此解为两项之和，由于前一项会随着时间的推移而消失，这反映的是一种暂态行为，与驱动力无尖。
第二项表示与驱动力同频率且振幅为％的振动。
可见，虽然刚开始振动比拟复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，称为一种简谐振动。
公式为：
Q=Obcos（3t+（p）（3）
振幅Ob和初相位卩（vp为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质与阻尼情况有尖，也与驱动力的频率3和力矩的幅度Mo有尖，而与振动的初始条件无尖（初始条件只是影响到达稳定状态所用的时间）。
％与0由下述两项决定：
m
Ob二匸
y/—to2）2+46
一26a）
o）=arctan—
o）q—少
1・2共振
由极值条件警=0可以得出，当驱动力的角频率为3二尼・2衣时，受迫振动的振幅到达最大值，社
生共
共振的角频率J32Z振幅：
久丄（6）
26（3討62
"262
相位差=arctaii?
）
由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率越接近于系统的固有频率3°，共振振幅侏也越人，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近丁71/2.
下面两幅图给出了不同阻尼系数§的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。
受迫振动的幅频特性受迫振动的相频特性
1.3阻尼系数6的测量
（1）由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数6
摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩■灼，轴承、空气和电磁阻尼力矩七嚳，阻尼较小（以V3&）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方徉和方程的解为：
*
dedo9丽+2阪+心二0
0=0代爪cos（u）at+a）
可见，阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔门个周期的两振幅之比取对数，那么有：
00o^eA
In—-In---二nST
On・建+“）
实际的测量之中，可以以此來算出6值。
其中，11为阻尼振动的周期数，％为计时幵始时振动振幅，久为的n次振动时振幅，T为阻尼振动时周期。
（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数§（只适合于夕«时的情况）由幅频特性可以看
出，弱阻尼6«情况下，共振峰附近3/3°Q1,3+3（）©
230,由⑷和⑹可得：
28Ja）l・6
6y/（COQ—0）2）2+4&0）2_3o）2+§2
-\9b=%时，由上式可得：
O）・£0o±8o
在幅频特性曲线上可以直接读出色=&7返处对应的两个横坐标3+/®。
和3么,从而可得:
3+—
=28
（8）
2•实验仪器
伯尔共振仪，如图:
3•实验数据及其处理
3・1测定电磁阳尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应矣系
周期（S）
振福（8）
周期（s）
振幅（&）
周期（s）
振幅（8）
1.569
159
1.572
122_
1.575
82
1.569
158
1.572
120
1.575
78
1.570
153
1.572
116—
1・575H
76
1.570
147
1.573
114
1.575
_75
1.570
146
1.573
in2
1.575
_74
1.570
145
1.573
110
1.576
69
1.570
141
1.573
139_
1.576
66
1.571
137
1.573
136Z
1.576
一60
1.571
135
1.573
133
1.576
59
1.571
130
1.574
99—
1.576
58
1.572
127
1.574
94
1.576
53
1.571
126
1.574
93
1.576
52
1.572
125
1.574
92_
1.576
51
1.572
124
1.574
91_
1.576
50
1.574
87
对这些数据进行作点拟合:
1575-
EquationAdjR-Squ»ro
y•占•bF
0.973291
V^Iiia
LinearFitofA
（s）aoAO
572
1569-
40
80
120
160
amplitude（o）
由拟合直线可以看出周期T与振幅8的尖系式为：
T=-6.6801*10-5*0+1.5800
说明：
〔1〕由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k在扭转角度8的改变而略有变化〔3%左右〕。
为此测出周期与振幅之间的尖系曲线，供作幅频特性曲线和相频特性曲线是査用，有效
减小实验的系统误差。
〔2〕由丁•实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。
所以在图上的描点会出现这样的情况。
采用直线拟合效果也是比拟好的。
32观察研究摆轮的阻尼振动实验数据如下：
10个硼〔15.736s〕时離记录
On
=n6T
可以得出:
lnA=15.735*8
71
所以:
8=0.04753
3・3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数数据载入（周期的单位均为S）:
周期「0
振幅（&）
相位差丿
周期T
初始周期
角频率比值
16.233
66
24.5
1・6233
1.575601
0.9706161
16.213
68
25.7
1.6213
1・575468
0.971731
16.177
72
27.5
1.6177
1.57520.9737283
16.152
75
28
1.6152
1.575
0.9751114
16.086
84
33
1・6086
1.5743990.9787385
16.012
97
39
1.6012
1.57353
0.9827194
15.94
112
46
1.594
1・572528
0.9865297
15.911
49.5
1.5911
1.572127
0・9880758
15.871
127
55.5
1.5871
1.571526
0.9901873
15.84
134
61.2
1.584
1.571059
0.99183
15.81
140
66
1.581
1・570658
0.9934585
15.785
146
71.2
1・5785
1・570257
0.994778
15.763
149
76
1・5763
1.570057
0.9960392
15.746
151
80
1・5746
1・569923
0.9970297
15.723
154
86
1・5723
1・569723
0.9983608
15.71
154
86
1.571
1•569723
0.9991869
15.701
154
91.5
1.5701
1.569723
0.9997597
15.689
154
95
1•5689
1・569723
1・0005243
15.672
151
100
1・5672
1.569923
1.0017375
15.65
148
106
1.565
1.570123
1・0032738
15.618
139
115
1.5618
1・570725
1.0057143
15.6
132
120.5
1.56
1.571192
1.0071745
15.581
126
125.5
1.5581
1.571593
1・0086599
—15.554
116
131.5
—1・5554
1.572261
1.0108403
15.528
107
136
1.5528
1.572862
1.0129201
15.504
100
140
1・5504
1・57333
1.0147897
15.459
87
145
1・5459
1.574198
1.0183054
15.257
56
159
1・5257
1・576269
1.0331449
15.182
49
161
1.5182
1•576737
1・0385567
初始周期指的是对应也度的阻尼为0是的周期。
由比，可以作出幅频特性曲线和相频特性曲线。
拟合出来的幅频特性曲线:
（0OP2一-dww
拟合的幅频特性Uli线的参数如卜•：
"Equationy=yO+（A/（w唱qrt（PI⑵）rexpChMx・xO/wFJ
2）
由拟合可得，振幅8与丄的尖系为：
3。
oaCCX（上1—0.9991.）—3.0286?
30
0=55.7246He—0.02S22
0.0252
因此，峰值外=151.7293由公式（8）,当叭二翁时，
3+—3—二28
因为3+—3■二（0.01403*2）*0）0,推出6=0.01403*
報5［聶襄娜|条件为厶启1，通过査表可知儿二1.572s,tqcjqT
、z8=0.0561
说明：
（1）两次算出的值相差比拟大，可能是因为使用的计算方式不一样造成的。
拟合出来的幅频特性曲线:
相应的扌以合参数为：
Equationy=A2+（A仁A2）/（1+exp（（x-x0）/dx））
Adj.R-Square
0.99954
•
I
Value
StandardError
B
A1
20.55506
0.66054
B
A2
〞61.7824
0.70934
B
xO
0.99975
1.28238E-4
B
dx
0.00867
1.35747E-4
所以，拟合的方程为：
14122731+e0X087由拟合的参数可知，拟合的程度还是相当好的。
4总结
本次试验通过伯尔共振仪测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。
在此皐础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数6。
此外，本次试验未对两种方式算出的阻尼系数为什么相差比拟大做出理论分析。
4参考文献
⑴钱锋、潘人培，?
大学物理实验〔修订版〕?
，北京：
高等教育出版社，2005年
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