购房贷款的数学建模.docx
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购房贷款的数学建模
购房贷款的数学建模
题目:
购房贷款比较问题
组员:
班级:
指导教师:
关于购房贷款的数学模型
摘要:
近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋买卖方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的是银行按揭贷款买房成为新的购房趋势，并日渐盛行。
这对现在社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。
目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本息法,等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。
而对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人必须认真考虑的。
本文根据银行购房贷款和我们的日常常识，建立数学模型，推导出月均还款总额、还款总额和利息负担总和的公式。
并以一笔40万元、10年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出10年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式作一次比较。
最后得出结论，等额本息还款法的月还款数不变，还款压力均衡，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力，但需多付些利息，所以适合收入不是很高的，经济条件不允许前期还款投入过大没有打算提前还款的收入处于稳定状态的人群。
而等额本金还款法，由于贷款人本金归还得快，利息就可以少付，还款总额比较少，并且随着时间的推移每月还款数越来越少，但前期还款额度大，因此适合当前收入较高者，有一定的经济基础，能承担前期较大还款能力，且有提前还款计划的人，这种方式对准备提前还款的人较为有利。
关键词:
贷款;等额本息;等额本金;月均还款总额
1.问题的提出
某人购房，需要贷款，有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式。
贷款40年，还款期10年，分别求:
（1）月供金额。
（2）总的支付利息。
比较两种还款法，给出自己的方案。
2.问题的分析
2
目前有两种还款方式。
等额本息还款法:
每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。
还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返，还供款中本金比重增加。
等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。
而等额本金还款法:
每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减。
借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。
但随着时间推移，还款负担便会减轻。
所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人群。
假设小李夫妇能够支付这两种不同的还款方式，我们需要帮助他建立等额本息和等额本金还款法的数学模型，以选择最佳还款方式。
根据问题一和问题二，需分别建立两种还款方式的模型，并分别求出其月供金额和总的支付利息。
3.问题的假设
为了使问题更加明了清晰，便于计算，同时便于扩展因此特作如下假设:
1.假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。
2.假设贷款年利率确定，无论还款期为多少年，在还款期间均为6%保持不变。
3.假设银行贷给该人的本金是在某个月的1号一次到位的，在本金到位后的下个月1号开始还钱。
4.问题的参数
问题参数约定如下:
A:
客户向银行贷款的本金
B:
客户平均每期应还的本金
C:
客户应向银行还款的总额
D:
客户的利息负担总和
α:
客户向银行贷款的月利率
β:
客户向银行贷款的年利率
m:
贷款期
n:
客户总的还款期数
根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系:
n,12mC,A,DA,nB
（1）
（2）（3）
3
5.模型的建立与求解
5.1等额本息还款模型的求解:
（1）贷款期在1年以上:
先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的.在本金到位后的下个月
1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.
因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，
,12,即有关系式:
设月均还款总额是x（元）
ai（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额bi（i=1…n）是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额.根据上面的分析，有
a,A（1，,）1第1期还款前欠银行的金额:
b,a,x,A（1，,）,x11第1期还款后欠银行的金额:
a,b（1，,）21第2期还款前欠银行的金额:
2,A（1，,）,x（1，,）
b,a,x22第2期还款后欠银行的金额:
2,A（1，,）,x（1，,）,x……
第i期还款前欠银行的金额:
i,1i,2,,,,a,b（1，）,（A（1，）,x（1，）,？
x）（1，）ii,1ii,1i,2,A（1，,）,x（1，,）,x（1，,）,？
x（1，,）第i期还款后欠银行的金额:
b,a,xiiii,1i,2,A（1,，）,x（1，,）,x（1，,）,？
x（1，,）,x
4
……
第n期还款前欠银行的金额:
n,1n,2n,3,,,,,a,b（1，）,（A（1，）,x（1，）,x（1，）,？
x）（1，）nn,1nn,1n,2,A（1，,）,x（1，,）,x（1，,）,？
x（1，,）
第n期还款后欠银行的金额:
nn,1n,2b,a,x,A（1，,）,x（1，,）,x（1，,）,？
x（1，,）,xnn
因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清.也就是说:
，b,0n
nn,1即:
A（1，,）,x（1，,）,？
x（1，,）,x,0
nn,1A（1，,）,x[（1，,）,？
（1，,）,1],0解方程得:
n,,（1，）A,xn（1，,）,1这就是月均还款总额的公式.
