Matlab学习系列27 多目标规划.docx
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Matlab学习系列27多目标规划
27.多目标规划
一、线性规划的局限性
1.线性规划要求所求解问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足；
2.线性规划只能处理单目标的优化问题，从而对一些次目标只能转化为约束处理，而实际问题中，目标和约束是可以相互转化的，处理时不一定要严格区分；
3.线性规划在处理问题时，将各个约束（也可看成目标）的地位看成同等重要，实际问题中，各个目标的重要性有层次上的差别，在同一层次也可能有不同权重；
4.线性规划寻找最优解，而许多实际问题只要找到满意解就可以了。
例1（线性规划——生产安排问题）某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，每天产品盈利与设备使用工时及限制如下表：
甲
乙
设备生产能力/h
A/（h/件）
2
2
12
B/（h/件）
4
0
16
C/（h/件）
0
5
15
盈利/（元/件）
200
300
问：
该企业应如何安排生产，能使总利润最大？
解：
设甲乙产品的产量分别为x1,x2，建立线性规划模型：
用Lingo可求得最优解：
x1=3,x2=3,z*=1500.
但实际上，企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面，比如：
增加下列因素（目标）
（1）力求使利润不低于1500元；
（2）考虑市场需求，甲乙两种产品的产量比应尽量保持1:
2；
（3）设备A位贵重设备，严格禁止超时使用；
（4）设备C可以适当加班，但要控制，设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍。
这就需要用目标规划。
二、目标规划的基本概念
1.设置偏差变量
偏差变量——表示实际值与目标值之间的差异；
d+——表示超出目标的差值，称为正偏差变量；当实际值超过目标值时，有d-=0，d+>0;
d-——表示未达到目标的差值，称为负偏差变量；当实际值未达到目标值时，有d+=0，d->0.
注：
若实际值与目标值一致，有d-=d+=0.
2.统一处理目标与约束
目标规划中，约束有两类，一类是对资源有严格限制的，用严格的等式或不等式约束来处理（同线性规划），例如，例1中设备A禁止超时使用，则有刚性约束：
另一类约束是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标，构成柔性约束，例如，例1中希望利润不低于1500元，则目标可表示为
甲乙两种产品产量尽量保持1:
2的比例，则目标可表示为
设备C可以适当加班，但要控制，则目标可表示为
设备B要求充分利用，又尽可能不加班，则目标可表示为
结论：
若希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；若希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；若希望保持等式，则同时极小化正负偏差。
3.目标的优先级与权系数
目标规划中，目标的优先分为两个层面，第一个层面是目标分成不同的优先级，在求解目标规划时，必须先优化优先级高的目标，再优化优先级低的目标；通常用P1,P2,…表示不同的因子，并规定Pk>>Pk+1.
第二个层面是目标处于同一优先级，但两个目标的权重不同，此时应两目标同时优化，但用权重系数的大小来表示目标重要性的差别。
目标规划建模中，除刚性约束必须严格满足外，对所有目标约束均允许有偏差。
其求解过程要从高到低逐层优化，中不增加高层次目标的偏差值的情况下，逐次使低层次的偏差达到极小。
例1按目标规划的方法可建立如下目标规划模型：
设备A是刚性约束，其余是柔性约束；首先，最重要的指标是企业的利润，故将其优先级列为第一级；其次，甲乙两种产品的产量保持1:
2的比例，列为第二级；再次，设备C，B的工作时间要有所控制，列为第三级。
中第三级中，设备B的重要性是设备C的3倍，因此其权重不一样，设备B前的系数是C前系数的3倍，于是得到：
三、目标规划模型的一般形式：
设
是目标规划的决策变量，共有m个刚性约束（等式或不等式约束），有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为
，有个q优先级别，分别为
，在同一个优先级
中有不同的权重，分别记为
，则目标规划模型的一般形式为：
注：
建立目标规划模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，这些具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法予以量化。
序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。
例1模型的求解：
Lingo代码：
附录：
Lingo语法
（二）
以料场选址问题为例：
建筑工地的位置用平面坐标a,b表示（距离单位km）；水泥日用量（单位t）由下表给出：
表工地的位置（a,b）及水泥日用量
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75
0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75
4.75
5
6.5
7.75
d
3
5
4
7
6
11
目前想设置两个临时料场,日储量各有20t，问两个料场选址在何处，分别向各工地运送多少吨水泥，能使总的吨公里数最小？
求解：
记工地的位置为（ai,bi）,水泥的日用量为di,i=1,…,6;料场位置为（xi,yi）,日储量为ej,j=1,2;从料场j向工地i的运送量为cij,则该问题的数学规划模型为：
Lingo代码：
MODEL:
TitleLocationProblem;
sets:
demand/1..6/:
a,b,d;
supply/1,2/:
x,y,e;
link（demand,supply）:
c;
endsets
data:
!
locationsforthedemand（需求点的位置）;
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
!
quantitiesofthedemandandsupply（供需量）;
d=3,5,4,7,6,11;
e=20,20;
enddata
init:
!
initiallocationsforthesupply（初始点）;
x,y=5,1,2,7;
endinit
!
