高中数学统计案例 121 条件概率与独立事件学案 北师大版选修12.docx

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高中数学统计案例121条件概率与独立事件学案北师大版选修12

§2　独立性检验

2．1　条件概率与独立事件

1．了解条件概率的概念及计算．（重点）

2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．（重点）

3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　条件概率

阅读教材P17～P18部分，完成下列问题．

1．概念

已知事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P（A|B）．

2．公式

当P（B）＞0时，P（A|B）＝.

从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（　　）

A．　　B．　　

C．　　D．

【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A包含（1,3），（1,5），（3,5），（2,4）共4个基本事件，事件B包含（2,4）一个基本事件，故P（A）＝，P（AB）＝.所以P（B|A）＝＝.

【答案】　B

教材整理2　相互独立事件

阅读教材P19“练习”以上部分，完成下列问题．

1．定义

对两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B相互独立．

2．性质

如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．

3．如果A1，A2，…，An相互独立，则有P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为（　　）

A．B．

C．D．

【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝.

【答案】　A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_________________________________________

解惑：

___________________________________________________

疑问2：

___________________________________________________

解惑：

___________________________________________________

疑问3：

___________________________________________________

解惑：

___________________________________________________

[小组合作型]

条件概率

　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B．

（1）分别求事件A，B，AB发生的概率；

（2）求P（B|A）．

【精彩点拨】　解答本题可先求P（A），P（B），P（AB），再用公式P（B|A）＝求概率．

【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：

（1）P（A）＝，

P（B）＝＝＝，

P（AB）＝＝.

（2）P（B|A）＝＝＝.

用定义法求条件概率P（B|A）的步骤是：

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算P（A），P（AB）；

（3）代入公式求P（B|A）＝.

[再练一题]

1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是（　　）

A．　　　　　B．

C．D．

【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：

（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）．

记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{（男，女），（女，男），（女，女）}，B＝{（男，女），（女，男），（女，女）}，AB＝{（女，女）}．

于是可知P（A）＝，P（AB）＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求

P（B|A），由条件概率公式，得P（B|A）＝＝.

【答案】　D

事件独立性的判断

　判断下列各对事件是否是相互独立事件：

（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．

【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．

【自主解答】　

（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

判断两事件是否具有独立性的三种方法：

（1）定义法：

直接判定两个事件发生是否相互影响．

（2）公式法：

检验P（AB）＝P（A）P（B）是否成立．

（3）条件概率法：

当P（A）>0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．

[再练一题]

2．

（1）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：

“甲击中目标”，事件B：

“乙击中目标”，则事件A与事件B（　　）

A．相互独立但不互斥

B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥

D．既不相互独立也不互斥

（2）掷一枚正方体骰子一次，设事件A：

“出现偶数点”，事件B：

“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（　　）

A．互斥但不相互独立

B．相互独立但不互斥

C．互斥且相互独立

D．既不相互独立也不互斥

【解析】　

（1）对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．

（2）事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．

所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝×，即P（AB）＝P（A）P（B），因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．

【答案】　

（1）A　

（2）B

[探究共研型]

相互独立事件同时发生的概率

探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：

甲、乙都未击中的概率．

【提示】　记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则，也是相互独立的，则

P（C）＝P（）＝P（）·P（）＝（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2.

探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？

【提示】　记D＝“敌机被击中”，

则P（D）＝1－P（）＝1－0.2＝0.8.

　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

【导学号：

67720003】

（1）都抽到某一指定号码；

（2）恰有一次抽到某一指定号码；

（3）至少有一次抽到某一指定号码．

【精彩点拨】　→

→

【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．

（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.0025.

（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）＋（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为

P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05＝0.095.

即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.

（3）法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）＋（A）＋（B）表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为

P（AB）＋P（A）＋P（B）＝0.0025＋0.095＝0.0975.

法二　1－P（）＝1－（1－0.05）2＝0.0975.

即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975.

求P（AB）时注意事件A，B是否相互独立，求P（A＋B）时同样应注意事件A，B是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：

（1）分类讨论；

（2）求对立事件，利用P（）＝1－P（A）来运算．

[再练一题]

3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：

（1）两个人都破译出密码的概率；

（2）两个人都破译不出密码的概率；

（3）恰有一人破译出密码的概率；

（4）至多一人破译出密码的概率；

（5）至少一人破译出密码的概率．

【解】　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．

（1）两个人都破译出密码的概率为

P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝.

