习题集含详解高中数学题库高考专点专练之154圆的方程.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之154圆的方程

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之154圆的方程

一、选择题（共40小题；共200分）

1.圆心为且过原点的圆的方程是

A.B.

C.D.

2.以原点为圆心，且截直线所得弦长为的圆的方程是

A.B.C.D.

3.圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程为

A.B.

C.D.

4.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点

A.必在圆内B.必在圆上

C.必在圆外D.以上三种情形都有可能

5.若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角

A.B.C.D.

6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是

A.B.

C.D.

7.设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是

A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不能确定

8.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

A.B.C.D.

9.已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为

A.B.C.D.

10.已知圆心是并且与轴相切，则该圆的方程是

A.B.

C.D.

11.圆心在轴上且通过点的圆与轴相切，则该圆的方程是

A.B.C.D.

12.若圆的圆心到直线的距离为，则的值为

A.B.C.D.

13.已知圆经过点，两点，并且圆心在直线上．则圆的方程为

A.B.

C.D.

14.已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为

A.B.C.D.

15.已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为

A.B.C.D.

16.圆关于直线对称的圆的方程是

A.B.

C.D.

17.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的外接圆方程是

A.B.

C.D.

18.设集合，则中元素的个数为

A.B.C.D.

19.过三点，，的圆交轴于，两点，则

A.B.C.D.

20.过点、且圆心在直线上的圆的方程是

A.B.

C.D.

21.若点在圆的内部，则的取值范围是

A.B.C.D.

22.若动点，分别在直线和上移动，点在圆上移动，则中点到点距离的最小值为

A.B.C.D.

23.已知圆：

，圆：

．点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是

A.B.C.D.

24.已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是

A.B.C.D.

25.已知双曲线两个焦点分别为，，过点的直线与该双曲线的右支交于，两点，且是等边三角形，则以点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为

A.B.

C.D.

26.圆心为的圆与直线交于，两点，为坐标原点，且满足，则圆的方程为

A.B.

C.D.

27.若圆与两坐标轴无公共点，那么实数的取值范围是

A.B.C.D.

28.圆的点到直线的距离的最大值是

A.B.C.D.

29.圆关于直线对称的圆的方程为

A.B.

C.D.

30.已知两点，，点是圆上任意一点，则点到直线距离的最小值是

A.B.C.D.

31.方程表示一个圆，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.或

32.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为

A.B.C.D.

33.设实数满足，那么的最大值是

A.B.C.D.

34.已知平面上点，其中，当，变化时，则满足条件的点在平面上所组成图形的面积是

A.B.C.D.

35.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为

A.B.C.D.

36.已知圆：

，圆：

，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为

A.B.C.D.

37.动圆的圆心的轨迹方程是

A.B.

C.D.

38.三角形的顶点为，，，该三角形的内切圆方程为

A.B.

C.D.

39.以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为

A.B.C.D.

40.方程的实根共有

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（共40小题；共200分）

41.圆的圆心坐标是 ．

42.若半径为的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．

43.已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为 

44.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为 ．

45.若关于，的方程所表示的曲线是椭圆，则方程所表示的圆的圆心在第 象限．

46.已知直线与圆，则上各点到距离的最小值为 ．

47.已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为 .

48.已知圆经过，两点，圆心在轴上，则的方程为 ．

49.两圆和的位置关系是 ．

50.给出下列命题：

①函数既有极大值又有极小值，则或；

②若，则的单调递减区间为；

③过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为或；

④双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为．

其中为真命题的序号是 ．

51.圆关于直线对称的圆的方程是，则实数的值是 ．

52.已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．

53.已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为 ．

54.过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 ．

55.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为 ．

56.已知向量，，，实数、满足，则的最大值为 ．

57.已知圆的圆心在直线上，且圆与两条直线和都相切，则圆的标准方程是 ．

58.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .

59.若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为 ．

60.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为 ．

61.已知圆的圆心为，且经过直线上的点，则周长最小的圆的方程是 ．

62.点在圆上，则的值为 ．

63.若实数，满足，则的最大值是 ．

64.已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是 ．

65.在圆内，过点的最长的弦为，最短的弦为，则四边形的面积为 ．

66.圆上的动点到直线距离的最小值为 ．

67.已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ．

68.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为 ．

69.过点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．

70.若曲线与直线有一个交点，则实数的取值范围是 ．

71.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．

72.已知、均为实数，为正数，点在圆上，其中，则的取值范围是 ．

73.如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若，则的值为 

74.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是 ．

75.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于 ．

76.已知圆和点，若定点和常数满足：

对圆上任意一点，都有，则

（1） ；

（2） ．

77.若不等式的解集为区间，且，则 ．

78.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动，则当圆滚动到圆心位于时，向量的坐标为 ．

79.若圆与抛物线有两个公共点，则的取值范围是 ．

80.若对于给定的正实数，函数的图象上总存在点，使得以为圆心、为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为，则的取值范围是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.已知不同的两点，，求证：

以为直径的圆的方程为．

82.求与轴相切，圆心在直线上，且截直线所得弦长为的圆的方程．

83.已知圆经过点，，且它的圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）求圆关于直线对称的圆的方程．

（3）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程．

84.

