计算机组成原理——浮点数表示及运算.ppt

1、计 算 机 组 成 原 理,2022年10月17日,浮点数表示及运算,一、浮点数的表示,N=Rem=2EM=2e(m),E0,M0,91028=0.9 10-2721033=0.2 1034 任意一个十进制数 可以写成=10E（十进制表示）,计算机中一个任意进制数 可以写成,m：尾数，是一个纯小数。e：浮点的指数,是一个整数。R：基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定 为2，8或16,浮点数的表示范围,负上溢,N=2EM|N|产生正上溢或者负上溢|N|0 产生正下溢或者负下溢,尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的

2、位置，决定了浮点数的表示范围。,一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：,最大正数,最小正数,最小负数,最大负数,8位定点小数可表示的范围0.0000001-0.1111111 1/128-127/128设阶码2位，尾数4位可表示2-11*0.0001-211*0.1111 0.0000001-111.1设阶码3位，尾数3位可表示2-111*0.001-2111*0.111 0.0000000001-1110000,机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低浮点数表示范围比定点数大，精度高,一个浮点数有不同的表示：0.5；0.05101；0.005 102；50 10-2,为提高数据的

3、表示精度，需做规格化处理。,浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。,二、浮点数规格化,把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。,在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须=1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：0.1000101010,规格化目的：为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数为R进制的规格化：绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式：,正数 0.1xxxxxx负数 1.0 xxxxxx,

4、正数 0.1xxxxxx负数 1.1xxxxxx,补码尾数的规格化的表现形式：尾数的最高位与符号位相反。,解：12310=11110112=0.1111011000227 7移=10000+00111=10111 0.1111011000补=0.1111011000 123浮=1011 1 0 11 1101 1000=BBD8H,例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。,S尾数符号，0正1负；M尾数,纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。采用原码表示。E阶码，采用“移码”表示（移码可表示阶符）;阶符采用隐含方式，即采用移码

5、方法来表示正负指数。,为便于软件移植，使用 IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754 标准：尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。,三、浮点数的标准格式IEEE754,规格化浮点数的真值,x=(-1)s(1.)2127 e=127,一个规格化的32位浮点数的真值为：,32位浮点数格式：,x=(1)s(1.)21023,一个规格化的64位浮点数的真值为：,这里e是真值，是机器数,1.隐藏位技术,2.阶码用“移码”偏移值127而不是128,Emin=1,Emax=254/2046,原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位

6、数能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。,当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。,例：若浮点数 x 的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。,解：0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000 数符：0 阶码：1000,0010 尾数：011,0110,0000,0000,0000,0000 指数e阶码1271000001001111111 00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数：1.M1.011 0110 0000 0000 0000 00001.0110

7、11,于是有 x(1)s1.M2e(1.011011)231011.011(11.375)10,例:将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。,解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.5937510100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.100111.01001001124 e4于是得到：e=127 S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16,解：-0.75=-3/4=-0

8、.112=-1.12-1=(-1)1(1+0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2-1=(-1)1(1+0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2126-127 s=1，E=12610=011111102，F=1000 000。1 011,1111,0 100,0000,0000,0000,0000,0000 B F 4 0 0 0 0 0 H,例：将十进制数-0.75表示成单精度的IEEE 754标准代码。,单精度浮点数编码格式,+0/-0,0,0,0/1,(-1)S(0.f)2(-126),f(非零),0,0/1,(-1)S(1.f)2(e-1

9、27),f,1254,0/1,-,0,255,1,+,0,255,0,sNaN Signaling NaN,非零0 xxxx,255,0/1,NaN Not a Number,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾数,阶码,符号位,IEEE754 规格化浮点数表示范围,Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023=21023(2-2-52),Emin=1,M=0,1.021-1023=2-1022,双精度,Emax=254,f=1.1111,1.11112254-127=2127(2-2-23),Emin=1,M=0,1.021-127=2-126,单精度,最大值,

