导数在研究函数中的应用一学生版.docx

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导数在研究函数中的应用一学生版

导数在函数中的应用1

学习目标

学会用导数来研究函数的单调性（求函数的单调区间）

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若函数

在

内单调递增，那么一定有

.（　　）

（2）如果函数

在某个区间内恒有

，则

在此区间内没有单调性.（　）

2.

的单调递减区间为______.

3.函数

在

上的单调递增区间为____________.

函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：

讨论函数的单调性（求函数的单调区间）、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，运用导数解决实际问题是函数应用的延伸。

【知识梳理】

函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减.

1.在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.

2.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.

考点一：

不含参数的函数的单调性

例1.

（1）函数y＝

x2－lnx的单调递减区间为______.

（2）已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是________________.

方法总结：

确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数

的定义域；

（2）求

；

（3）解不等式

，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式

，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

考点二：

含参数的函数的单调性

例1.已知函数f（x）＝2x3＋

tx2－3t2x＋

（t≠0），求f（x）的单调区间.

考点三：

已知函数单调性求参数

例1.已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝

ax2＋2x（a≠0）.

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.

例2.已知函数f（x）＝exlnx－aex（a

R）.

（1）若f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝

x＋1垂直，求a的值；

（2）若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围.

考点四：

用分类讨论思想研究函数的单调性

例1.已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋ax2＋bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g

（1））处的切线平行于x轴.

（1）确定a与b的关系；

（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性.

1.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是________________.

2.已知函数f（x）＝

x3＋ax＋4，则“a>0”是“f（x）在R上单调递增”的________________条件.

答案：

充分不必要

3.在区间（－1，1）内不是增函数的函数是________.

y＝ex＋x；

y＝sinx；

y＝x3－6x2＋9x＋2；

y＝x2＋x＋1.

4.已知函数y＝f（x）在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为______________.

5.若函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是____________.

6.函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在区间（1，2）上是增函数，求a的取值范围.

7.设函数f（x）＝xea－x＋bx，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间.

8.已知函数f（x）＝

x3－

x2.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数g（x）＝f（x）＋2x，且g（x）在区间（－2，－1）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

回顾本节课的几种题型以及解题方法。

1.

（1）函数

的单调增区间为____________.

（2）已知函数

，则下面关于函数f（x）单调性的判断正确的是________.

在（0，＋∞）上递增；在（0，＋∞）上递减；

在（0，

）上递增；在（0，

）上递减.

2.定义在R上的函数

满足：

f′（x）>f（x）恒成立，若x1

与

的大小关系为________________.

3.若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为（－1，3），则b＋c＝________.

4.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是________.

f（b）>f（c）>f（d）

f（b）>f（a）>f（e）

f（c）>f（b）>f（a）

f（c）>f（e）>f（d）

5.若函数f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax在[

，＋∞]上存在单调递增区间，则a的取值范围是________.

6.若函数f（x）＝x－

sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是________________.