（1）已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，，求圆的标准方程；

（2）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．

85.已知圆经过点，圆心在直线上，且与直线相切，求圆的方程．

86.已知方程．

（1）若此方程表示圆，求的取值范围；

（2）若1中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点），求；

（3）在2的条件下，求以为直径的圆的方程．

87.在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴相交于，两点，圆内的动点使，，成等比数列，求的取值范围．

88.已知点及圆．

（1）若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程；

（2）设过的直线与圆交于，两点，当时，求以为直径的圆的方程；

（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦?

若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

89.已知曲线，

（1）求证：

不论取何实数，曲线恒过一定点；

（2）求证：

当时，曲线是一个圆，且圆心在一条定直线上；

（3）若曲线与轴相切，求的值．

90.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．

91.矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

（1）求边所在直线的方程；

（2）求矩形外接圆的方程．

92.已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．

93.已知关于的二次方程．

（1）当为何值时，方程表示圆?

（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大?

求出半径最大时圆的方程．

94.在气象台正西方向千米处有一台风中心，它以每小时千米的速度向东北方向移动，距台风中心千米以内的地方都要受其影响．问：

从现在起，大约多长时间后，气象台所在地将遭受台风影响?

持续多长时间?

95.已知椭圆：

的一个顶点为，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于，两点，试问：

在椭圆上是否存在定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过定点?

若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

96.已知常数，向量．经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：

是否存在两个定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

97.已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于两点，且，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）求直线的斜率；

（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．

98.已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．

（1）当经过圆心时，求直线的方程；

（2）当弦被点平分时，写出直线的方程；

（3）当直线的倾斜角为时，求弦的长．

99.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别为线段，上的动点，且满足．

（1）若，求直线的方程；

（2）证明：

的外接圆恒过定点（异于原点）．

100.已知以点（）为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点，，其中为原点．

（1）求证：

的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点、，若，求圆的方程．

（3）、是

（2）中所求圆内相互垂直的两条弦，垂足为，求四边形面积的最大值．

答案

第一部分

1.D2.D3.B【解析】由题意设圆心，

则，半径，

所以圆的方程为．

4.A5.A

【解析】方程表示的圆的半径，当时，有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线的斜率为，从而倾斜角为．

6.A7.B【解析】将圆的一般方程化成标准方程为，因为，

所以，即，所以原点在圆外．

8.D9.B【解析】点在圆内，故最长弦为直径，最短弦为以该点为中点的弦，且与过该点的直径互相垂直，故四边形的面积．又圆的标准方程为，故，又最短弦的弦心距为，故，．

10.B

【解析】．

11.B【解析】设圆心为，半径为，则，

所以圆的方程为，

因为点在圆上，所以解得，

所以圆的方程为．

12.C【解析】把圆化为标准方程为．

故此圆的圆心为，圆心到直线的距离为，则

所以

13.C【解析】线段的中点坐标为，利用斜率的计算公式可得直线的斜率为，故的垂直平分线的方程为，即．因为圆经过点A和点B，故圆心必在的垂直平分线上，又圆心在直线上，故圆心为直线与直线的交点．解方程组，解方程组，得，所以圆心的坐标为，圆的半径为，则圆的方程为．

14.B15.D

【解析】提示：

直线过圆心．

16.B【解析】对称后，圆的半径不变，只需将已知圆圆心关于的对称点作为所求圆圆心即可．

因为圆心关于的对称点为所求圆的圆心．

所以所求圆的方程为．

17.D【解析】原点为，因为，所以，，，四点共圆，外接圆圆心为中点．

18.C【解析】表示以为圆心，以为半径的圆及其内部，则在第一象限中集合中的元素有共有个元素，所以在四个象限中共有元素个，在坐标轴上的元素有个，则集合中元素的个数有个．

