数列的极限与无穷等比数列的各项和.docx

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数列的极限与无穷等比数列的各项和

【知识梳理】

1、极限的概念

当”无限增大（）时，若①无限趋近于一个确泄的常数A,则称"为数列｛%｝的

极限，记为：

lim«„=A.

（1>若果M<1,则liniqn=0：

（2）若an=C.贝iJlimq=C（其中C为常数）：

n—>x

（3）lim—=0.

28n

【注】高等数学中关于极限的定义

极限，给左数列｛©｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的">M（nwNj,都有陆一A|vg则称A为时数列｛｛an｝的极限，记作lim«w=A.

2、极限的运算法则

若liman=A,limbn=B,贝ij

（1）

lim（q±仇）=limatl±limbt=A±Bi

'刃toohth

lim（att・b）=limci・limb=A-B；

lim

□TOO

limanag^=Z（3H0）・lim仇B、7

【注】注意极限运算性质的适用条件是：

极限存在：

【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：

【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法则：

【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）：

【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.

3、无穷等比数列的各项和

当无穷等比数列的公比同<1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各

【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃项和S”当时的极限：

【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：

1且gHO,各项和的结果等于—,注意辩证理解式中的5与g的含义:

1一4

【注】部分等比数列{©},且同vl,若是从第加+1项开始才是等比数列，则该数列的所

4、常见的几个极限

（1）limC，n+=—（ac^O,a,b,c.deR）；

cn+dc

（2）lim+'=—（adHO,d,b,c,d,e,/eR）；

dir+en+fd

0*/|vl

不存在，§=-1

【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：

指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.

【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高的幕指数，则此式极限不存在：

当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限是分子、分母的最髙次幕的系数比：

当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极限是零.

【典型例题】

例1、求下列极限

C’4-1

（1）lim—~~卢—=；

（2）lim—；=:

is2n+//川乞3ir+n

Wn+2

（4）lim-+

1-4/rA

1+h2；

（6）lim

n—>30

（5）linr.—

…时+3”_亦2+]

1—2+3—4+・・・・+（2/z—1）—2.H

72-1

2n+k

（10）已知求lim3h2I—一一-

2n2n+12〃+2

例2.已知lim""一an-b=0,则“=,h=・

72+1丿

■亠亠■卄■・+bn+2.

［变式1】若Inn=1>则“=:

"TCC3舁+4

•卄，.+bn+2.nil.

【变式2】若hm=1>则"=:

"Tcc3/7+4

【变式3】若则"=.

.YT002ir-5/7+32

例3、数列心满足心=（〃+］〃+2）・则咏+6+6a.,）=

例乳若lim（l-2xr存在，则实数x的取值范囤为.

【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——

例5.求下列极限

111

1+—+—+•••+—

（3）

（4）lim—=—J=

bOC111

]+—+—+■・・+

393〃

an^\

例6.已知">0丄>0.若lim〃…=5,则a+b的值不可能是（n^x卍...

A.7B.8C.9D.10

【变式1】若lim—一-=0,贝ij实数“的取值范围是

"2间+a,J

=2,则b的取值范围是.

【变式2】已知sb是不等的两正数，若1屛

ya+b

【变式3】已知坯3，j（E”

则实数“的范用

v+l一2a

【变式4】C知心・，且怛

求

实数〃的取值范阳1・

例7、已知（1+JJ）"=©+化（其中务也均为正整数），计算linA

^,n<1000

例8.已知an=

斶

则lima=

【变式】已知①=

——（1<77<2011）

72+1

-2•（-）"（«>2012）

侧limq=

A->»

11<72<3

Z［、

【变式】已知

S"为｛©｝的前兀项和，求lima”与limS〃«｝n—>xn—>»

3-.n>4

例9、下列命题中正确的命题是：

A.若lim©=4,limb=3,则lim—=—（bft0,ne）

乂*宀—bnB'

B.若数列｛an）,｛bn｝的极限都不存在,贝）l｛an+bn｝的极限也不存在

C.若数列（an｝9lan+bn］的极限都存在,贝IJ｛bn｝的极限也存在

D•设S”=5+勺+・・・5,若数列｛©｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在

【变式l】“lima=p.hmb=r立的（）

n-*»11“FC11II->Xbr

A・充分非必要条件B・必要非充分条件C•充要条件D.既非充分也非必要条件

求lim（5叫）.

