平面直角坐标系.docx

平面直角坐标系.docx

《平面直角坐标系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面直角坐标系.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平面直角坐标系

年级

初一

学科

数学

内容标题

节平面直角坐标系

编稿老师

巩建兵

一、学习目标：

1.会用有序数对表示位置．

2.掌握平面直角坐标系的有关概念，了解点的坐标的含义和各象限点的坐标的特征．

3.通过建立平面直角坐标系，进一步熟悉数形结合的思想．

二、重点、难点：

重点：

平面直角坐标系的概念和点的坐标的含义．

难点：

根据数形结合思想解决点的坐标的问题．

三、考点分析：

平面直角坐标系的内容在中考中属于必考知识点，是重点考查内容．常见的题型是与函数相结合，主要考查点与坐标的一一对应关系，选择题、填空题、应用题中均有所体现，难度为中、低档．

1.有序数对

我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．利用有序数对可以很准确地表示出一个位置．

2.平面直角坐标系

（1）平面直角坐标系的结构

平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右的方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．

坐标平面被两条坐标轴分成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任一象限．

（2）坐标平面内点的坐标的特点

第一象限x＞0，y＞0；第二象限x＜0，y＞0；第三象限x＜0，y＜0；第四象限x＞0，y＜0．

坐标轴上的点的坐标的特点：

x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点的坐标是（0，0）．

知识点一：

有序数对

例1.填空题：

在电影票上，将“7排6号”简记作（7，6）．

（1）6排7号可表示为__________；

（2）（8，6）表示的意义是__________．

思路分析：

题意分析：

本例考查如何用有序数对表示位置．

解题思路：

将“7排6号”表示为（7，6），对比看出前数表示排号，后数表示位号，用小括号括起来，中间用“，”隔开．

解答过程：

（1）（6，7）；

（2）8排6号．

解题后的思考：

用两个独立的数据表示平面内的位置时一定要先约定这两个数的顺序，不然会产生混乱．

例2.下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方潜艇来说：

（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？

要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？

（2）距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有哪几艘？

（图中圆的半径为1cm）

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？

思路分析：

题意分析：

本题中表示位置的方法不同于例1，用方位角和距离这两个数据来表示位置．

解题思路：

敌方战舰A、B、C和我方战舰1号、2号及小岛的位置都是以我方潜艇为参照的，应确定它们相对于我方潜艇的方位，再确定距离，用方位角和距离这两个数组成的数对表示．

解答过程：

（1）如图所示，对我方潜艇来说，北偏东40°的方向上有两个目标：

敌舰B和小岛．要想确定敌舰B的位置，仅用北偏东40°的方向是不够的，还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离．

（2）距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有两艘：

敌舰A和敌舰C．

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：

方位角和距离．如，对我方潜艇来说，敌舰A在正南方向，图上距离为1cm处；敌艇B在北偏东40°，图上距离为1.4cm处；敌舰C在正东方向，图上距离为1cm处．

解题后的思考：

这个事例说明，不管你用什么方法来表示平面上的点的位置，必须要有两个独立的数据，一个数据不能表示平面上的位置．

小结：

确定平面内的点的位置的方法很多，不管用哪种方法，一个数据都不能确定平面上的点的位置，要确定平面上的位置至少需要两个独立的数据．用两个独立的数据来表示平面上的点的位置时，为了避免混乱情况产生，必须约定这两个数据的顺序．

知识点二：

平面直角坐标系

例3.在平面直角坐标系中描出下列各点：

A（3，2）、B（－2，3）、C（5，0）、D（0，－3）．

思路分析：

题意分析：

本题考查点的坐标的意义．

解题思路：

已知坐标确定点的位置，首先建立直角坐标系，再描出各点．

解答过程：

根据点的坐标的意义，描出A、B、C、D．

解题后的思考：

描点的方法是：

分别在x轴和y轴上找到表示横坐标和纵坐标两个数值的点，然后分别过两个点作x轴和y轴的垂线，两垂线的交点就是所求点的位置．

例4.指出下列各点所在象限或坐标轴：

A（－3，0）、B（－2，－2）、C（0，0）、D（0，3）．

思路分析：

题意分析：

本题考查象限符号特征与坐标轴上点的特征．

解题思路：

根据各象限点的坐标的特征来确定A、B、C、D各点所在的象限或坐标轴．

解答过程：

因为点A的纵坐标为0，所以点A在x轴上；

因为点B的横、纵坐标都小于0，所以点B在第三象限；

因为横、纵坐标都为0时，规定为原点，所以C为原点；

因为点D的横坐标为0，所以点D在y轴上．

解题后的思考：

点的坐标由点的横坐标和纵坐标确定，横坐标和纵坐标的符号决定点所在的象限，横、纵坐标为0决定点在y轴或x轴上．

例5.已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

思路分析：

题意分析：

本题考查象限与坐标符号的关系，由点所在象限可判断点的坐标符号，由点的坐标符号也可判断点所在象限．

解题思路：

因为点A（m，n）在第四象限，所以m＞0，n＜0；由于点B的坐标为（n，m），n＜0，m＞0，故点B在第二象限．

解答过程：

B．

解题后的思考：

记住坐标平面内点的符号的特征是解答本题的关键．

例6.已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．

思路分析：

题意分析：

本题是已知点的坐标特征求点的坐标．

解题思路：

因为P（x，y）到x轴和y轴的距离分别是︱y︱、︱x︱，故可列带绝对值的方程求解．

解答过程：

设P的坐标为（x，y），依题意得

︱y︱＝2，︱x︱＝5，所以x＝±5，y＝±2．

所以P点的坐标是（5，2）或（5，－2）或（－5，2）或（－5，－2）．

解题后的思考：

①和数轴一样，︱x︱表示数轴上表示数x的点到原点的距离，平面直角坐标系中距离和绝对值的概念也是紧密联系在一起的．②写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．③满足条件的点有4个，不能漏掉任一个．

