基于matlab的齿轮优化设计.docx
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基于matlab的齿轮优化设计
机械装备优化设计三级项目
题目：
基于 MATLAB 的齿轮优化设计的优化设计
班级：
12 级机械装备二班
设计人员：
王守东（120101010236）
荆雪松（120101010215）
武吉祥（120101010219）
一、优化设计问题分析：
所谓优化就是在处理各种事物的一切可能的方案中寻求最优的
方案。
机械优化设计是把优化理论和技术应用到机械设计中，通过
对机械零件、机构乃至整个机械系统的优化设计，使其中某些设计
参数和指标获得最优值。
绝对的最优，只有在某些理论计算中才能
达到，但对于实际的机械优化设计，都带有一定的客观性和相对性。
Matlab 是美国 Mathworks 公司于1967年推出的用于科学计算
的可视化软件包。
其方便、友好的用户环境、强大的扩展能力使许
多领域的科学计算和工程应用节省时间、降低成本和提高效率。
许多机械工程设计都需要进行优化。
优化过程可以分为三个部
分：
综合与分析、评价、改变参数三部分组成。
其中，综合与分析
部分的主要功能是建立产品设计参数与设计性能、设计要求之间的
关系，这也就是一个建立数学模型的过程。
评价部分就是对该产品
的性能和设计要求进行分析，这就相当于是评价目标函数是否得到
改善或者达到最优，也就是检验数学模型中的约束条件是否全部得
到满足。
改变参数部分就是选择优化方法，使得目标函数（数学模
型）得到解，同时根据这种优化方法来改变设计参数
二、优化设计方案选择：
机械设计优化设计中常采用的优化设计方法有进退法、黄金分
割法、共轭梯度法、坐标轮换法、复合形法等。
下面设计一种齿轮
系统，并基于Matlab对系统进行优化设计。
高速重载齿轮时常会受到加速度大、冲击载荷大、启动、制动
等的影响。
因此，为保证运行的安全性和可靠性，齿轮弯曲强度的
安全系数应高于接触强度的安全系数。
齿轮的主要失效形式主要有：
轮齿折断、齿面磨损、齿面胶合、齿面点蚀、塑性变形等。
由此可
见，高速重载齿轮的设计必须保证齿轮在整个工作寿命期间不失效，
由于目前还没有建立起工程实际中行之有效的设计方法和设计数据，
目前按照保证齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度两个准则来设
计齿轮。
3．具体任务分工
MATLAB 制作荆雪松
Word王守东 武吉祥 荆雪松
PPT王守东
4．优化设计内容与步骤
1、优化设计问题的数学建模
在同时含有不等式约束和等式约束的机械约束优化设计中常用
罚函数法。
这种方法可靠性高，精度高，且很适合于作维数较高的
设计。
考虑约束优化问题
minf （X ）X ∈En
（1）
s.t
gi （X ）≥0
i =1,2,...,p
（2）
hj （X ）=0
j =1,2,...,q （3）
罚函数的思想是将上述约束优化问题转化为无约束优化问题，即
min p（X , r1, r2 ）X En
（4）
式中：
r1、r2 分别为不等式约束和等式约束的罚因子。
其中，罚函
数
P（ X , r1 , r2 , ） = f （X） + r1
对于外点罚函数法，有
⎧0
⎪
⎪2
⎧0
⎪
⎪2
（K）
p q
i=1 j=1
i 2 j
gi （X ）≥ 0
gi （X ＜0
hj （X ）= 0
hj （X ）≠ 0
（K）
（5）
（6）
（7）
显 然 ， 当 X ∈ E n 在 可 行 域 时 ， P（X , r1, r2 ）= f （X ）；否则，
当 X ∈ E n 不在可行域时， p（X , r1, r2 ）≥ f （X ）。
通常，研究设计对象后可以建立优化数学模型，给出合适的算
法和程序，从而编制相应代码。
但常见的编程语言在代码生成方面需要很长时间，效率较低。
而基于Matlab 优化设计工具箱解决此类工程问题则显得尤为便捷。
例题
现有一搅拌机的传动装置——单级斜齿圆柱齿轮减速器。
电动
机功率P=22kW，转速n1＝970rpm。
用联轴器与高速齿轮联接，传动
比i＝4.6，单向传动，单班制工作，寿命10 年。
试设计一体积（或
质量）最小的传动方案。
2、所选择的优化方法及 MatLab 程序
根据所需传递的功率和扭矩，选大、小齿轮材料均为40Cr ，高
频淬火，小齿轮齿面硬度HRC50-55，大齿轮齿面硬度HRC48-53；载
荷系数K=2.0。
如图 1 所示为该斜齿圆柱齿轮减速器示意图，两齿轮的体积（这里
姑且只计及齿轮的体积，其余零部件也可作类似设计计算）可写作
V = V1 + V2 =
π
4
2
1
π
4
2
2
2
（ 1 + z2 ）
（8）
式中：
V1、V2分别为小、大齿轮体积， mm3 ；d1、d2分别为小、
大齿轮分度圆直径，mm；z1、z2分别为小、大齿轮齿数；
i = n1 / n2 = z1 / z2 ；B1、B2分别为小、大齿轮尺宽，mm，为简化计算，
B1=B2=B；mn 为两齿轮法向模数，mm；β为齿轮分度圆螺旋角，°。
分析该齿轮传动的布置形式及齿面性质，取尺宽系数
ψ = B / d1 = 0.8 。
因此，式（8）可化为
V =
0.8πmn z1
4 cos3 β
2
mn z1
cos3 β
（9）
取设计变量 X = [x1, x2 , x3 ] = [mn , z1, cos β ] ，则目标函数即可写作
f （X ）= 13.923x1 ⋅ x2 ⋅ x -3
确定约束条件
（1）小齿轮不发生根切条件：
g1 （X ）= 17 - x2 ≤ 0