因此，客户总的还款总额就等于:
n,,（1，）An,,Cnxn（1，,）,1利息负担总和等于:
n,,An（1，）D,C,A,,An,（1，）,1
（2）1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因
C,（1，,）A此，1年期的还款总额为:
D,C,A,,A而利息负担总和为:
5
5.2等额本金还款模型的求解
银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法:
等额本金还款法（递减法）:
每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.
（1）假设贷款期在1年以上.
等额本金还款法:
每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担不同。
利息负担随本金的偿还逐期递减。
所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。
xi设客户第i期应付的金额为（i=1，2…,n）（单位:
元）
x,B，（A,B）,1因此，客户第一期应付的金额为:
x,B，（A,2B）,2第二期应付的金额为:
计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当.而在第120期（若年利率不变），应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。
可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。
而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更合适.
……
x,B，（A,nB）,n那么，客户第n期应付的金额为:
累计应付的还款总额为:
'C,x，x，？
，x12n
（2）A，,n,,,2
利息负担总和为:
A（2，n,）,,''D,C,A,,A2
1,,A（n,1）2
（2）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1
6
年期的还款总额为:
'C,（1，,）A
而利息负担总和为:
''D,C,A,,A6.结果分析与检验
6.1举例说明
以向银行贷款40万买房子，10年还款期为例.比较等额本息和等额本金两种还款
方法:
（1）等额本息:
利用上文模型求解得的公式可知
总的还款期数n=12m=12×10=120
客户向银行贷款的月利率α=β/12=0.5%
月供金额（月均还款总额）
n,,（1，）A（单位:
元）,xn（1，,）,1
12000400000，0.5，（1，0.5）00,1200（1，0.5）,10
4440.82
客户总的还款总额就等于:
C,nx
n,,An（1，）,n（1，,）,1
532898.41
利息负担总和等于:
n,,An（1，）D,C,A,,An,（1，）,1
132898.41
7
（2）等额本金:
月供金额（客户第n期应付的金额）
x,B，（A,nB）,n
客户每期应还的本金
B,A,n,3333.33所以月供金额如下:
=5316.66x1
=5300.00x2
=5283.33x3
……
=4450.00x53
x=4433.3354
……
=3333.33x120
累计应付的还款总额为:
（2）A，,n,,'？
C,x，x，，x,12n2
00400000（20.51200.5），，，,00,2
=519000.00
利息负担总和为:
,A（2，n,）1''D,C,A,,A,,A（n,1）22
10,，0.5，400000，（120,1）02
=119000.00
8
计算贷款40万的两种还款方式所得各项数据对比如下表:
（年利率为6%来计算（单位:
元））
贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款总额
10（等额本息）6532898.41132898.414440.82
5313.66（第1
10（等额本金）6519000.00119000.00
期）
比较（相差）------13898.4113898.41------
虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重.而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大，所以，银行一般都推荐等额本息还款法.
考虑到当前的利率情况，如提前还贷，应选择等额本金还款法。
6.2其他还款方式
银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。
虽然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。
选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。
在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。
等额本金还款:
适合目前收入较高的人群。
借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。
随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。
这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。
等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。
还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，
固定利率:
进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相应地增加。
在贷款合同签订时，即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，但风险较大。
按期付息还本:
适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归还
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制订不同还款时间单位。
即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。
实际上，就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。
还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。
7.模型的优缺点与改进方向
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立
"实际问题的一种强有力的数学手段。
它或能解释某些客观现象，或能近似刻画并"解决
能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。
要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
数学建模是解决实际问题的一个很好的工具或方法，但其是通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题，也不可避免地在解决问题时有一些不足之处。
1、模型的优点:
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）本文建立离的模型有相应的软件支持，推光容易。
（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。
（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。
（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。
（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。
2、模型缺点:
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。
（2）利率的精确度不同可能造成一定误差
（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来
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3、模型的改进:
（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素
（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响
（3）对利率有更准确的计算方法
（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
参考文献
[1]邬国根王泽文《数学实验与建模初步》东华理工大学[2]韩中庚《数学建模方法及其应用》北京高等教育出版社[3]姜启源《数学模型（第三版）》北京高等教育出版社[4]陈光亭裘哲勇主编数学建模高等教育出版社（北京2010
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