10、最小值,格式,设有两个浮点数和,它们分别为:,浮点加减法运算,其中 Ex 和 Ey 分别为数和的阶码，Mx 和 My为数和的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规则是:(Mx2ExEyMy)2Ey Ex=Ey,2Ex M 2Ey M,完成浮点加减运算的操作过程大体分为：,(1)0 操作数的检查；,(2)比较阶码大小并完成对阶；,(3)尾数进行加或减运算；,(4)结果规格化。,(5)舍入处理。,(6)溢出处理。,使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。先求两数阶码 Ex 和 Ey之差，即E=ExEy 若E=0，表示 Ex=Ey 若E 0,ExEy 若E 0,ExEy,通过尾数的移动来

11、改变Ex或Ey，使其相等。,对阶原则 阶码小的数向阶码大的数对齐；对阶过程小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1(右规)。,(2)对阶,(1)0 操作数检查,210*(0.11000)+28*(0.00110)大阶对小阶 210*(0.11000)-28*(11.000)11.000+0.00110?小阶对大阶 28*(0.00110)-210*(0.00001)0.00001+0.11000=0.11001,例:x=2010.1101,y=211(-0.1010),求x+y=?,解：为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用 双符号位。x补=00 01,00.1101 y补=00 1

12、1,11.0110 E补=Ex补Ey补=00 01+11 01=11 10 E=-2,表示Ex比Ey小2,因此将x的尾数右移两位.右移一位,得 x补=00 10,00.0110 再右移一位,得 x补=00 11,00.0011 至此,E=0,对阶完毕.,尾数求和方法与定点加减法运算完全一样。对阶完毕可得:x补=00 11,00.0011 y补=00 11,11.0110 对尾数求和:00.0011+11.0110 11.1001 即得:x+y补=00 11,11.1001,(3)尾数求和运算,(4)结果规格化,求和之后得到的数可能不是规格化了的数,为了增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求

13、和的结果规格化。规格化的定义:,(二进制),对正数:S=00.1对负数:S=11.0,采用双符号位的补码：,采用原码：正数:S=0.1 负数：S=1.1,规格化规则,运算结果产生溢出时，必须进行右归如变形补码结果出现 10.XX 或者 01.XXX如运算结果出现 0.0XXX或 1.1XX 必须左归左归时最低数据有效位补0右归时连同符号位进位位一起右移左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法,00.0XXXX-00.1XXX0 左规11.1XXXX-11.0XXX0 左规01.XXXXX-00.1XXXX 右规10.XXXXX-11.0XXXX 右规,规格化方法,例：两浮点数 x=0.1101

14、210,y=(0.1011)201,求x+y。,解：x补=00 10，00.1101 y补=00 01，00.1011 对阶：E补=Ex补Ey补=00 10+11 11=00 01 y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。y补=00 10，00.0101,x+y补=00 10，01.0010,右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。x+y补=00 11，00.1001,求和：00.1101+00.0101 01.0010,在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。简单的舍入方法有两种：“0舍1入”法 即如果右移

15、时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。“恒置1”法 即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。从概率上来说,丢掉的0和1各为1/2。,(5)舍入处理,在IEEE754标准中,舍入处理提供了四种可选方法：就近舍入 其实质就是通常所说的四舍五入。例如,尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半,故最低有效位应增1。若多余的5位是01111,则简单的截尾即可。对多余的5位10000这种特殊情况：若最低有效位现为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为 0。朝0舍入 即朝数轴原点方向舍入,就是简单的截尾。无论尾数是正数还是负

16、数,截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。这种方法容易导致误差积累。朝舍入 对正数来说,只要多余位不全为0则向最低有效位进1;对负数来说则是简单的截尾。朝舍入 处理方法正好与 朝舍入情况相反。对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾;对负数来说,向最低有效位进1。,(6)溢出处理,与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需判溢出。在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现01或10时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。,若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位、数符取2位，尾数取n位，则它们能表示的补码在数轴上的表示范围如图所示。,图中A，B，a，b分别对应最小负数、最大正数、最大负数和最小正数。它们所对应的真值分别是：A最小负数 2+127(-1)B最大正数 2+127(1-2-n)a最大负数 2-128(-2-1-2-n)b最小正数 2-128 2-1,最小负数,最大正数,最大负数,最小正数,图中a,b之间的阴影部分，对应阶码小于128的情况，叫做浮点数的下溢。下溢时浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。图中