人教版八年级数学下册《正方形》基础练习.docx
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人教版八年级数学下册《正方形》基础练习
《正方形》基础练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2
3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（ ）
A．3B．
C．2
D．4
4．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．对角线相等的四边形一定是正方形
5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．对角线平分对角D．内角和为360°
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是 ．
7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．
8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为 ．
9．（5分）正方形的对角线长为4
，则它的边长为 ．
10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：
∠ABP＝∠ADP．
13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4
，点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．
（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；
（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．
14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：
AM＝EF．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：
BG＝EC．
《正方形》基础练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】解：
A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．
故选：
D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．
2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2
【分析】如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H，可证△ABF≌△AHD，可得HD＝AF＝2，且BF＝4，根据勾股定理可得AB的长，则可求正方形ABCD的面积．
【解答】解：
如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H
∵作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H
∴∠AFB＝∠AHD＝90°
∴∠FAB+∠FBA＝90°
∵ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∴∠BAF+∠HAD＝90°
∴∠HAD＝∠FBA且AB＝AD，∠AFB＝∠AHD＝90°
∴AF＝HD＝2cm，且FB＝4cm
∴AB＝2
cm
∴S正方形ABCD＝AB2＝20cm2
故选：
C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造三角形全等．
3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（ ）
A．3B．
C．2
D．4
【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：
∵ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE＝CF＝1
∵E是AB中点
∴AB＝BC＝2
∴BF＝3
在Rt△BEF中，EF＝
＝
故选：
B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．
4．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．对角线相等的四边形一定是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．
【解答】解：
A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；
B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；
D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；
故选：
A．
【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．对角线平分对角D．内角和为360°
【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．
【解答】解：
正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．
故选：
A．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是 15° ．
【分析】根据∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．
【解答】解：
∵∠BOD＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，
∠EOC＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠2＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠2＝65°+40°﹣90°＝15°．
故答案为：
15°．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键．
7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 x+y＝15 ．
【分析】先由正方形A的边长为5，得出SA＝25，再根据勾股定理的几何意义，得到x+4+（6+y）＝SA，由此得出x与y的数量关系．
【解答】解：
∵正方形A的边长为5，
∴SA＝25，
根据勾股定理的几何意义，得x+4+（6+y）＝SA＝25，
∴x+y＝25﹣10＝15，即x+y＝15．
故答案为：
x+y＝15．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．
8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为
．
【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2，可证△BEA≌△CAF，可得AF＝BE＝1，根据勾股定理可求正方形的边AC的长．
【解答】解：
如图：
作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠BAE+∠CAF＝90°
∵BE⊥AE
∴∠BAE+∠EBA＝90°
∴∠CAF＝∠EBA，且AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°
∴△ABE≌△ACF
∴BE＝AF＝1
在Rt△ACF中，AC＝
＝
故答案为
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．（5分）正方形的对角线长为4
，则它的边长为 4 ．
【分析】根据正方形的性质可以直接得到．
【解答】解：
设正方形的边长为a
则a2+a2＝（4
）2
∴a＝4
故答案为4
【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 2 ．
【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积
【解答】解：
正方形面积＝
＝2
故答案为2
【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．
【解答】解：
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，
∴∠ACB＝
∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．
12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：
∠ABP＝∠ADP．
【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，
∴在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4
，点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．
（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；
（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．
【分析】
（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO＝
，则可求各顶点的坐标．
（2）根据题意可得P点坐标（
，
），则可求△PDO面积．
【解答】解：
（1）∵正方形ABOD的周长为4
∴AB＝BO＝DO＝AD＝
∴A（﹣
，
），B（0，
），O（0，0），D（﹣
，0）
（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等
∴P（
，
）
∴S△PDO＝
×
＝1
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：
AM＝EF．
【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：
四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．
【解答】证明：
延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，
∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，
∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．
在△AQM和△FME中，
，
∴△AQM≌△FME（SAS），
∴AM＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：
BG＝EC．
【分析】由正方形性质可得，AE＝AB，AG＝AC，∠EAC＝∠BAG，可证△AEC≌△ABG，结论可得．
【解答】证明：
∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，
∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°
∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠BAG
在△EAC和△BAG中，
∴△EAC≌△BAG（SAS）
∴BG＝CE
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，关键是运用正方形的性质解决问题．
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