y2=x
。
A1x+B1y+C1z+D1=0?
Ax+B2y+C2z+D2=0的一切平面均可表示为A1x+B1y+C1z+D1+3、通过方程?
2λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0的形式，其中λ为任意的实常数。
（X）
4、顶点在原点，准线为
x2y2?
2?
2=1?
ab?
z=k?
（k≠0为常数）的锥面方程为
x2y2z2?
+=0a2b2k2。
（X
）
x?
x0y?
y0z?
z0==YZ与平面Ax+By+Cz+D=05、AX+BY+CZ=0，若则直线X
平行（
对
）三、证明题（第1、2题各10分，第三题11分，共31分）证明题（、1、试用矢量法证明四面体三组对棱的中点所连线段交于一点，且这点是各线段的中点。
2、用矢量法证明P为?
ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0。
2222223、
（1）已知：
x+y+z=1，a+b+c=1，求证：
ax+by+cz≤1（5分）
（2）一动点到两定点的距离的乘积等于定值m,求此动点的轨迹（6分）计算题（四、计算题（每题10分，共30分）1、求过平面3x?
y+z=1和2x+5y?
z+3=0的交线且与x轴平行的平面方程。
2
x?
1y+1z==1的垂线方程。
?
12、求从点M（2,?
3,?
1）引向直线l：
?
2
x2=yxyz?
x+z=0饶着直线1=2=1旋转生成的曲面方程。
3、求曲线?
解析几何》期末考试试卷（数学系2005级《解析几何》期末考试试卷（A）评分标准
一、填空题（填空题（每题3分，共24分）
X1X2X1Y1Z1==Z2；X31、X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0；X2Y2、
2、24
Y1Y2Y3
Z1Z2=0Z3
x2+4（y?
2）2=4?
z=23、?
?
（x?
5）2+（y?
2）2+（z+1）2=9?
x=±44、?
=0且22B2C2D1+D2≠05、2222226、y=x+z；z=x+y；锥面。
y=v?
x=u?
?
7、两；?
vx=z；?
uy=z。
B1
C1
8、单叶双曲面。
二、判断题（每题3分，共15分）判断题（判断题1、√；2、×；3、×；4、×；5、√。
证明题（三、证明题（第1、2题各10分，第三题11分，共31分）、1、证明：
如图，设四面体ABCD的一组对边AB，CD之中点分别为E、F，点，其余二组对边中点连线的中点分别为
P
1为
EF之中，
P
2
，3，取不共面
P
AB=e1P
1是
，
AC=e2AD=e3
连接AF，因为A
AEF的中线，所以有
1（AE+AF）2（2分）又因为AF是?
ACD的中线，所以又有11AF=（AC+AD）=（e2+e3）22（3分）11AE=AB=22e1（4分）而AP1=
从而得同理可得
i
1?
11?
1?
2e1+2（e2+e3）?
=4（e1+e2+e3）AP2?
?
1=1（e1+e2+e3）4
（6分）
AP=
所以
（i=2,3）
（8分）
AP=AP=AP
12
3
从而知三点
P
1，
P
2
，
P
3重合，命题得证。
（10分）
22、充分性：
若PA+PB+PC=0，只须证P为某一中线的3处点。
由PA+PB+PC=0，得
AP=
2AD3————5分
2所以P为中线的3分点处，故P为重心。
————6分
必要性：
若P为?
ABC之重心，则
AP=
2211AD?
（AB+AC）（b?
c）3=32=3
11（c?
a）（a?
b）同理，PB=3，PC=3————8分
于是PA+PB+PC=0————10分3、
（1）证：
令
m={a,b,c}，n={x,y,z}，那么由已知条件得
m=m2=1，n=n2=1，
22
———2分
于是有
m?
n=m?
n?
cos∠（m,n）=cos∠（m,n）≤1————4分
把m，n的坐标代入上式得
ax+by+cz≤1
————5分
1
（2）解：
设动点为M（x,y），两定点P,P2，且
PP2=2a，以P,P2所在直线为x轴，11
P,P2的中垂线为y轴建立直角坐标系，则P,P2坐标分别为（?
a,0）,（a,0），依题意知11
PMP2M=m21
22
————3分
222
即（x+a）+y?
（x?
a）+y=m————5分化简得
（x2+y2）2?
2a2（x2?
y2）=m4?
a4————6分
四、计算题（计算题（每题10分，共30分）1、解：
设所求平面方程为：
、
l（3x?
y+z?
1）+m（2x+5y?
z+3）=0
即
（3分）（4分）
（3l+2m）x+（?
l+5m）y+（l?
m）z+（?
l+3m）=0
依题又知所求平面平行于x轴（5分）所以解之得于是所求平面方程为：
3l+2m=0（6分）l∶m=?
2∶3（8分）
17y?
5z+11=0
（10分）
2、解：
因所求直线过点m（2,?
3,?
1），所以可设它的方程为又由于此直线垂直于已知直线l，故
x?
2y+3z+1==XYZ（2分）
2X?
