届河南省高考模拟试题精编理科数学.docx
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届河南省高考模拟试题精编理科数学
2019届河南省高考模拟试题精编（三）
理科数学
（考试用时：
120分钟 试卷满分：
150分）
注意事项：
1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数z＝（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（ ）
＋i －i
＋i －i
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或2
3．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．8－B．8－π
C．8－D．8－
4．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？
”意思是：
“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？
”则该匹马第一天走的里数为（ ）
5．已知点x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期，C期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有（ ）
A．140种B．420种C．840种D．1680种
7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（ ）
A．2018B．2019
D．2
8．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为（ ）
－＝1－＝1
－＝1－＝1
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，⊥平面，且＝＝，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
B．－
D．－
10．某医务人员说：
“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：
医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（ ）
A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士
11．如图，在△中，＝2，＝2，与交于点F，过点F作直线，分别交，于点Q，P，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为（ ）
C．2
12．已知x＝－1是函数f（x）＝（2＋＋c）的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是（ ）
A．a＝0B．b＝0C．c≠0D．a＝c
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪（单位：
元）进行调查，共调查了3000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图（如图），则所期望的月薪在[2500,3500）内的大学生有名．
14．化简：
＝.
15．已知抛物线C：
x2＝4y的焦点为F，直线与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，则弦中点到抛物线C的准线的距离为．
16．在数列{}中，a1＝2，a2＝8，对所有正整数n均有＋2＋＝＋1，则n＝.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：
共60分．
17．（本小题满分12分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c－a＝2A.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求a＋c的最大值．
18．（本小题满分12分）为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：
分）进行统计，将数据按照[0,20），[20,40），[40,60），[60,80），[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．
（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？
理科意向
文科意向
总计
男
110
女
50
总计
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考临界值：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P的底面是直角梯形，∥，∠＝90°，＝2，⊥平面.
（1）设E为线段的中点，求证：
∥平面；
（2）若＝＝，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中取两个定点A1（－，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且＝2.
（1）求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；
（2）过R（3,0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ（λ＞1），求证：
＝λ.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－m（a，m∈R）在x＝e（e为自然对数的底数）时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.
（1）求实数a的值，以及实数m的取值范围；
（2）证明：
x1＋x2＞2.
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在极坐标系下，圆O：
ρ＝θ＋θ和直线l：
ρ＝（ρ≥0,0≤θ≤2π）．
（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x＋＋2－|＋1的最小值为2.
（1）求a＋b的值；
（2）求证：
a＋3≥3－b.
高考理科数学模拟试题精编（三）
班级：
姓名：
得分：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
请在答题区域内答题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13 14 15 16
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
高考理科数学模拟试题精编（三）
1-56-1011-12
13．答案：
1350
14．答案：
4α
15．答案：
16．答案：
10
17．解：
（1）∵2c－a＝2A，∴根据正弦定理，得2C－A＝2A，∵A＋B＝π－C，（2分）
可得C＝（A＋B）＝A＋A，∴代入上式，
得2A＝2A＋2A－A，化简得（2B－1）A＝0（4分）
由A是三角形的内角可得A＞0，∴2B－1＝0，
解得B＝，∵B∈（0，π），∴B＝；（6分）
（2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2B，得12＝a2＋c2－.（8分）
∴（a＋c）2－3＝12，由≤2，－3≥－3×，（a＋c）2－3≥（a＋c）2－（a＋c）2，
∴12≥（a＋c）2，（当且仅当a＝c＝2时），即（a＋c）2≤48，∴a＋c≤4，（11分）
∴a＋c的最大值为4.（12分）
18．解：
（1）由频率分布直方图可得分数在[60,80）之间的学生人数为0.0125×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.0075×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
理科意向
文科意向
总计
男
80
30
110
女
40
50
90
总计
120
80
200
（4分）
又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．（6分）
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p＝＝.
