完整版第三章321直线的点斜式方程.docx

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完整版第三章321直线的点斜式方程

3．2.1　直线的点斜式方程

学习目标

　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．

知识点一　直线的点斜式方程

思考1　如图，直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k，设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？

答案　由斜率公式得k＝

，

则x，y应满足y－y0＝k（x－x0）．

思考2　经过点P0（x0，y0）的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？

答案　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.

点斜式

已知条件

点P（x0，y0）和斜率k

图示

方程形式

y－y0＝k（x－x0）

适用条件

斜率存在

知识点二　直线的斜截式方程

思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），得到的直线l的方程是什么？

答案　将k及点（0，b）代入直线方程的点斜式得：

y＝kx＋b.

思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？

b可不可以为负数和零？

答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．

思考3　对于直线l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2.

①l1∥l2⇔________________，

②l1⊥l2⇔________________.

答案　①k1＝k2且b1≠b2　②k1k2＝－1

斜截式

已知条件

斜率k和直线y轴上的截距b

图示

方程式

y＝kx＋b

适用条件

斜率存在

类型一　直线的点斜式方程

例1　

（1）经过点（－3,1）且平行于y轴的直线方程是________．

（2）直线y＝2x＋1绕着其上一点P（1,3）逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是________．

（3）一直线l1过点A（－1，－2），其倾斜角等于直线l2：

y＝

x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．

答案　

（1）x＝－3

（2）y－3＝－

（x－1）

（3）y＋2＝

（x＋1）

解析　

（1）∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，

∴直线方程为x＝－3.

（2）由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－

.

由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－

（x－1）．

（3）∵直线l2的方程为y＝

x，

设其倾斜角为α，则tanα＝

得α＝30°，

那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，

则l1的点斜式方程为

y＋2＝tan60°（x＋1），即y＋2＝

（x＋1）．

跟踪训练1　写出下列直线的点斜式方程：

（1）经过点A（2,5），斜率是4；

（2）经过点B（2,3），倾斜角是45°；

（3）经过点C（－1，－1），与x轴平行．

解　

（1）y－5＝4（x－2）；

（2）∵直线的斜率k＝tan45°＝1，

∴直线方程为y－3＝x－2；

（3）y＝－1.

类型二　直线的斜截式方程

例2　

（1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________．

答案　y＝

x＋3或y＝

x－3

解析　∵直线的倾斜角是60°，

∴其斜率k＝tan60°＝

，

∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，

∴直线在y轴上的截距是3或－3，

∴所求直线方程是y＝

x＋3或y＝

x－3.

（2）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

解　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.

反思与感悟　

（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行（或重合）的直线．

（2）截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横（纵）坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．

跟踪训练2　

（1）已知直线l的斜率为

，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；

（2）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．

解　

（1）设直线方程为y＝

x＋b，则x＝0时，y＝b；

y＝0时，x＝－6b.由已知可得

·|b|·|－6b|＝3，

即6|b|2＝6，∴b＝±1.

故所求直线方程为y＝

x＋1或y＝

x－1.

（2）∵l1⊥l，直线l1：

y＝－2x＋3，∴l的斜率为

，

∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，

直线l2：

y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，

∴直线l的方程为y＝

x＋2.

类型三　平行与垂直的应用

例3　

（1）当a为何值时，直线l1：

y＝－x＋2a与直线l2：

y＝（a2－2）x＋2平行？

（2）当a为何值时，直线l1：

y＝（2a－1）x＋3与直线l2：

y＝4x－3垂直？

解　

（1）由题意可知，

∵l1∥l2，∴

解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1：

y＝－x＋2a与直线l2：

y＝（a2－2）x＋2平行．

（2）由题意可知，

∵l1⊥l2，∴4（2a－1）＝－1，解得a＝

.

故当a＝

时，直线l1：

y＝（2a－1）x＋3与直线l2：

y＝4x－3垂直．

反思与感悟　设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2，那么：

（1）l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；

（2）k1＝k2，且b1＝b2⇔两条直线重合；（3）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

跟踪训练3　已知在△ABC中，A（0,0），B（3,1），C（1,3）．

（1）求AB边上的高所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程；

（3）求过A与BC平行的直线方程．

解　

（1）直线AB的斜率k1＝

＝

，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3（x－1）．

（2）直线BC的斜率k2＝

＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.

（3）由

（2）知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其方程为y＝－x.

1．方程y＝k（x－2）表示（　　）

A．通过点（－2,0）的所有直线

B．通过点（2,0）的所有直线

C．通过点（2,0）且不垂直于x轴的所有直线

D．通过点（2,0）且除去x轴的所有直线

答案　C

解析　易验证直线通过点（2,0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．

2．倾斜角是30°，且过（2,1）点的直线方程是____________．

答案　y－1＝

（x－2）

解析　∵斜率为tan30°＝

，

∴直线的方程为y－1＝

（x－2）．

3．

（1）已知直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则

a＝________；

（2）若直线l1∶y＝－

x－

与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.

