习题集含详解高中数学题库高考专点专练之35指数函数及其性质.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之35指数函数及其性质

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之35指数函数及其性质

一、选择题（共40小题；共200分）

1.已知，，且，则下列不等式中一定成立的是

A.B.C.D.

2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A.B.C.D.

3.已知，，，则

A.B.C.D.

4.设，，，则

A.B.C.D.

5.已知，，，则

A.B.C.D.

6.已知，，，则

A.B.C.D.

7.设，，，则

A.B.C.D.

8.下列各式错误的是．

A.B.

C.D.

9.已知且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是．

A.

B.

C.

D.

10.若函数的图象在第一、三、四象限，则有．

A.B.C.D.

11.设函数若，则的取值范围是

A.B.

C.D.

12.函数的零点个数为

A.B.C.D.

13.已知，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

14.已知函数，则

A.B.C.D.

15.已知函数把函数的零点按照从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为

A.B.

C.D.

16.是上的单调递增函数，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

17.函数在区间内的零点个数是

A.B.C.D.

18.若是方程的解，则属于区间

A.B.C.D.

19.已知全集，，则

A.B.

C.D.

20.已知奇函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

21.已知为定义在上的函数，若对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则

A.B.C.D.

22.下列函数中，在区间上为增函数的是

A.B.

C.D.

23.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

24.设，，，则这三个数的大小关系是

A.B.C.D.

25.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是

A.B.

C.D.

26.函数的零点个数为

A.B.C.D.

27.已知函数，若，则实数的取值范围为

A.B.

C.D.

28.已知条件：

关于的不等式有解；条件：

为减函数，则成立是成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

29.下列四个命题中

，；，；

，；，．

其中真命题是

A.，B.，C.，D.，

30.若，则下列结论正确的是

A.B.

C.D.

31.若是方程的解，则属于区间

A.B.C.D.

32.若函数是偶函数，则下面的结论正确的是

A.

B.

C.

D.与的大小无法确定

33.设，，，则

A.B.C.D.

34.设，，均为正数，且，，．则

A.B.C.D.

35.已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为

A.B.

C.D.

36.设函数，．若实数，满足，，则

A.B.

C.D.

37.若定义在上的函数满足：

对任意的，都有，则称函数为“函数”．给出下列函数：

①；②；③；④其中函数是“函数”的个数是

A.B.C.D.

38.已知集合，，命题；命题．则下列命题中为真命题的是

A.B.C.D.

39.若函数是偶函数，则下面的结论正确的是

A.

B.

C.

D.与的大小无法确定

40.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.函数（且）的图象经过的定点坐标是 ．

42.已知函数，则使的的取值范围是 ．

43.下列四个函数中，在区间上是减函数的有 个．

①；②；③；④．

44.设，则函数的最小值为 ，最大值为 ．

45.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．

46.若函数定义域为，则的取值范围是 ．

47.已知函数则 ，若，则的取值范围为 ．

48.已知，则的增区间为 ．

49.，，，则，，的大小关系是 ．

50.设函数，则 ．

51.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．

52.若集合，，则 ．

53.已知，若，则 ．

54.已知函数（且）恒过定点，则 ．

55.设函数的定义域和值域都是，则 ．

56.已知函数为奇函数，则实数 ．

57.若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围为 ．

58.已知不论为何值，函数的图象恒过定点，这个定点的坐标是 ．

59.当时，指数函数，且恒成立，则实数的取值范围是 ．

60.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ．

61.若函数的反函数的图象经过点，则 ．

62.函数过定点 ．

63.已知函数，．若，则实数 ．

64.已知函数，若，则 ．

65.已知，，，那么，，从小到大的排列顺序为 ．

66.不等式的解集为 ．

67.若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ．

68.计算机成本不断降低，若每隔年计算机价格降低，现在价格为元的计算机，年后的价格为 元．

69.不等式恒成立，则的取值范围是 ．

70.若，则 ．

71.已知函数，若，则 ，并求出 ．

72.若定义在上的函数满足，，且时，，则 ．

73.设函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围为 ．

74.若直角坐标平面内两点，满足条件：

①，都在函数的图象上；②，关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是 ．（填写所有正确选项的序号）

75.已知，，若同时满足条件：

①，或；②时，，则的取值范围是 ．

76.已知，，若对，，，则实数的取值范围是 ．

77.已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是 ．

78.已知函数是定义域为的偶函数．

当时，

若关于的方程有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是 ．

79.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．

80.已知，．若同时满足条件：

①，或；②，则的取值范围是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.解不等式．

82.已知函数是指数函数，求的值．

83.

（1）函数是指数函数，求实数的值．

（2）已知指数函数的图象经过点，求．

84.已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）求函数的值域；

（3）试判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论．

85.已知函数．

（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；

（2）若，求函数的零点；

86.