依题意知ξ～，（8分）
所以P（ξ＝i）＝33－i（i＝0,1,2,3），所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以期望E（ξ）＝＝，方差D（ξ）＝（1－p）＝.（12分）
19．解：
（1）证明：
取的中点G，连接，，则綊，又綊，所以綊，四边形为平行四边形．（4分）
所以∥，又⊄平面，⊂平面，所以∥平面.（6分）
（2）以A为坐标原点，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设＝2，则A（0,0,0），P（0,0,2），D（0,2,0），C（2,2,0），B（2,1,0），＝（0,0,2），＝（2,1,0），＝（0,2，－2），＝（2,0,0）．（8分）
设n＝（x，y，z）是平面的法向量，则，即，令x＝1，得y＝－2，则n＝（1，－2,0）是平面的一个法向量，同理，m＝（0，－1，－1）是平面的一个法向量．（10分）
所以〈m，n〉＝＝＝，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（12分）
20．解：
（1）依题意知，直线A1N1的方程为y＝（x＋），①
直线A2N2的方程为y＝－（x－），②（2分）
设M（x，y）是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－（x2－6），又＝2，整理得＋＝1.
故点M的轨迹C的方程为＋＝1.（4分）
（2）证明：
设过点R的直线l：
x＝＋3，P（x1，y1），Q（x2，y2），则N（x1，－y1），由，消去x，
得（t2＋3）y2＋6＋3＝0，（*）（6分）
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
由＝λ，得（x1－3，y1）＝λ（x2－3，y2），故x1－3＝λ（x2－3），y1＝λy2，（8分）
由
（1）得F（2,0），要证＝λ，即证（2－x1，y1）＝λ（x2－2，y2），只需证2－x1＝λ（x2－2），只需＝－，即证2x1x2－5（x1＋x2）＋12＝0，又x1x2＝（1＋3）（2＋3）＝t2y1y2＋3t（y1＋y2）＋9，x1＋x2＝1＋3＋2＋3＝t（y1＋y2）＋6，所以2t2y1y2＋6t（y1＋y2）＋18－5t（y1＋y2）－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t（y1＋y2）＝0，（10分）
而2t2y1y2＋t（y1＋y2）＝2t2·－t·＝0成立，即＝λ成立．（12分）
21．解：
（1）f′（x）＝＝，由f′（x）＝0⇒x＝＋1，且当0＜x＜＋1时，f′（x）＞0，当x＞＋1时，f′（x）＜0，所以f（x）在x＝＋1时取得极值，所以＋1＝e⇒a＝0.
所以f（x）＝－m（x＞0），f′（x）＝，函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，f（e）＝－m.（3分）
又x→0（x＞0）时，f（x）→－∞；x→＋∞时，f（x）→－m，f（x）有两个零点x1，x2，故，解得0＜m＜.（5分）
（2）证明：
不妨设x1＜x2，由题意知.
则x1x2＝m（x1＋x2），＝m（x2－x1）⇒m＝.
欲证x1＋x2＞2，只需证（x1·x2）＞2，
只需证m（x1＋x2）＞2，即证＞2.（7分）
即证＞2，设t＝＞1，则只需证t＞.
即证t－＞0.（9分）
记u（t）＝t－（t＞1），则u′（t）＝－＝＞0.
所以u（t）在（1，＋∞）上单调递增，所以u（t）＞u
（1）＝0，所以原不等式成立，故x1＋x2＞2，得证．（12分）
22．解：
（1）圆O：
ρ＝θ＋θ，即ρ2＝ρθ＋ρθ，故圆O的直角坐标方程为：
x2＋y2－x－y＝0，（2分）
直线l：
ρ＝，即ρθ－ρθ＝1，则直线的直角坐标方程为：
x－y＋1＝0.（5分）
（2）由
（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为（0,1），（9分）
转化为极坐标为.（10分）
23．解：
（1）因为f（x）＝|2x＋＋|2x－＋1≥|2x＋a－（2x－b）|＋1＝＋＋1，当且仅当（2x＋a）（2x－b）≤0时，等号成立，（2分）
又a＞0，b＞0，所以＋＝a＋b，所以f（x）的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.（5分）
（2）证明：
由
（1）知，a＋b＝1，所以＋＝（a＋b）＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．（7分）
所以3≥39＝2，所以a＋b＋
3≥1＋2＝3，即a＋3≥3－b.（10分）
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