普通高等学校招生全国统一考试文科数学带答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学带答案
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1•答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1•已知集合A{x|x23x40},B{4,1,3,5},则A”B
A•{4,1}B•{1,5}
C•{3,5}D•{1,3}
2•若z12ii3，则21=
A•0B•1
C•2D•2
3•埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥•以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
4•设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
5•某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X（单位：
°C）的关系，在20个不同的温
度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
（X，y）（i1,2,川,20）得到下面的散点图:
由此散点图，在
10OC至40。
C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
y和温度x的回归方程
类型的是
A.yabx
X
C.yabe
2
B.yabx
D.yablnx
6.已知圆x
2
y6x0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2
7.设函数f（x）
cos（
n
x—）在卜nn的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为
6
10n
D.
C.
3n
2
C.-
8
8.设alog342，则4a
A.—
16
面积为
5
C.-
2
的面积为4n,
12.已知代B,C为球O的球面上的三个点，OO1ABC的外接圆，若O
ABBCACOOi，则球O的表面积为
A.64n
B.48n
C.36n
32n
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
2xy20,
13.若x,y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为
y10,
14.设向量a（1,1）,b（m1,2m4），若ab，贝Um.
15.曲线yInxx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
16•数列｛an｝满足an2
（1）nan3n1，前16项和为540,则.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：
件）按标准分为A,B,C,D四个等级•加工业务约定：
对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元•该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务•甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件•厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这
种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
18.（12分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°
（1）若a=,3c,b=2,7，求△ABC的面积;
（2）若sinA+、3sinC=——，求C.
2
19.（12分）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，/
APC=90°
（1）证明：
平面PAB丄平面PAC；
（2）设DO=J，圆锥的侧面积为、.3n,求三棱锥P-ABC的体积.
20.已知函数f（x）exa（x2）.
（1）当a1时，讨论f（x）的单调性;
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围
2
x2
21.已知A、B分别为椭圆E:
—y1（a〉1）的左、右顶点，
a
线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
（1）求E的方程;
（2）证明：
直线CD过定点.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
［选修4—4:
坐标系与参数方程］（10分）
16sin
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos
（1）当k1时，G是什么曲线?
（2）当k4时，求G与C2的公共点的直角坐标.
23.［选修4—5:
不等式选讲］（10分）
已知函数f（x）|3x1|2|x1|.
（1）画出yf（x）的图像；
（2）求不等式f（x）f（x1）的解集.
参考答案
选择题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.C
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
9.C
10.D
11.B
12.A
非选择题答案
二、填空题
17•解:
（1）由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为上004;
100
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为空0.28.
100
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
15.
654025205207520
100
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
702830170347021
10.
100
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18•解：
（1）由题设及余弦定理得283c2c22-3c2cos150,
解得c2（舍去），c2，从而a23•
1
△ABC的面积为2^32sin1503
（2）在△ABC中，A
180
BC30
C，所以
sinA、3sinCsin（30
C）
3sinC
sin（30C），
故sin（30C）2.
2
而0C30，所以30
C
45，故C
15.
19.解：
（1）由题设可知，PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形，故可得厶PACPAB.
△PAC^APBC.
又/APC=90°故/APB=90°,/BPC=90°.
从而PB丄PA,PB丄PC,故PB丄平面PAC，所以平面PAB丄平面
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为I.
由题设可得rl=3,|2r22.
解得r=1,l=3,
从而AB.3•由
（1）可得PA2PB2AB2，故PAPBPC
所以三棱锥P-ABC的体积为1-PAPBPC11（―^3
PAC.
32322
20•解：
（1）当a=1时，f（x）=ex-<72，贝Vf（x）=ex—1.
当x<0时，f（x）<0；当x>0时，f（x）>0.
所以f（乂）在（-于0）单调递减，在（0,+8）单调递增.
（2）f（x）=exa
当aw时，f（x）>0，所以f（x）在（-弩+8）单调递增，
故f（x）至多存在1个零点，不合题意.
当a>0时，由f（X）=0可得x=lna.
当x€（-opIna）时，f（X）<0;
当x€（Ina,+o）时，f（x）>0.所以f（x）在（-oIna）单调递减，在（Ina,+o）单调递增，故当
x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（Ina）=-a（1+lna）.
,1一一
（1）若0QW-，则f（Ina）>0f（乂）在（-o+o）至多存在1个零点，不合题意.
e
1
（ii）若a>-，则f（Ina）<0.
e
由于f（—）=e「2>0，所以f（x）在（-°pIna）存在唯一零点.
由
（1）知，当x>2时，ex-（E>0，所以当x>4且x>2In（2a）时，
xx
f（x）e2e2a（x2）e'n（2a）（|2）a（x2）2a0.
故f（乂）在（Ina,+o）存在唯一零点，从而f（乂）在（-o+o）有两个零点.
1
综上，a的取值范围是（1,+o）.
e
21.解:
（1）由题设得A（a,0）,B（a,0）,G（0,1）.
则AG（a,1）,Gb（a,1）.由AGgB8得a218，即a3.
2
所以E的方程为—y21.
9
（2）设C（x!
y!
）,D（x2,y2）,G（6,t）.
若t0,设直线CD的方程为xmyn，由题意可知
由于直线PA的方程为y-（x
9
直线PB的方程为y-（x3）,
3
3），所以
所以y2
y19（X13）.
3（X23）.
可得3%（X23）
『2（X1
3）.
2
由于,y21,
2
故y2
（X2
3）（x23）
可得27y1y2
（X1
3）（X23）,
2
即（27m）y1y2
m（n
3）（y1y2）
（n3）2
0.①
2
将Xmyn代入—
9
2mn
所以y1y22
m9
y21得（m2
代入①式得（27m2）（n29）
2
9）y
2n
m29
2m（n3）mn
2
2mnyn9
22
（n3）（m9）0
解得n3（舍去），n3.
2
33
故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点（-,0）.
22
3若t0,则直线CD的方程为y0,过点（-,0）.
2
3
综上，直线CD过定点（|,0）.
xcost,2
22.解：
当k=1时，Cl：
ysint,消去参数t得X
4.
XCOSt,—_
（2）当k=4时，Ci:
4消去参数t得Ci的直角坐标方程为.x.y1.
ysint,
C2的直角坐标方程为4x16y30.
1
由'xy1,解得4
4x16y30y1y；
11
故C1与C2的公共点的直角坐标为（冇）.
1
x3,x,
3
1
23.解：
（1）由题设知f（x）5x1,x1,3
x3,x1.
yf（x）的图像如图所示.
1
\
1
T
-
1
b
X
1
V
（2）函数yf（x）的图像向左平移1个单位长度后得到函数yf（x1）的图像.
/
Z
J
\
1
\
L
b
yf（x）的图像与y
由图像可知当且仅当
故不等式f（x）f（x
711
f（x1）的图像的交点坐标为（一，）.
66
x-时，yf（x）的图像在yf（x1）的图像上方,
6
1）的解集为（，£.
6
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