（2）螺旋角条件：
g 2 （X ）= x3 - 0.9903 ≤ 0
g3 （X ）= 0.9659 - x3 ≤ 0
（3）动力传递的齿轮模数要求：
g 4 （X ）= 2 - x1 ≤ 0
（4）尺宽的要求：
g5 （X ）= 16 - 0.8x2 x -1 ≤ 0
g6 （X ）= 0.8x2 x -1 - 35 ≤ 0
（16）
（5）接触疲劳强度条件：
3 3 3
222
123
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（17）
（6）弯曲疲劳强度条件：
小齿轮：
g8 （X ）= 28107028x -3 ⋅ x -2 ⋅ x3 - 528.6 ≤ 0
（18）
大齿轮：
g9 （X ）= 2635413.4 x -3 ⋅ x -2 ⋅ x3 - 514.3 ≤ 0
（19）
Matlab 程序
根据以上所建立的优化目标函数和约束条件可见，这是一个具
有9个不等式约束的三维优化问题，利用外点罚函数法求解会得到
较理想的结果。
编制如下函数文件 gearopti.m：
function [f,g]=gearopti（x）
f=13.923*x
（1）^3*x
（2）^3*x（3）^（-3）;
g
（1）=17-x
（2）;
g
（2）=x（3）-0.9903;
g（3）=0.9659-x（3）;
g（4）=2-x
（1）;
g（5）=16-0.8*x
（2）*x（3）^（-1）;
g（6）=0.8*x
（2）*x（3）^（-1）-35;
g（7）=404132*x
（1）^（-1.5）*x
（2）^（-1.5）*x（3）^1.5-1170;
g（8）=2810702.8*x
（1）^（-3）*x
（2）^（-2）*x（3）^2-528.6;
g（9）=2635413.4*x
（1）^（-3）*x
（2）^（-2）*x（3）^2-514.3;
在命令窗口输入以下语句：
>> x0=[1,17,0.9903];
>> options（3）=1e-6;
>> x=constr（'gearopti',x0,options）
x = 2.4531 19.4510 0.9692
此即优化后的参数，倘要显示各项参数的中间计算结果，可赋值
options
（1）=1。
显然，这种参数须经圆整后方能使用。
经圆整，主
要参数值分别为：
模数mn＝2.5mm；齿数z1＝18；分度圆螺旋角
β 13°47′43″。
其他结构参数即可推导得出。
在命令窗口输入：
>> [f,g]=gearopti（x）
f = 1.6611e+006
g = Columns 1 through 3
-2.4510 -0.0211 -0.0033
Columns 4 through 6
-0.4531 -0.0545 -18.9455
Columns 7 through 9
-0.0000 -55.8318 -71.0160
此即该齿轮传动（这里只计及齿轮副）的结构体积和约束值。
经计
算、比较，优化后该齿轮传动的体积（质量）较常规设计下降了30%
以上。
在命令窗口输入如下语句可清晰、形象地观察到目标函数
f （ X ） = 13.923x1 ⋅ x2 ⋅ x-3 的四维切片图。
>> [x,y,z]=meshgrid（2:
.5:
3,17:
1:
22, 0.9659:
.01:
0.9903）;
>> v=13.923*（x.^3）.*（y.^3）.*（z.^（-3））;
>> slice（x,y,z,v,[2 2.3 2.5],[18 19 20],[0.9659 0.9692]）;
>> colorbar（'horiz'）;
图 2 优化目标函数f（X）切片图
程序
结果
运行
3、优化结果及分析
本文对某高速重载齿轮进行了优化设计，在分析齿轮在各工况下的
弯曲强度安全系数也达到了高可靠度安全系数的要求的基础上，根
据齿轮的优化设计原则对传动齿轮中的小齿轮进行了优化设计：
优
化设计的目标是要满足体积最小，选模数 、齿数 、齿宽系数 、螺
旋角 为设计变量，根据各参数的设计要求来确定约束条件，同时根
据齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度进行条件约束，最后用
MATLAB进行编程计算，最后得出优化后的结果，该结果满足要求。
五．结论
本文建立了齿轮传动约束优化数学模型，给出了Matlab 计算程序及
其结果。
显然这种方法功能强大，优化效果好，耗时很短，它无疑
将成为机械优化设计领域中的重要工具。
参考文献
[1] 王大康,卢颂峰.机械设计课程设计[M].北京:
北京工业大学出版
社,2000.
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高等教育出版社,2001.
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代机械，2009.
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北京理工
大学出版社，1995.
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技术,2006.
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2003.
[7] 陈满意.基于MATLAB的齿轮减速器的可靠性优化设计[J].机械传
动，2002.
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