（2）两个人都破译不出密码的概率为

P（）＝P（）P（）

＝[1－P（A）][1－P（B）]

＝＝.

（3）恰有一人破译出密码分为两类：

甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A＋B，

∴P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝×＋×＝.

（4）至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P（AB）＝1－＝.

（5）至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P（）＝1－＝.

[构建·体系]

1．已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）等于（　　）

A．　　B．　　

C．　　D．

【解析】　由P（B|A）＝，得P（AB）

＝P（B|A）·P（A）＝×＝.

【答案】　C

2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（　　）

A．1－a－bB．1－ab

C．（1－a）（1－b）D．1－（1－a）（1－b）

【解析】　∵2道工序相互独立，

∴产品的正品率为（1－a）（1－b）．

【答案】　C

3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P（B|A）等于________.

【解析】　P（AB）＝，P（A）＝，∴P（B|A）＝＝.

【答案】　

4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在

同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.

【解析】　P＝1－＝.

【答案】　

5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．

【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

停车一次即为事件BC＋AC＋AB，

故概率为P＝××＋××＋××＝.

我还有这些不足：

（1）___________________________________

（2）___________________________________

我的课下提升方案：

（1）___________________________________

（2）___________________________________

学业分层测评

（二）　

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是（　　）

A．0.56　　B．0.48　　

C．0.75　　D．0.6

【解析】　设甲击中为事件A，乙击中为事件B．

∵A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.7＝0.56.

【答案】　A

2．下列说法正确的是（　　）

A．P（B|A）＜P（AB）

B．P（B|A）＝是可能的

C．0＜P（B|A）＜1

D．P（A|A）＝0

【解析】　由条件概率公式P（B|A）＝及0＜P（A）≤1知P（B|A）≥P（AB），故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P（AB）＝P（B），此时P（B|A）＝，故B选项正确，由于0≤P（B|A）≤1，P（A|A）＝1，故C，D选项错误．故选B．

【答案】　B

3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（　　）

A．B．

C．D．

【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝＝，所以选A．

【答案】　A

4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是（　　）

A．相互独立事件B．不相互独立事件

C．互斥事件D．对立事件

【解析】　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．

【答案】　A

2．如图121，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是（　　）

图121

A．0.504B．0.994

C．0.496D．0.06

【解析】　系统可靠即A，B，C3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P（A）][1－P（B）][1－P（C）]

＝1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.7）

＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.

【答案】　B

二、填空题

6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.

【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P（B|A）＝＝.

【答案】　

7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.

【解析】　设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

∴P（A）＝1－P（）＝1－（1－0.80）×（1－0.90）

＝1－0.2×0.1＝0.98.

【答案】　0.98

8．如图122，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”．则：

【导学号：

67720004】

图122

（1）P（A）＝________；

（2）P（B|A）＝________.

【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π.

（1）∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，

∴P（A）＝.

（2）∵B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，

∴P（AB）＝，

∴P（B|A）＝＝.

【答案】　

（1）　

（2）

三、解答题

9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．

【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．

∴P（A）＝＝，

P（A∩B）＝＝，

∴P（B|A）＝＝＝.

则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为.

10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．

【解】　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作（a，b），则所有可能的抽取结果为：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），共30个．

其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，

所以所求概率P＝＝.

[能力提升]

1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（　　）

A．2个球都是白球的概率

B．2个球都不是白球的概率

C．2个球不都是白球的概率

D．2个球中恰有1个是白球的概率

【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．

【答案】　C

2．如图123，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的概率为（　　）

图123

A．　　　　　　　B．

C．D．

【解析】　因为灯不亮的概率为××

＝，所以灯亮的概率为1－＝.

【答案】　C

3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为________.

【解析】　设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN表示两次都抽到A，

P（M）＝＝，

P（MN）＝＝，

P（N|M）＝＝.

【答案】　

4．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互相独立．

（1）求恰有两个项目成功的概率；

（2）求至少有一个项目成功的概率．

【解】　

（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为

××＝，

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为

××＝，

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为

××＝，

∴恰有两个项目成功的概率为

＋＋＝.

（2）三个项目全部失败的概率为

××＝，

∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.