（1）设，，是上的单调增函数，试判断的单调性；

（2）求函数的单调区间．

87.已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求实数，的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

88.已知函数（）的图象经过点，其中，．

（1）求的值；

（2）求函数，的值域．

89.定义在上函数，且，当时，．

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最大值和最小值．

90.已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）求函数在上的值域．

91.已知函数，且，．

（1）求的值；

（2）判断并证明的奇偶性；

（3）判断并证明函数在上的单调性，并求的值域．

92.关于的方程有负根，求的取值范围．

93.已知函数．

（1）求函数的定义域和值域；

（2）试判断函数的奇偶性．

94.已知函数．

（1）求的定义域；

（2）讨论的奇偶性．

95.已知的值．

96.已知．

（1）判断的奇偶性；

（2）求证：

．

97.已知数列与满足，．

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即，求证：

数列的第项是最大项；

（3）设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且．

98.对于函数，，记集合．

（1）设，，求；

（2）设，，，如果．求实数的取值范围．

99.设函数．

（1）当时，求证：

函数不是奇函数；

（2）设函数是奇函数，求与的值；

（3）在

（2）条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集．

100.若函数的定义域为．当时，求的最值及相应的的值．

答案

第一部分

1.C2.D【解析】对于A，是偶函数，所以A不正确；

对于B，是奇函数，所以B不正确；

对于C，是偶函数，所以C不正确；

对于D，不满足也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．

3.C【解析】，

所以．

，

所以，

所以．

4.C5.C

【解析】由对数函数和指数函数的性质得，，．

6.C【解析】因为，，，所以只需要比较它们的指数即可．

由对数函数的性质知，

从而有．

7.A8.B9.C10.A

11.D【解析】，当时，，，，；

当时，，．

综上知．

12.B【解析】函数，令，在同一坐标系中作出，与，如图，

由图可得零点的个数为.

13.A14.B【解析】，

所以．

15.C

16.B【解析】因为当时，为增函数，所以，

又因为当时，为增函数，所以，

同时当时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值，

所以，综上所述．

17.B【解析】解法一：

因为，，即且函数在内单调递增且连续不断，故在内的零点个数是．

解法二：

设，，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示：

可知B正确．

18.C【解析】令，，

则，，

，

所以由图象关系可得．

19.B【解析】，，所以．

20.C

【解析】因为奇函数在上是增函数，

所以，，，

又，

所以，

即．

21.C【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，，都有，

所以函数是上的减函数，

因为，，，

所以，

所以．

22.A【解析】对于A，函数在上为增函数，符合要求；对于B，函数在上为减函数，不符合要求；对于C，函数在上是减函数，不符合要求；对于D，函数在上为减函数，不符合要求．

23.D【解析】函数有且只有一个零点，

所以，

即：

，

分别画出，与的图象，如图所示：

而的图象恒过点，

当过点时此时，有两个交点，

结合图象可得当或时，函数有且只有一个零点．

24.D【解析】因为，，，

所以．

25.A

26.B27.B【解析】当时，，；

当时，，．

综上所述，或．

28.B29.D【解析】对于，恒大于，故错误．对于，恒大于，故正确．对于，恒大于，故错误．对于，，故正确．

30.C

【解析】由已知得，

所以，

所以，

又

31.B【解析】当时，；

当时，，

所以．

32.A【解析】因为是偶函数，

所以，即，

即，即，

则，

因为且，

所以且，

而，即，

若，则在上为增函数，此时，则，

若，则在上为减函数，此时，则，

综上．

33.D34.A【解析】正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标；正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标；正数是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标．由下图可以得到．

35.B

【解析】当时，方程有无数多解，不合题意．

当时，若，则．

因为时，，解得，

所以若方程有且只有一个实数解，必须时，方程无解，

即在时无解，所以或，解得或．

36.C37.B【解析】由整理得，

，由单调性定义，可知“函数”为单调递增函数.所以对于①，在上不恒大于，所以不是"函数".对于②，恒成立.所以是"函数".对于③，由图象可知为"函数".对于④，由图象可知不是"函数"．

38.C【解析】，所以命题为真命题；

，

令，，

所以在，上为增函数，在上为减函数．

又，，

所以当时，，即命题为假命题．

所以为真命题．

39.A【解析】因为是偶函数，所以，即，即，即，则．

因为且，所以且，而，即．

若，则在上为增函数，此时，则．

若，则在上为减函数，此时，则．

综上所述．

40.B

【解析】由为偶函数得，在上单调递增．

，，，而，

所以．

第二部分

41.

42.

【解析】因为在上单调递增，所以，解得．

43.

【解析】①③④是增函数，②是减函数．

44.，

【解析】提示：

令，则（），当时；当时．

45.

【解析】由题意可知，因为点在直线上，所以．

所以．

46.