Objectivefunction（目标）;
[OBJ]min=@sum（link（i,j）:
c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^（1/2））;
!
demandconstrains（需求约束）;
@for（demand（i）:
[DEMAND_CON]@sum（supply（j）:
c（i,j））=d（i）;）;
!
supplyconstrains（供应约束）;
@for（supply（j）:
[SUPPLY_CON]@sum（demand（i）:
c（i,j））<=e（j）;）;
@for（supply:
@free（x）;@free（y）;）;
END
Lingo程序的一般结构：
程序是以MODEL:
开始，以END结束。
主体通常分为5个部分：
（1）集合段；
（2）数据段；（3）初始段；（4）计算段；（5）目标与约束段。
一、集合段
以“SET:
”开始，以“ENDSET”结束；用来定义必要的集合变量及元素、属性，相当于数组。
sets:
demand/1..6/:
a,b,d;
supply/1,2/:
x,y,e;
link（demand,supply）:
c;
endsets
表示集合1名称为demand，元素为1…6，即demand={1,2,3,4,5,6}，该集合的属性有a,b,d
“集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组”
即相当于demand定义了如下数组的：
a
（1）,a
（2）,a（3）,a（4）,a（5）,a（6）
b
（1）,b
（2）,b（3）,b（4）,b（5）,b（6）
d
（1）,d
（2）,d（3）,d（4）,d（5）,d（6）
类似地，supply定义了如下数组
x
（1）,x
（2）,y
（1）,y
（2）,e
（1）,e
（2）
注1：
1,2,3,4可简写为1..4；
注2：
若无属性列表，则该集合往往是作为循环变量来使用，或用来构造派生集合；
注3：
若无元素列表，则必须在程序的数据段以赋值语句方式给出元素列表。
派生集合：
为了处理有两个下标的数组，引入派生集合：
link（demand,supply）:
c;
表示link={（s,t）:
s∈demand,t∈supply}，即笛卡尔积；其属性c则为6×2矩阵（二维数组）：
c（1,1）,c（1,2）
c（2,1）,c（2,2）
c（3,1）,c（3,2）
c（4,1）,c（4,2）
c（5,1）,c（5,2）
c（6,1）,c（6,2）
注：
demand和supply称为link的父集合。
二、数据段
以“DATA:
”开始，以“ENDDATA”结束；用来对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。
data:
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
d=3,5,4,7,6,11;
e=20,20;
enddata
对集合的属性输入必要的常数数据，赋值结果为：
a
（1）=1.25,a
（2）=8.75,……,a（6）=7.25
b
（1）=1.25,b
（2）=0.75,……,b（6）=7.75
d
（1）=3,d
（2）=5,……,d（6）=11
e
（1）=20,e
（2）=20
若需要在运行时才对单变量（不能是属性变量，数组）参数赋值，可以在数据段使用输入语句：
例如
A=?
;
在求解时，Lingo将给出提示界面，等待用户输入变量A的数值。
三、初始段
以“INIT:
”开始，以“ENDINIT”结束；用来对集合的属性（数组）定义初始值，一般作为迭代用。
init:
x,y=5,1,2,7;
endinit
这里与数据段的赋值一样。
注意：
变量x,y一起赋值时的赋值顺序，相当于
x
（1）=5,y
（1）=1,x
（2）=2,y
（2）=7
同“x=5,2;y=1,7;”
四、计算段
以“CALC:
”开始，以“ENDCALC”结束；用来对原始数据进行计算处理。
例如，
CALC:
T_d=@SUM（demand:
d）;!
总日用量;
A_d=T_d/@size（demand）;!
平均日用量;
ENDCALC
其中，函数@size（demand）返回demand的元素个数。
五、目标和约束段
除上述四段之外的部分，无开始、结束标志；是模型的主体，用来定义目标函数和约束条件。
1.目标函数：
[OBJ]min=sum（link（i,j）:
c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^（1/2））;
@sum函数，派生集合（二维数组）link关于索引i，j对表达式求和；
2.约束条件1：
@for（demand（i）:
[DEMAND_CON]@sum（supply（j）:
c（i,j））=d（i）;）;
@for函数，对集合demand的每个索引i，应用求和表达式，集合supply关于索引j对表达式求和；
约束条件2：
@for（supply（j）:
[SUPPLY_CON]@sum（demand（i）:
c（i,j））<=e（j）;）;
@for函数，对集合supply的每个索引i，应用求和表达式，集合supply关于索引j对表达式求和；
@for（supply:
@free（X）;@free（Y）;）;
@for函数对集合supply所有元素，@free函数取消x,y的非负限制。
运行结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
85.26604
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
68
ModelTitle:
LocationProblem
VariableValueReducedCost
A
（1）1.2500000.000000
A
（2）8.7500000.000000
A（3）0.50000000.000000
A（4）5.7500000.000000
A（5）3.0000000.000000
A（6）7.2500000.000000
B
（1）1.2500000.000000
B
（2）0.75000000.000000
B（3）4.7500000.000000
B（4）5.0000000.000000
B（5）6.5000000.000000
B（6）7.7500000.000000
D
（1）3.0000000.000000
D
（2）5.0000000.000000
D（3）4.0000000.000000
D（4）7.0000000.000000
D（5）6.0000000.000000
D（6）11.000000.000000
X
（1）3.2548830.000000
X
（2）7.250000-0.1853513E-05
Y
（1）5.6523320.000000
Y
（2）7.750000-0.1114154E-05
E
（1）20.000000.000000
E
（2）20.000000.000000
C（1,1）3.0000000.000000
C（1,2）0.0000004.008540
C（2,1）0.0000000.2051358
C（2,2）5.0000000.000000
C（3,1）4.0000000.000000
C（3,2）0.0000004.487750
C（4,1）7.0000000.000000
C（4,2）0.0000000.5535090
C（5,1）6.0000000.000000
C（5,2）0.0000003.544853
C（6,1）0.0000004.512336
C（6,2）11.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
OBJ85.26604-1.000000
DEMAND_CON
（1）0.000000-4.837363
DEMAND_CON
（2）0.000000-7.158911
DEMAND_CON（3）0.000000-2.898893
DEMAND_CON（4）0.000000-2.578982
DEMAND_CON（5）0.000000-0.8851584
DEMAND_CON（6）0.0000000.000000
SUPPLY_CON
（1）0.0000000.000000
SUPPLY_CON
（2）4.0000000.000000
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