届中考数学《第四部分第五讲第2课时二次函数与四边形》同步练习含答案.docx

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届中考数学《第四部分第五讲第2课时二次函数与四边形》同步练习含答案

第2课时　二次函数与四边形的综合

（45分）

1．（15分）[2017·镇江]如图5－2－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0）．二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D.

图5－2－1

（1）当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于____；

（2）点E是二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合）．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．

【解析】

（1）将B点坐标（4，12）代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；

（2）分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法（配方法）求出OE·EA的最大值；

（3）由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．

解：

（2）∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E（－b，0）．

∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b（b＋4）＝－b2－4b＝－（b＋2）2＋4.

∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；

第1题答图

（3）如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.

∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.

∵D，

∴N，即N.

把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，

得＝＋b·，

解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.

图5－2－2

2．（15分）如图5－2－2，直线y＝kx＋m分别交y轴，x轴于A（0，2），B（4，0）两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）设N（x，y）是

（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：

线段MN的长度是否存在最大值？

若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【解析】

（1）由直线y＝kx＋m分别交y轴、x轴于A（0，2），B（4，0）两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；

（2）假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MN＝－＝－t2＋4t

＝－（t－2）2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；

（3）根据平行四边形的性质即可求得答案．

解：

（1）∵直线y＝kx＋m分别交y轴，x轴于A（0，2），B（4，0）两点，

∴解得

∴直线的表达式为y＝－x＋2，

将A（0，2），B（4，0）分别代入抛物线，得

解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；

（2）存在．

假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，

由题意，得M，N，

∴MN＝－＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4，

∴当t＝2时，MN有最大值4；

第2题答图

（3）由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形．

当D在y轴上时，

设D的坐标为（0，a），

由AD＝MN，得|a－2|＝4，

解得a1＝6，a2＝－2，

∴D（0，6）或D（0，－2）；

当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，

∵直线D1N的表达式为y＝－x＋6，直线D2M的表达式为y＝x－2，

由两方程联立解得D（4，4）．

综上可得，D的坐标为（0，6），（0，－2）或（4，4）．

图5－2－3

3．（15分）如图5－2－3，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.

（1）求点A，M的坐标；

（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？

（3）当BD＝1时，

①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；

②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.

解：

（1）令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A（6，0），∴对称轴是直线x＝3，∴M（3，9）；

（2）∵OE∥CF，OC∥EF，C（2，0），

∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，

∴点F的横坐标为5，

∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，

∴F（5，5），BE＝5.∵＝＝，

∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；

（3）①当BD＝1时，BE＝3，∴F（5，3）．

第3题答图

设MF的表达式为y＝kx＋b，将M（3，9），F（5，3）代入，

得解得

∴y＝－3x＋18.

∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，

∴点A落在直线MF上；

②∵BD＝1，BC＝1，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴△OBE为等腰直角三角形，

∴CD＝，CF＝OE＝3，

∴DP＝，PF＝，

根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，∴EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，

故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE

＝PF∶（DP＋EG）∶（DC＋OE）

＝∶2∶4

＝∶2∶4＝3∶4∶8.

（35分）

4．（15分）[2017·临沂]如图5－2－4，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

图5－2－4

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC＝3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；

（2）过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；

（3）根据题意可知N点在对称轴x＝1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：

①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标．

解：

（1）令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C（0，－3），∴OC＝3，

又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B（－1，0），

把点B（－1，0）和A（2，－3）分别代入y＝ax2＋bx－3，

得解得

∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.

（2）如答图①，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.

∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，

∴Rt△BDO∽Rt△BAE，

∴OD∶OB＝AE：

BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，

∴D点坐标为（0，1）或（0，－1）．

第4题答图①　　　第4题答图②

（3）如答图②，M1（0，－3），M2（－2，5），M3（4，5）．

5．（20分）[2017·邵阳]如图5－2－5所示，顶点为的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M（2，0）．

　图5－2－5　　　备用图

（1）求抛物线的表达式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝（k>0）图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

【解析】

（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为y＝a－，再把点M（2，0）代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；

（2）先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y＝（k>0），考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：

①菱形以AB为边，如答图①，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求．②菱形以AB为对角线，如答图②，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证△DBE是等腰直角三角形，所以设BE＝DE＝x，则DF＝x－2，DB＝x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝x，AF＝x＋1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标（x，x－2）可求，k可求．

解：

（1）依题意可设抛物线为y＝a－，将点M（2，0）代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝－＝x2－x－2；

（2）当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A（－1，0），当x＝0时，y＝－2，∴B（0，－2）．

在Rt△OAB中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.设直线y＝x＋1与y轴的交点为点G，易求G（0，1），∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点C在y＝x＋1上且在x轴下方，而k>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：

第5题答图①

∴①菱形以AB为边且AC也为边，如答图①所示，过点D作DN⊥y轴于点N，

在Rt△BDN中，

∵∠DBN＝∠AGO＝45°，

∴DN＝BN＝，

∴D，点D在y＝（k>0）的图象上，∴k＝－×＝＋.

②菱形以AB为对角线，如答图②所示，作AB的垂直平分线CD交直线y＝x＋1于点C，交y＝的图象于点D．再分别过点D，B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相交于点E.

在Rt△BDE中，同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，∴BE＝DE.设点D的坐标为（x，x－2）．

第5题答图②

∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE＝x.∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.

∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，（x）2＝（x＋1）2＋（x－2）2，解得x＝，

∴点D的坐标为，点D在y＝（k>0）的图象上，

∴k＝.

综上所述，k的值为＋或.

（20分）

图5－2－6

6．（20分）[2017·咸宁]如图5－2－6，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6.

（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）连结BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．

【解析】

（1）利用OB＝OC＝6得到点B（6，0），C（0，－6），将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；

（2）由于F为抛物线上一动点，∠FAB＝∠EDB，可以分两种情况求解：

一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方．每一种情况都可以作FG⊥x轴于点G，构造Rt△AFG与Rt△DBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标．

（