【解析】因为函数定义域为，

所以恒成立，即恒成立，

则，解得．

47.，

【解析】由题，则；

当时，，即，所以．

当时，，即或

解得，

综上，不等式的解集为．

48.

【解析】的解满足；即方程的解满足；所以；

令，设，则为减函数；解得，或；

所以函数在上的减区间即是函数的单调增区间；所以的增区间为．

49.

50.

【解析】因为，

所以，

所以，即．

51.

【解析】在上恒成立，故．

52.

【解析】由题意知，，

所以．

53.

54.

【解析】依题意知，当，即时，，故定点为，所以，，故．

55.

【解析】因为的值域为，

所以，

又函数在上是单调增函数，

因此有解得

因此．

56.

【解析】由为奇函数得，

所以．

57.

【解析】因为，的图象不经过第二象限，

所以．

58.

【解析】，令，得，，所以这个定点的坐标为．

59.

【解析】因为时，恒成立，所以，所以．

60.

【解析】原不等式即为，

则有，

即对一切实数恒成立．

当时，满足题意；

当时，，

解得．

综上，实数的取值范围是．

61.

【解析】若函数的反函数的图象经过点，则函数的图象经过点，即，解得．

62.

63.

【解析】由题意知，，所以，．

64.

【解析】由，得，两边平方得，即，故．

65.

【解析】因为，，所以．

66.

【解析】原不等式等价为，又函数为增函数，所以，即，所以．

67.

【解析】函数在上为减函数，

则，解得或．

68.

【解析】年后的价格为元．

69.

【解析】由题意，考察，是一个减函数，

因为恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以，即，即，

故有，即的取值范围是．

70.

【解析】倒序相加计算，且，

所以．

71.，

【解析】因为，，

所以

所以．

72.

【解析】由，得，

因为，

所以

73.

【解析】当时，；

当时，．

从而当时，函数的值域为．

由，得，则，

所以．

从而当时，函数的值域为．

因为存在，使，所以．

若，则或，解得或．

所以当时，．

综上，实数的取值范围为．

74.

【解析】对于①，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有一个；

对于②，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有两个；

对于③，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”只有两个；

对于④，画出此函数的图象，再画出当时的图象关于原点对称的图象（图中红色的图象）与原函数当时的图象交点的个数，交点的个数就是“伙伴点组”的个数，

由图可得“伙伴点组”有个．

75.

【解析】①因为对于，当时，；当时，．

又，或，所以在时恒成立．

所以令，所以．

②因为当时，恒成立，

所以存在，使得成立．

所以或

解出．

综上所述，．

76.

【解析】时，，时，，即，要使，，，只需，即，故．

77.

78.

【解析】

若关于的方程方程有且只有个不同实数根，则关于的方程必有个实根，且满足

（i）当时，则，再由，得，解得．

（ii）当时，则，再由，得，解得．

综上，实数的取值范围是．

79.

【解析】由，解得，又，且，所以．

由题意，对于任意的，都有，因此有，

所以解得．

又存在唯一的常数使得方程成立，由此可知，解得．

80.

【解析】满足题意的大致图象如下：

对于①，当时，．因为，或，

所以在时恒成立．

由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与轴的交点都在的左侧，

于是解得．

又因为，而此时恒成立，

所以在时有成立的可能，

从而只要比中的较小的根大即可．

（1）当时，不成立；

（2）当时，有两个等根，不成立；

（3）当时，，即成立．

综上，可得①②成立时，则有．

第三部分

81.

即

即

解得

故不等式的解集为．

82.根据指数函数的定义可知，解得或．

因为指数函数中要求，且，故应舍去，即．

83.

（1）因为函数是指数函数，

所以

所以

所以，即的值为．

（2）设，

因为过点，

所以．

又因为，

所以，

所以．

所以．

84.

（1）由题意可得：

，

因为是奇函数，所以，

即，

所以，即，

即．

（2），，所以，所以．

      （3）函数在上是增函数，

设，为区间内的任意两个值，且，

则，，

因为，

即，

所以是上的增函数．

85.

（1）因为是偶函数，所以，

则，

所以，所以．

（2）令，则，即

令，则，解得．

即，所以．

86.

（1）设，则．

又由的增减性得，即，

所以为上的增函数．

（2）令，则在区间上为增函数．

根据

（1）可知在上为增函数．

同理可得函数在上为单调减函数．

即函数的增区间为，减区间为．

87.

（1）因为是定义域为的奇函数，

所以，

解得．

所以．

又，

即，

解得．

（2）由（）知，

易知是在上的单调减函数．

因为，

所以，

所以，即，

因为，

所以．

所以实数的取值范围是．

88.

（1）把代入，

得．

（2）由（）得，

因为，

所以，

当时，，

当时，，

所以函数的值域为．

89.

（1），则函数是奇函数，则，

当时，，则，

所以

所以