线性代数知识点总结.docx
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线性代数知识点总结
第一章行列式
1.n阶行列式2.特殊行列式
,
3.行列式的性质
定义 记,,行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2互换行列式的两行或列,行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同(成比例),则此行列式为零。
性质3 行列式某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式;
推论1 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到的外面;
推论2 中某一行(列)所有元素为零,则。
性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。
计算行列式常用方法:
①利用定义;②利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。
4. 行列式按行(列)展开
余子式 在阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。
代数余子式 ,叫做元素的代数余子式。
引理 一个阶行列式,如果其中第行所有元素除(i,j)元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即。
(高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0,保留一个非零元素,降阶)
定理 阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即,,。
第二章矩阵
1.矩阵
行列式是数值,矩阵是数表,各个元素组成
方阵:
行数与列数都等于n的矩阵A。
记作:
An。
行(列)矩阵:
只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵:
两矩阵的行数相等,列数也相等。
相等矩阵:
AB同型,且对应元素相等。
记作:
A=B
零矩阵:
元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)
对角阵:
不在主对角线上的元素都是零。
单位阵:
主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:
E
注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。
2. 矩阵的运算
矩阵的加法
说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。
矩阵加法的运算规律
;
,称为矩阵的
。
数与矩阵相乘
数乘矩阵的运算规律(设为矩阵,为数)
;;。
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵,其中,,并把此乘积记作
注意
1。
A与B能相乘的条件是:
A的列数=B的行数。
2。
矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
3。
对于n阶方阵A和B,若AB=BA,则称A与B是可交换的。
矩阵乘法的运算规律
;
,
若A是n阶方阵,则称Ak为A的k次幂,即,并且,。
规定:
A0=E(只有方阵才有幂运算)
注意 矩阵不满足交换律,即,(但也有例外)
转置矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作,
;;;。
方阵的行列式 由阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵的行列式,记作
注意 矩阵与行列式是两个不同的概念,n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。
;;
对称阵 设A为n阶方阵,如果满足A=AT,那么A称为对称阵。
伴随矩阵 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。
性质 (易忘知识点)
总结
(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。
(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。
(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
逆矩阵:
AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵。
。
说明
1A,B互为逆阵,A=B-1
2只对方阵定义逆阵。
(只有方阵才有逆矩阵)
3.若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的。
定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是,并且当A可逆时,有(重要)奇异矩阵与非奇异矩阵 当时,称为奇异矩阵,当时,称为非奇异矩阵。
即。
求逆矩阵方法
初等变换的应用:
求逆矩阵:
。
逆矩阵的运算性质
。
。
。
。
3.矩阵的初等变换
初等行(列)变换
。
。
。
初等列变换:
把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r”换成“c”。
矩阵等价
行阶梯形矩阵:
可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。
(非零行数及矩阵的秩)
R(B)=3
行最简形矩阵:
行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0.
标准型:
对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如的矩阵,称为标准型。
标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。
初等变换的应用
求逆矩阵:
或。
4. 矩阵的秩
矩阵的秩 任何矩阵,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。
(非零行的行数即为矩阵的秩)
说明
1.矩阵Am×n,则R(A)≤min{m,n};
2.R(A)=R(AT);
3.R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;
4.R(A)≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.
满秩和满秩矩阵 矩阵,若,称A为行满秩矩阵;若,称A为列满秩矩阵;。
矩阵秩的求法
定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。
即若A~B,则R(A)=R(B)。
推论
矩阵秩的性质总结
。
第三章
1.n维向量 n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量,记为,其中第i个数ai称为向量的第i个分量。
向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。
设矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量,即,。
同理,也可说矩阵A有m个行向量组组成。
向量,向量组,矩阵与方程组的关系
向量组矩阵:
向量方程方程组:
,
可简写作
向量方程方程组矩阵形式
线性组合 给定向量组和向量b,如果存在一组数使,则向量b是向量组A的线性组合,这时称b向量能由向量组A线性表示。
定理1 向量b能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。
即R(A)=R(A,b)。
向量组的线性表示 设有两个向量组,若B组中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价。
向量组的线性相关 给定向量组,如果存在不全为零的数使,则称向量组是线性相关的,否则称它线性无关;若当且仅当时上式成立,则称向量组A线性无关。
线性相关:
可线性组合表示的,线性无关:
相互独立,互不代表
注意
1.对于向量组来说,不是线性无关,就是线性相关。
2.对于两个向量来说,线性相关意味着两向量的分量对应成比例,几何含义两向量共线;三个向量线性相关意味着三向量共面。
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的,此时总存在不为零的k,使得
线性相关性的判定
定理 向量组(当时)线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示
定理4 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵小于向量的个数m,向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。
最大线性无关向量组 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量,满足:
;
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关;
则称向量组是向量组A的一个最大线性无关向量组。
(2)*向量组A中任何一个(其它)向量可由线性表示。
第四章线性方程组的解
线性方程组如果有解,则称其为相容的,否则称为不相容的。
n元齐次线性方程组Ax=0
(1)R(A)=nAx=0有唯一解,零解(无非零解)
(2)R(A)n元非齐次线性方程组
(1)无解的充分必要条件是
(2)有唯一解的充分必要条件是
(3)有无限多解的充分必要条件是
基础解系 齐次线性方程组的通解具有形式(c1,c2为任意常数),称通解式中向量构成该齐次线性方程组的基础解系。
非齐次线性方程组解的通解具有形式(c1,c2为任意常数),不带参数部分是非齐次方程组的一个特解;带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
齐次方程组解的性质、结构
非齐次方程组解的性质
解的系数和为1是非齐次方程的解,为0是齐次方程的解。
线性方程组的解法
齐次线性方程组:
将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵,判断是否有非零解.若有非零解,化成行最简形矩阵,写出其解;
非齐次线性方程组:
将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵,判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,写出其解;
第五章矩阵的相似
第六章二次型
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