19.C【解析】可得圆的方程为，令，得，设两个根为，，则，，所以．

20.C

【解析】提示：

圆心也在的垂直平分线上．

21.A【解析】因为点在圆的内部，所以，解得．

22.A【解析】设与，平行，且在，中间的直线为，可得，到点的距离就是到直线的距离，而圆心为，半径为，则到直线的距离为，所以的最小值为．

23.B【解析】圆：

的圆心，半径为，

圆：

的圆心，半径是．

要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，

故最大值是，

关于轴的对称点，

故的最大值为．

24.A【解析】圆的标准方程为，圆心为，．

依题意可得，解出，所以的最小值为．

25.A

【解析】因为为等边三角形，且，所以，，所以，，，因为以为圆心，与双曲线的渐近线相切，又到渐近线的距离为，所以圆的方程为

26.C【解析】设圆的方程为，，，联立直线与圆的方程得，则有，，因为，所以，解得．所以圆的方程为．

27.B【解析】把圆转化为标准方程有，因为圆与两坐标轴无交点，则有，解得．

28.C【解析】提示：

圆心到直线的距离加上半径即为所求的最大值．

29.A【解析】圆心关于直线对称的点的坐标为，所以圆关于直线对称的圆的方程为．

30.A

【解析】直线的方程为，圆的方程，圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上的点到直线的距离最小值为．

31.D【解析】根据圆的方程的一般形式，，，．．方程表示一个圆，则，得：

，或．

32.D【解析】方法一：

如图所示，

由得．

根据对称性得四边形的面积为，

所以．

故双曲线的方程为．

方法二：

设．

所以，．

由点在双曲线的渐近线上，得

四边形的面积为

由得，

所以，

所以．

故双曲线的方程为．

33.D【解析】提示：

表示圆上一个动点到原点连线的斜率，当圆与直线相切时，到达最大或者最小值．

34.C【解析】点在以原点为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，但是分析知，恰好不经过以原点为圆心，为半径的圆内的点，所以点组成的图形面积是以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积，即．

35.A

【解析】如图，圆圆心的轨迹是以原点为焦点，以为准线的抛物线，当圆心运动到图示位置时，圆的面积最小．

36.A【解析】作圆关于轴的对称圆，连接，，与轴交于点，与圆交于点，与圆交于点，连接与圆交于点．如图所示，

则可知此时最小．此时．

37.A【解析】设动圆的圆心坐标为，则有所以圆心在直线上运动．又因为是圆的方程，故需满足，解得，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为．

38.D【解析】由题意可得是等腰三角形，内切圆的圆心在直线上，设内切圆的圆心为，由三点位置知圆的半径为，且．又直线的方程为：

，则圆心到直线的距离为，解得（舍）或，所以的内切圆的方程为．

39.A【解析】圆的标准方程为，

圆心为，半径为，如图，其内部满足条件的点有，共个．

则所能构成的三角形的个数为．

40.A

【解析】设，变形得，所以的图象是以为圆心，为半径的上半圆；

设变形得，的图象可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到．如图所示，

两曲线仅一个交点，即原方程只有个实根．

第二部分

41.

【解析】圆，即，故该圆的圆心为．

42.

43.

【解析】设，其中，则，解得，从而，故圆的方程为．

44.

45.三

46.

47.

48.

49.相交

【解析】因为圆的标准方程为，

所以圆的圆心是，半径．

又因为圆的圆心是，半径．

所以，

因为，，

所以，可得两圆相交．

50.①②④

【解析】①正确，令，因为既有极大值又有极小值，所以，解出或；

②正确，令，解出的单调递减区间为；

③错误；由题意可说明点在圆外，点和圆心之间的距离大于半径，求出；

④正确，，当且仅当时，取最小值为．

51.

52.

【解析】因为曲线是以原点为圆心、为半径的半圆（不包括轴右侧的部分），所以．

因为，所以为的中点，从而有

53.

【解析】设圆的圆心的坐标为，直线的斜率为，的中点在直线上，即．联立上面两个方程可解出，．

设圆的方程为，则到的距离为，因此，于是圆的方程为．

54.

55.

【解析】抛物线的焦点为，则圆心坐标为．圆心到直线的距离为，又弦长为，则圆的半径为．故圆的方程为．

56.

【解析】由已知得，，即，因此，所以表示圆上的点与点的距离，则，的最大值为．

57.

58.

【解析】方法一：

设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为，由题意可知解得

所以圆的标准方程为，

方法二：

圆心坐标为，如图.

因为，两点的纵坐标都是，即与轴平行，利用圆的性质.过圆心的直径垂直平分弦，可知圆心所在的直线与轴垂直，圆心在直线上，即，再利用直线与切线垂直可知，得.

半径，

所以圆的标准方程为.

59.

【解析】提示：

圆心与切点的连线与过该切点的切线垂直．

60.

【解析】设圆心，圆的方程为，把代入得，

所以．

所以圆的方程为．

61.

【解析】圆与直线相切的时候，圆的半径最小，即周长最小．此时圆的半径为，故周长最小的圆的方