2.(2019·四川省攀枝花市教学质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()
A.3件都是正品B.3件都是次品
C.至少有1件次品D.至少有1件正品
解析:
选D.从10件正品,2件次品,从中任意抽取3件,
A:
3件都是正品是随机事件,
B:
3件都是次品不可能事件,
C:
至少有1件次品是随机事件,
D:
因为只有2件次品,所以从中任意抽取3件必然会抽到正品,即至少有1件是正品是必然事件.故选D.
3.(2019·广西钦州市期末考试)抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是()
A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品
解析:
选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个.故选D.
4.写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果(包括平局)________;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数________.
解析:
(1)对于甲队来说,有胜、平、负三种结果;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,其次品的个数可能为0,1,2,3,4,不可能再有其他结果.
答案:
(1)Ω={胜,平,负}
(2)Ω={0,1,2,3,4}
【第二课时】
【教学目标】
1.了解基本事件的特点
2.理解古典概型的定义
3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题
【教学重难点】
1.基本事件
2.古典概型的定义
3.古典概型的概率公式
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容,思考以下问题:
1.古典概型的定义是什么?
2.古典概型有哪些特征?
3.古典概型的计算公式是什么?
二、基础知识
1.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:
样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:
每个样本点发生的可能性相等.
名师点拨
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:
有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但非等可能.
②样本点个数无限,但等可能.
③样本点个数无限,也不等可能.
2.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
P(A)=
=
.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
三、合作探究
样本点的列举
例1:
一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个样本点?
(2)“2个都是白球”包含几个样本点?
【解】
(1)法一:
采用列举法.
分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,则样本点如下:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号,2号球).
法二:
采用列表法.
设5个球的编号分别为a,b,c,d,e,其中a,b,c为白球,d,e为黑球.列表如下:
a
b
c
d
e
a
(a,b)
(a,c)
(a,d)
(a,e)
b
(b,a)
(b,c)
(b,d)
(b,e)
c
(c,a)
(c,b)
(c,d)
(c,e)
d
(d,a)
(d,b)
(d,c)
(d,e)
e
(e,a)
(e,b)
(e,c)
(e,d)
由于每次取2个球,每次所取2个球不相同,而摸到(b,a)与(a,b)是相同的事件,故共有10个样本点.
(2)法一中“2个都是白球”包括(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点,法二中“2个都是白球”包括(a,b),(b,c),(a,c),共3个样本点.
[规律方法]
样本点的三种列举方法
(1)直接列举法:
把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法:
将样本点用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数,以及要求的事件所包含的样本点数.列表法适用于较简单的试验的题目,样本点较多的试验不适合用列表法.
(3)树状图法:
树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
古典概型的概率计算
例2:
(1)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()
A.
B.
C.
D.
(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.
【解析】
(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有10种不同取法:
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,故所求概率P=
=
.
(2)记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10种情况,其中恰好选中2名女生有ab,ac,bc,共3种情况,故所求概率为
.
【答案】
(1)C
(2)
[规律方法]
求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型.
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A中包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率,即P(A)=
.
在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.
数学建模——古典概型的实际应用
例3:
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
【解】
(1)由已知,甲,乙,丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21种.
(ii)由
(1)设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5种.所以事件M发生的概率P(M)=
.
[规律方法]
如何建立概率模型(古典概型)
(1)在建立概率模型(古典概型)时,把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验,可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型.
(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性,即①样本点的有限性;②每个样本点发生的可能性相等.
(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
【课堂检测】
1.下列是古典概型的是()
①从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小.
②同时掷两颗骰子,点数和为7的概率.
③近三天中有一天降雨的概率.
④10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
A.①②③④B.①②④
C.②③④D.①③④
解析:
选B.①②④为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:
有限性和等可能性,而③不适合等可能性,故不为古典概型.
2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同),则两人参加同一个学习小组的概率为()
A.
B.
C.
D.
解析:
选A.甲乙两人参加学习小组,若以(A,B)表示甲参加学习小组A,乙参加学习小组B,则一共有如下情形:
(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共有9种情形,其中两人参加同一个学习小组共有3种情形,根据古典概型概率公式,得P=
.
3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为()
A.
B.
C.
D.
解析:
选C.从五个人中选取三人有10种不同结果:
(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为
.
4.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
解析:
可重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为
=
.
答案:
5.一只口袋装有形状大小都相同的6只小球,其中2只白球,2只红球,2只黄球,从中随机摸出2只球,试求:
(1)2只球都是红球的概率;
(2)2只球同色的概率;
(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍?
解:
记两只白球分别为a1,a2;两只红球分别为b1,b2;两只黄球分别为c1,c2.
从中随机取2只球的所有结果为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)共15种结果.
(1)2只球都是红球为(b1,b2)共1种,
故2只球都是红球的概率P=
.
(2)2只球同色的有:
(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2),共3种,
故2只球同色的概率P=
=
.
(3)恰有一只是白球的有:
(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),共8种,其概率P=
;
2只球都是白球的有:
(a1,a2),1种,故概率P=
,
所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍.
【第三课时】
【教学目标】
1.理解并识记概率的性质
2.会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
【教学重难点】
1.概率的性质
2.概率性质的应用
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容,思考以下问题:
1.概率的性质有哪些?
2.如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?
3.如果事件A与事件B为对立事件,则P(A)与P(B)有什么关系?
二、基础知识
概率的性质
性质1:
对任意的事件A,都有P(A)≥0;
性质2:
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0;
性质3:
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);
性质4:
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);
性质5:
如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为∅⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:
设A,B是一个随机试验中的两个事件,有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
三、合作探究
互斥事件与对立事件概率公式的应用
例1:
一名射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率.
【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,可知它们彼此之间互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.
(1)P(射中10环或9环)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件,则P(至少射中7环)=1-P(E)=1-0.13=0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
[变问法]在本例条件下,求射中环数小于8环的概率.
解:
事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.
[规律方法]
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).
(2)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.
[注意]有限个彼此互斥事件的和的概率,等于这些事件的概率的和,即P(
Ai)=
P(Ai).
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例2:
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【解】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由图知3支球队共有球员20名.
则P(A)=
,P(B)=
,P(C)=
.
(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.
则D=A+B+C,因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
+
+
=
.
(2)令“