Y+Z=0
（1）（3分）又所求直线与已知直线l相交，因此它们一定共面，即这两直线的方向矢量与矢量MM0={,?
2,?
1}共面，其中M0为直线上的定点（1，-1，0）1，所以有
XYZ
（2）（9分）（8分）
2?
11=01?
2?
1
联立
（1）
（2）解之得X∶Y∶Z=、于是所求垂线方程为：
-4∶13∶5
x?
2y+3z+1==?
4135
（10分）
3、解：
设（x0,y0,z0）是母线x=y,x+z=0上任一点，则过该点的纬圆方程为：
2
x2+y2+z2=x20+y20+z20?
?
（x?
x0）+2（y?
y0）+（z?
z0）=0
又
（5分）
x02=y0?
?
x0+z0=0
（6分）
从以上四式消去x0,y0,z0的所求曲面方程为：
3x2+3z2?
4xy?
2xz?
4yz?
4x?
8y?
4z=0
（10分）
2006—2006—2007学年上学期期末考试卷A卷课程《解析几何》课程《解析几何》
班级题号得分评卷人
→→→
考试时间：
考试时间：
120分钟
学号
姓名一二三
四
总分
：
设a,b,c是两两不共线矢量，试问下列等式是否一、判断题（10分）判断题成立？
成立的在括号中用“√”表示，不成立的用“×”表示。
1、a×a=a,
→2
→→
→2
（
）
a=a
→→2
→2
2、3、（a?
b）
（
→2→2
）
=ab
（
）
4、a（a?
b）=a5、（a×b）?
c
→→→
→→→
→2→
b，
→→→
（
）
=a?
（b×c）。
（
）
：
二、填空题（32分）填空题1、点P（x,y,z）关于坐标面xoy的对称点的坐标为,关于z轴的对称点的坐标
为
，矢量OP在y轴上的射影为
→
。
。
→→2、OA=a,若
→→OB=b,
→→→OC=c,G是三角形ABC的重心，OG=则
→
→
→→→
3、两矢量a与b共线的充要条件是
，三矢量a,b,c共面的充要条件是
。
x=rcosθcos?
?
?
y=rcosθsin?
?
z=rsinθ,4、若曲面的参数方程为?
π?
?
π?
?
≤θ≤?
2?
?
2?
π≤?
<π?
，则它的普遍方程?
。
为，它表示的图形是。
5、球面的中心在点（1，-2）而且球面通过原点，3，，则该球面的方程为
x2y+=19的图形是6、在空间直角坐标系下,方程4
2；x+3=2z的图形是
2
；yz=1的图形是
2227、方程x+y=z表示的图形是
。
。
直线x?
z=0,和
y=0绕x轴和z轴旋转所得的旋转曲面方程分别为
。
x2y2+2=2z2b8、曲面a关于
面、
面与
轴对称。
三、计算题计算题（第1题8分，其余小题各10分，共38分）：
计算题
x=nz+a?
1、试写出直线?
y=mz+b和平面Ax+By+Cz+D=0相交、平行与重合的充要条件。
2、设一直线通过点M0（1，3，5）且与z轴相交，又与平面3x+2y+z+1=0平行，求这直线方程。
x?
2y+3z+1?
2x?
y+z?
3=0==?
?
5?
1且与直线?
x+2y?
z?
5=0平行的平面方程。
3、求通过直线1
x=y2+z2?
4、设柱面的准线为?
x=2z，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
四、证明题与综合题（20分）证明题与综合题
1、用矢量法证明三角形的正弦定理。
2、在空间，求到两定点距离之比等于常数m的点的轨迹。
2006—2006—2007学年上学期期末考试卷A卷课程《解析几何》课程《解析几何》
：
1、×。
一、判断题（10分）判断题填空题（32分）：
二、填空题1、（x,2、√。
3、×。
评分标准
4、×。
5、√。
y,?
z），
（?
x,
y,z），
y。
1?
→→→?
?
a+b+c?
?
。
2、3?
?
→→→?
?
a,b,c?
=0?
3、a×b=o，?
。
→→→
22224、x+y+z=r，
22
球心在原点，半径为r的球面。
2
5、（x?
1）+（y?
3）+（z+2）=14。
6、母线平行于z轴的椭圆柱面；母线平行于y轴的抛物柱面；母线平行于x轴的双曲柱面。
7、顶点在原点的圆锥面。
x2=y2+z2和z2=x2+y2。
8、yoz面、xoz面与z轴对称。
三、计算题计算题（第1题8分，其余小题各10分，共38分）：
计算题1、解因为方程组解的情况决定直线和平面的位置关系。
x=nz+a?
将直线?
y=mz+b代入平面Ax+By+Cz+D=0得
（An+Bm+C）z+Aa+Bb+D=0，
所以直线和平面相交的充要条件为An+Bm+C≠0；直线和平面平行的充要条件为An+Bm+C=0,直线和平面重合的充要条件为An+Bm+C=0,
5分
Aa+Bb+D≠0；Aa+Bb+D=0。
8分
2、设一直线通过点M0（1，3，5）且与z轴相交，又与平面3x+2y+z+1=0平行，求这
直线方程。
解
x?
