计算机组成原理——浮点数表示及运算.ppt

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计算机组成原理,2022年10月17日,浮点数表示及运算,一、浮点数的表示,N=Rem=2EM=2e（m）,E0,M0,91028=0.910-2721033=0.21034任意一个十进制数可以写成=10E（十进制表示）,计算机中一个任意进制数可以写成,m：

尾数，是一个纯小数。

e：

浮点的指数,是一个整数。

R：

基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定为2，8或16,浮点数的表示范围,负上溢,N=2EM|N|产生正上溢或者负上溢|N|0产生正下溢或者负下溢,尾数：

用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度阶码：

用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。

一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：

最大正数,最小正数,最小负数,最大负数,8位定点小数可表示的范围0.0000001-0.11111111/128-127/128设阶码2位，尾数4位可表示2-11*0.0001-211*0.11110.0000001-111.1设阶码3位，尾数3位可表示2-111*0.001-2111*0.1110.0000000001-1110000,机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低浮点数表示范围比定点数大，精度高,一个浮点数有不同的表示：

0.5；0.05101；0.005102；5010-2,为提高数据的表示精度，需做规格化处理。

浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。

二、浮点数规格化,把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。

在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须=1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：

0.1000101010,规格化目的：

为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数为R进制的规格化：

绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式：

正数0.1xxxxxx负数1.0xxxxxx,正数0.1xxxxxx负数1.1xxxxxx,补码尾数的规格化的表现形式：

尾数的最高位与符号位相反。

解：

12310=11110112=0.11110110002277移=10000+00111=101110.1111011000补=0.1111011000123浮=1011101111011000=BBD8H,例：

对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。

S尾数符号，0正1负；M尾数,纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。

采用原码表示。

E阶码，采用“移码”表示（移码可表示阶符）;阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。

为便于软件移植，使用IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754标准：

尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。

三、浮点数的标准格式IEEE754,规格化浮点数的真值,x=（-1）s（1.）2127e=127,一个规格化的32位浮点数的真值为：

32位浮点数格式：

x=

（1）s（1.）21023,一个规格化的64位浮点数的真值为：

这里e是真值，是机器数,1.隐藏位技术,2.阶码用“移码”偏移值127而不是128,Emin=1,Emax=254/2046,原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位数能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。

当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。

例：

若浮点数x的二进制存储格式为（41360000）16，求其32位浮点数的十进制值。

解：

0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000数符：

0阶码：

1000,0010尾数：

011,0110,0000,0000,0000,0000指数e阶码127100000100111111100000011=（3）10包括隐藏位1的尾数：

1.M1.011011000000000000000001.011011,于是有x

（1）s1.M2e（1.011011）231011.011（11.375）10,例:

将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。

解：

首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：

20.5937510100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间10100.100111.01001001124e4于是得到：

e=127S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为01000001101001001100000000000000（41A4C000）16,解：

-0.75=-3/4=-0.112=-1.12-1=（-1）1（1+0.10000000000000000000000）2-1=（-1）1（1+0.10000000000000000000000）2126-127s=1，E=12610=011111102，F=1000000。

1011,1111,0100,0000,0000,0000,0000,0000BF400000H,例：

将十进制数-0.75表示成单精度的IEEE754标准代码。

单精度浮点数编码格式,+0/-0,0,0,0/1,（-1）S（0.f）2（-126）,f（非零）,0,0/1,（-1）S（1.f）2（e-127）,f,1254,0/1,-,0,255,1,+,0,255,0,sNaNSignalingNaN,非零0xxxx,255,0/1,NaNNotaNumber,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾数,阶码,符号位,IEEE754规格化浮点数表示范围,Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023=21023（2-2-52）,Emin=1,M=0,1.021-1023=2-1022,双精度,Emax=254,f=1.1111,1.11112254-127=2127（2-2-23）,Emin=1,M=0,1.021-127=2-126,单精度,最大值,最小值,格式,设有两个浮点数和,它们分别为:

浮点加减法运算,其中Ex和Ey分别为数和的阶码，Mx和My为数和的尾数。

两浮点数进行加法和减法的运算规则是:

