

因为自由端点解满足终点约束，约束是松弛的，所以解为所求解，从例3中（21.17）式有

例6改变边值条件如下，重新求解例5，

A从例5我们知道，在自由端点条件下，最优化后状态变量的值是

它不满足新的端点约束．这意味着约束是紧的，则我们求解固定端点的泛函最优化问题，

B当我们把问题看成例3中自由端点问题解决时，前两步保持不变．使用最大化原理，我们有

（21．10）式中，

（21．11）式中，

（21．12）式中，

（21．13）式中，

（21．14）式中，

现在继续求解固定端点问题．

C连续在（21．14）中应用和，有

接着，把，代入（21．13）和（21．14），得到

共态变量

状态变量

D可用我们熟悉的两种方法中任一种求控制变量，再一次习惯地采用第一种．从（21．10）式，

例7根据21．5节的规则，对终端不等式约束问题，首先优化满足一个自由端点的哈密顿函数．对自由端点，我们令，即允许状态变量的边际值趋于零。

事实上，这样做意味着，只要由约束设定的最小值满足，状态变量对我们不再有任何价值．我们只对时间内的状态变量感兴趣．

但是，大多数变量有值，且我们的兴趣通常会超过一些限制很窄的时界．在这些情况下，我们不能把状态变量边际值减小为零的看作自由商品．我们宁愿保留状态变量的最小值在时间之外仍有用。

这意味着，最大化使其满足由约束最小值确定的固定端点值．在这些情况下，，约束是紧的，如果是自由商品，我们尽量使用最少的状态变量．

六、哈密顿现值

优化控制问题经常涉及到折现，如

自由

哈密顿折现或哈密顿现值为

但是折现因数的出现使必要条件微分复杂化．但是如果令，构成一个新的哈密顿现值

（21．18）

它通常更容易求解且仅需要对前面必要条件组两处进行调整．把21．2节的条件2（a）转变为相应的哈密顿现值，有

求出的导数，有

令二个式子相等，并取消通常的项，整理，得到调整后的2（a）条件：

第二个调整是把代入边界条件．对于自由端点的横截条件，从变为．

简言之，给出（21．18）式中的哈密顿现值并假定一个内部解，最优化的必要条件是

1．

2．

a）b）

3．

a）b）

如果解不出现在端点，在第一个条件中，不需要等于零，但必须关于最大．由于，使最大的的值也使最大，因为关于最大时看成一个常数．21.3节的充分条件保持不变，如例9所见．哈密顿现值的最大化在例8和9中讨论．

例8

满足

自由

A建立哈密顿现值．

B假定一个内部解，应用调整后的最大化原理．

1．

（21.19）

2．

a）

（21.20）

b）

从（21.19）代入，

用矩阵形式表示（21.20）到（21.21）的两个联立一阶微分方程，并用微分动力系统技术求解，

或

特征方程是

由（19.3）式，特征根是

对于，特征向量是

对于，特征向量是

从（19.5），特解是

把通解和特解加起来，有

（21.22）

（21.23）

C接下来应用边界条件.

1.从自由端点的横断条件，，在有

代入，

（21．24）

2．在赋值，

（21．25）

联立求解（21．24）和（21．25），

接着把代入（21．22）和（21．23），我们得到

共态变量

状态变量

D控制变量的解可用两种通常方法中任一种找到．

我们选择较容易的．由（21．19），．从上面的共态变量代入

控制变量

例9服从通常规则的充分条件．

由于和，是负定的，使在和严格凹。

由于在和线性，全局最大的充分条件满足．