1y?
3z?
5==XYZ，法1：
设所求直线方程为
（1）
2分
1?
3=Y，因为它与z轴相交，所以交点（0,0,z1）满足
（1）得XX1=3，即Y
又直线与平面3x+2y+z+1=0平行，所以3X
（2）6分
+2Y+Z=0，
（3）
8分
Z=?
3
（2）代入（3）得Y，所以X:
Y:
Z=1:
3:
（?
9），x?
1y?
3z?
5==3?
9。
所以所求直线方程为1
10分
法2：
所求直线看成过z轴与点M0（1，3，5）的平面与过点M0与已知平面平行的平面的交
3x?
y=0,?
?
线，即?
3x+2y+z?
14=0.
x?
2y+3z+1?
2x?
y+z?
3=0==?
?
5?
1且与直线?
x+2y?
z?
5=0平行的平面方程。
3、求通过直线1
→
解已知直线的方向矢分别为v1
→
={1,?
5,?
1}，
4分
v2={2,?
1,1}×{1,2,?
1}={?
1,3,5}。
→→
v1×v2=?
2×{,2,1}，由已知得所求平面的法矢为{,2,1}，8分1111
又平面过点
（2,
3,?
1），
由点法式得所求平面方程为
11x+2y+z?
15=0。
10分
x=y2+z2?
4、设柱面的准线为?
x=2z，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解由已知得，母线的方向为1,0,?
2，
x?
x1y?
y1z?
z1==0?
2。
所以过准线上的点（x1,y1,z1）的母线为1
x1=y12+z12,?
且有?
x1=2z1,
（1）
2分
x?
x1y?
y1z?
z1===t10?
2，再设
由
（1）
（2）得，
（2）
4分
t=
1（x?
2z）5，
6分
得所求柱面的方程为
4x2+25y2+z2+4xz?
20x?
10z=0。
四、证明题与综合题（20分）证明题与综合题1、用矢量法证明三角形的正弦定理。
证在?
ABC中，设BC=a,CA=b,则a+b+c=o，
→→→→
10分
→
→
→
→
AB=c,且
→
→
→
a=a,
→
b=b,
→
c=c,
3分
→→→?
→a×?
a+b+c?
=o?
?
于是有，
→
→
→→→?
→b×?
a+b+c?
=o?
?
，
→→→→→→
由上两式得a×b=b×c=c×a，
→
6分
从而
a×b=b×c=c×a
→
→
→
→
→
，8分
所以absin（π?
C）=bcsin（π?
A）=casin（π?
B），即absinC=bcsinA=casinB，
abc==于是sinAsinBsinC。
10分
2、在空间，求到两定点距离之比等于常数m的点的轨迹。
解取两定点的连线为x轴，两定点连线段的中点为原点，并设两定点间的距离为
2a，常数m>0，建立直角坐标系，
则两定点的坐标为A（a,0,0），B（?
a,0,0）。
→
3分5分
MA
→
=m
，
设M（x,y,z）为轨迹上的任意点，则
MB
即
（x?
a）2+y2+z2（x+a）2+y2+z2
2
=m
。
7分
化简得所求轨迹方程为：
（m
1x2+y2+z2+2am2+1x+a2m2?
1=0。
）（
）
（
）
（
）
10分
2006—学期期末考试卷2006—2007学年上学期期末考试卷B卷课程《解析几何》课程《解析几何》
班级题号得分评卷人
→→→
考试时间：
考试时间：
120分钟
学号三四总分
姓名一二
：
设a,b,c是两两不共线矢量，试问下列等式是否一、判断题（10分）判断题成立？
成立的在括号中用“√”表示，不成立的用“×”表示。
1、a×a=a,
→2
→→
→2
（
）
a=a
→2
2、
（
）
3、（a?
b）
→→
2
=ab
→2→2
（
）
4、a（a?
b）=a
→→→
→→→
→2→
b，
→→→
（
）
5、（a×b）?
c=a?
（b×c）。
：
二、填空题（32分）填空题1、点P（x,y,z）关于坐标面xoz的对称点的坐标为
（
）,关于y轴的对称点的坐标
→
为，矢量OP在x轴上的射影为
22
。
n=
→→
2、在平面上，方程x+4xy+my-3x+ny=0,当m=
→→
时表示两条平行直线。
3、已知矢量a={3，5，-4}，b={2，1，8},
设λa+b与z轴垂直，则λ=
。
（x?
1）2+（y?
2）2=144、在空间直角坐标系下,方程的图形是
；x+1=z的图形是
2
；xy=1的图形是
。
x2+y2+z2=25?
z=?
35、圆?
的圆心
6、齐次方程x-y+2z=0表示的图形是
222
半径等于
。
。
直线y-z=0，x=0绕y轴和z轴旋转所得的旋转曲面方程分别为和。
x2y2?
2=2z2b7、曲面a关于
面、
面与
轴对称。
y2=2z?
8、若准线是yoz面上的抛物线?
x
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