（Mx2ExEyMy）2EyEx=Ey,2ExM2EyM,完成浮点加减运算的操作过程大体分为：

（1）0操作数的检查；,

（2）比较阶码大小并完成对阶；,（3）尾数进行加或减运算；,（4）结果规格化。

（5）舍入处理。

（6）溢出处理。

使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。

先求两数阶码Ex和Ey之差，即E=ExEy若E=0，表示Ex=Ey若E0,ExEy若E0,ExEy,通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等。

对阶原则阶码小的数向阶码大的数对齐；对阶过程小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1（右规）。

（2）对阶,

（1）0操作数检查,210*（0.11000）+28*（0.00110）大阶对小阶210*（0.11000）-28*（11.000）11.000+0.00110?

小阶对大阶28*（0.00110）-210*（0.00001）0.00001+0.11000=0.11001,例:

x=2010.1101,y=211（-0.1010）,求x+y=?

解：

为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用双符号位。

x补=0001,00.1101y补=0011,11.0110E补=Ex补Ey补=0001+1101=1110E=-2,表示Ex比Ey小2,因此将x的尾数右移两位.右移一位,得x补=0010,00.0110再右移一位,得x补=0011,00.0011至此,E=0,对阶完毕.,尾数求和方法与定点加减法运算完全一样。

对阶完毕可得:

x补=0011,00.0011y补=0011,11.0110对尾数求和:

00.0011+11.011011.1001即得:

x+y补=0011,11.1001,（3）尾数求和运算,（4）结果规格化,求和之后得到的数可能不是规格化了的数,为了增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和的结果规格化。

规格化的定义:

（二进制）,对正数:

S=00.1对负数:

S=11.0,采用双符号位的补码：

采用原码：

正数:

S=0.1负数：

S=1.1,规格化规则,运算结果产生溢出时，必须进行右归如变形补码结果出现10.XX或者01.XXX如运算结果出现0.0XXX或1.1XX必须左归左归时最低数据有效位补0右归时连同符号位进位位一起右移左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法,00.0XXXX-00.1XXX0左规11.1XXXX-11.0XXX0左规01.XXXXX-00.1XXXX右规10.XXXXX-11.0XXXX右规,规格化方法,例：

两浮点数x=0.1101210,y=（0.1011）201,求x+y。

解：

x补=0010，00.1101y补=0001，00.1011对阶：

E补=Ex补Ey补=0010+1111=0001y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。

y补=0010，00.0101,x+y补=0010，01.0010,右归：

运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。

x+y补=0011，00.1001,求和：

00.1101+00.010101.0010,在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。

简单的舍入方法有两种：

“0舍1入”法即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。

“恒置1”法即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。

从概率上来说,丢掉的0和1各为1/2。

（5）舍入处理,在IEEE754标准中,舍入处理提供了四种可选方法：

就近舍入其实质就是通常所说的四舍五入。

例如,尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半,故最低有效位应增1。

若多余的5位是01111,则简单的截尾即可。

对多余的5位10000这种特殊情况：

若最低有效位现为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为0。

朝0舍入即朝数轴原点方向舍入,就是简单的截尾。

无论尾数是正数还是负数,截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。

这种方法容易导致误差积累。

朝舍入对正数来说,只要多余位不全为0则向最低有效位进1;对负数来说则是简单的截尾。

朝舍入处理方法正好与朝舍入情况相反。

对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾;对负数来说,向最低有效位进1。

（6）溢出处理,与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需判溢出。

在浮点规格化中已指出，当尾数之和（差）出现01或10时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。

若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位、数符取2位，尾数取n位，则它们能表示的补码在数轴上的表示范围如图所示。

图中A，B，a，b分别对应最小负数、最大正数、最大负数和最小正数。

它们所对应的真值分别是：

A最小负数2+127（-1）B最大正数2+127（1-2-n）a最大负数2-128（-2-1-2-n）b最小正数2-1282-1,最小负数,最大正数,最大负数,最小正数,图中a,b之间的阴影部分，对应阶码小于128的情况，叫做浮点数的下溢。

下溢时浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。

图中