例10、已知!

irn[（3/?

-l）f/J=2,

【变式1】已知lim（/+$）=2,lim（3©-4亿）=—1,求下列极限:

n->ocn—>x

（1）liman:

（2）lim（t/n•/?

）:

（3）lim（2ait一b）

n->xn->x'

【变式2】已知lim©=2,求lim

n—>oc訂—so

例11、已知lim

"T8

bHTOC

【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q（q>0）且求lim石丄与

【变式5】首项为1,公比为§3>0）的等比数列前舁项和为则lim亠

…S心

【变式6］在数列｛陽｝中,a严0,当weN*时，%=

为S”，叫竺严——

【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：

对于所有neN\有4Sn=（an+\）\其中Sf，表示数列｛心｝的前川项和.则lim—=

”tha

（1）求/（x）的解析式:

（2）

作出/（"）的图像.

【变式9】矩阵3勺2。

…如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各

…ann>

元素之和为S"则lim+〒=

“TOO矿・2

【变式10】数列｛%｝中，勺=2，对于任意wkn^N\都有勺切=4+^+2,S”是｛%｝

的前〃项和，叫亶討

222

例12.已知AABC顶点分别是A（0,_）,3（0,—_）,C（4+—记△ABC的外接圆nnn

而积为S『则limS”=・

"Toe

【变式】在平面宜角坐标系中，定义［心产儿（"UNJ为点代（兀，儿）到点

I儿+1=儿+兀

久2”+1，儿+J的一个变换，我们把它称为点变换•已知人（0,1），出匕2，儿），…，此（£，儿）

E+i（兀+i，儿+J（"wNJ是经过点变换得到的一列点•设勺=|^+1|‘数列｛（/“｝的前"项和

为S「那么lim=・

“T+XCI

“一kca

【变式1】数列｛勺J是等比数列，首项5=1,公比q—求lim）-的值.

值范用

【变式3】已知各项均为正数的无穷等比数列｛%｝中，4=血+1,5=迈亠则此

数列的各项和S=

则lim（S]+5\+S3+・・・+S〃—.

【变式5】已知数列｛“”｝满足5=1,=-^（“wN"）,求lim（"]+“2+"3+…•

2"—'3C

H〃v3

【变式6】已知an='一，求lim（q+tr+他+••・+"”）・

2-・n>4nfc

例14.如图，已知正AA0C；的边长是1,而积是片，取各边的中点ArB2,C2,

AA2B2C2的而积为巴，再取M2B2C2边的中点A，艮,C3，AA/G的而积为R,依此

类推•记=A+£+出+…+£「则lim5n=・

【变式1】如图，在边长为1的等边AABC中，圆q为AABC的内切圆，圆。

2与圆q外切，且与AB.BC相切，…，圆Q利与圆Q外切，且与AB.BC相切，如此无限继续

下去，记圆Q的而积为｛色｝0疋2）・

（1）证明｛（_｝是等比数列：

（2）求lim（“]+。

2+佝+・・・+4）的值.

【变式2】已知函数f（x）=kx+m,当]时,/（x）的值域为[a2,b2]，当xe[a2,b2]时，/（x）的值域为[务如，以此类推,一般地，当xeta^b^W，f（x）的值域为⑷,®],其中斤,〃7为常数，且4]=0,鸟=1.

（1）当k=\,m=2时，求数列｛"”｝,｛$｝的通项公式：

（2）当m=2时，问是否存在常数k>0,使得数列他｝满足limZ?

r=4?

若存在求出k的值：

若不存在，请说明理由.

（3）当一IvkvO,设匕｝,｛仇｝的前"项和为S”、Tn,求lim（7；,-5J.

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