答案　

（1）－1　

（2）－

解析　

（1）由题意可知a（a＋2）＝－1，解得a＝－1.

（2）由题意可知

解得a＝－

.

4．

（1）求经过点（1,1），且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；

（2）求经过点（－2，－2），且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．

解　

（1）∵与直线y＝2x＋7平行，

∴该直线斜率为2，

由点斜式方程可得

y－1＝2（x－1），即y＝2x－1

∴所求直线的方程为y＝2x－1.

（2）∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，

∴该直线的斜率为－

，由点斜式方程得：

y＋2＝－

（x＋2），

即y＝－

x－

.

故所求的直线方程为y＝－

x－

.

1．求直线的点斜式方程的方法步骤

2．直线的斜截式方程的求解策略

（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．

（2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

3．判断两条直线位置关系的方法

直线l1：

y＝k1x＋b1，直线l2：

y＝k2x＋b2.

（1）若k1≠k2，则两直线相交．

（2）若k1＝k2，则两直线平行或重合，

当b1≠b2时，两直线平行；

当b1＝b2时，两直线重合．

（3）特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．

（4）对于斜率不存在的情况，应单独考虑．

一、选择题

1．过点（4，－2），倾斜角为150°的直线方程的点斜式为（　　）

A．y－2＝－

（x＋4）

B．y－（－2）＝－

（x－4）

C．y－（－2）＝

（x－4）

D．y－2＝

（x＋4）

答案　B

解析　由题意知k＝tan150°＝－

，所以直线的点斜式方程为y－（－2）＝－

（x－4）．

2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　）

A．直线经过点（－1,2），斜率为－1

B．直线经过点（2，－1），斜率为－1

C．直线经过点（－1，－2），斜率为－1

D．直线经过点（－2，－1），斜率为1

答案　C

解析　∵方程变形为y＋2＝－（x＋1），

∴直线过点（－1，－2），斜率为－1.

3．已知直线l1：

y＝x＋

a，l2：

y＝（a2－3）x＋1，若l1∥l2，则a的值为（　　）

A．4B．2

C．－2D．±2

答案　C

解析　因为l1∥l2，所以a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，

又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则

a≠1，

即a≠2，故a＝－2.

4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（　　）

答案　C

解析　①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，只有C成立．

5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有（　　）

A．k>0，b>0B．k>0，b<0

C．k<0，b>0D．k<0，b<0

答案　B

解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.

6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点（　　）

A．（1,3）B．（－1，－3）

C．（3,1）D．（－3，－1）

答案　C

解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k（x－3），

由直线的点斜式可得直线恒过定点（3,1）．

二、填空题

7．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为______________．

答案　y＝－

x＋

解析　直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y＝－

x，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y＝－

（x－1），即y＝－

x＋

.

8．直线y＝ax－3a＋2（a∈R）必过定点________．

答案　（3,2）

解析　∵y＝a（x－3）＋2，即y－2＝a（x－3），

∴直线过定点（3,2）．

9．已知直线y＝（3－2k）x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．

答案　k≥

解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则

得k≥

.

10．与直线l：

y＝

x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________________．

答案　y＝

x－3

解析　根据题意知直线l的斜率k＝

，

故直线l1的斜率k1＝

，设直线l1的方程为y＝

x＋b1，

则令y＝0得它在x轴上的截距a1＝－

b1.

∵a1＋b1＝－

b1＋b1＝－

b1＝1，∴b1＝－3.

∴直线l1的方程为y＝

x－3.

11．斜率为

，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．

答案　y＝

x±3

解析　设所求直线方程为y＝

x＋b，

令y＝0得x＝－

，

由题意得：

|b|＋

＋

＝12，

|b|＋

|b|＋

|b|＝12，

4|b|＝12，∴b＝±3，

∴所求直线方程为y＝

x±3.

三、解答题

12．已知三角形的顶点坐标是A（－5,0），B（3，－3），C（0,2），试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．

解　直线AB的斜率kAB＝

＝－

，过点A（－5,0），

∴直线AB的点斜式方程为y＝－

（x＋5），

即所求的斜截式方程为y＝－

x－

.

同理，直线BC的方程为y－2＝－

x，即y＝－

x＋2.

直线AC的方程为y－2＝

x，即y＝

x＋2.

∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－

x－

，y＝－

x＋2，y＝

x＋2.

13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．

解　由题意知，直线l的斜率为

，故设直线l的方程为y＝

x＋b，l在x轴上的截距为－

b，在y轴上的截距为b，所以－

b－b＝1，b＝－

，所以直线l的方程为y＝

x－

.