例7.如图所示，是在显微镜下观察到微粒P从P1依次运动到P2、P3的运动路线，那么：

（1）P1、P2、P3的位置如何表示？

（2）如果继续运动到P4、P5、P6，它们的位置分别是P4（8，6），P5（－9，1），P6（3，－3），请在图上画出P4、P5、P6的位置，并画出运动路线．

思路分析：

题意分析：

本题考查点的坐标的意义和根据坐标确定点的位置．

解题思路：

由P1、P2、P3的位置求坐标，只需从它们分别向x轴、y轴作垂线，看它们在x轴、y轴点的格数即可；由P4、P5、P6的坐标确定它们的位置，分别在x轴和y轴上找到表示横坐标和纵坐标两个数值的点，过这两点作x轴和y轴的垂线，两垂线的交点就是所求点的位置．

解答过程：

（1）P1（2，4），P2（7，2），P3（－3，－5）．

（2）如图所示：

解题后的思考：

由位置求坐标和由坐标确定位置正好相反，一定不要混淆了．

例8.如图所示，写出图中多边形ABCDEFG的各点的坐标，并回答下列问题：

（1）图中哪几个点在x轴上？

它们的坐标分别是什么？

观察一下，在x轴上的点的坐标有什么特点？

（2）图中哪个点在y轴上？

它的坐标是什么？

观察一下，在y轴上的点的坐标又有什么特点？

（3）线段BC和GF都与x轴平行，观察一下，这两条线段的两个端点的坐标有什么特点？

一般地，你能得到什么结论？

（4）线段DE与y轴平行，观察一下，这条线段的两个端点的坐标有什么特点？

思路分析：

题意分析：

本题主要考查坐标轴上点的坐标特征和与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征．

解题思路：

分别写出A、B、C、D、E、F、G的坐标，从横坐标特点和纵坐标特点两方面考虑．

解答过程：

如图所示，多边形各顶点的坐标分别为：

A（－3，0），B（－2，3），C（2，3），D（4，2），E（4，0），F（3，－1），G（0，－1）．

（1）图中点A和点E在x轴上，它的坐标分别为（－3，0），（4，0），它们的纵坐标都是0，一般地，在x轴上的点的纵坐标是0．

（2）图中点G在y轴上，它的坐标为（0，－1），一般地，在y轴上的点的横坐标是0．

（3）线段BC的端点坐标分别为（－2，3）、（2，3），其特点是纵坐标相等；同样地，线段GF的端点坐标分别为：

（0，－1）和（3，－1），它们的纵坐标也相等．一般地，与x轴平行的线段上的点的纵坐标相同．

（4）线段DE的端点坐标分别为（4，2）、（4，0）它们的横坐标相同，一般地，与y轴平行的线段上的点的横坐标相同．

解题后的思考：

注意观察和比较分析．

小结：

在坐标平面内的每一个点，都有唯一的有序数对与它对应；反过来，任意一个有序数对，都有平面内唯一一个点与它对应．

熟记一些特殊点的坐标，对今后研究函数的图像大有帮助：

①x轴上的点的坐标特征是纵坐标等于零；

②y轴上的点的坐标特征是横坐标等于零；

③与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同；

④与y轴平行的直线上的点的横坐标相同；

⑤一、三象限的角平分线上的点的横坐标等于纵坐标；

⑥二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.在平面直角坐标系中，点P（－2，3）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（－40，－30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）

A.点AB.点BC.点CD.点D

3.如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进，A的位置为三列四行，表示为（3，4），那么B的位置是（）

A.（4，5）B.（5，4）C.（4，2）D.（4，3）

4.如图所示，横坐标是正数，纵坐标是负数的点是（）

A.A点B.B点C.C点D.D点

5.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）

A.（－4，3）B.（－3，－4）C.（－3，4）D.（3，－4）

*6.如果点A（a，b）在第四象限，那么点（－a，－b）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

*7.若（a－3）2＋︱b＋2︱＝0，则点M（a，b）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

**8.已知点A（－3，2），B（3，2），则A、B两点相距（）

A.3个单位长度B.4个单位长度C.5个单位长度D.6个单位长度

二、填空题

9.在奥运游泳馆“水魔方”一侧的座位席上，5排2号记为（5，2），则3排5号记为__________．

10.P（3，－4）到x轴的距离是__________．

11.已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为__________．

12.平面直角坐标系中，如果一条线段的两个端点的横坐标相同，则该线段平行于__________轴，垂直于__________轴．

*13.点P（m＋3，m＋1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为__________．

**14.如图所示，如果点A的位置为（－1，0），那么点B的位置为__________，点C的位置为__________，点D和点E的位置分别为__________、__________．

三、解答题

15.如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标．

16.在如图所示的国际象棋盘中，双方四只马的位置分别是A（b，3）、B（d，5）、C（f，7）、D（h，2），请在图中描出它们的位置．

*17.在平面直角坐标系中，A是y轴上的点，若它的坐标为（a－1，a＋1），另一点B的坐标为（a＋3，a－5），求点B的坐标．

**18.在直角坐标系中描出点A（－2，0）、B（4，0）、C（3，5），并求出三角形ABC的面积．

四、拓广探索

**19.

（1）所有横坐标相同的点的连线平行于__________，所有纵坐标相同的点的连线平行于__________．

（2）过点P（－2，3）且平行于x轴的直线上点的坐标特征是__________．过点P且平行于y轴的直线上点的坐标特征是__________．

（3）如果直线l平行于x轴，且到x轴的距离是5，那么直线l与y轴的交点坐标是__________．

（4）线段AB的长为3且平行于y轴，已知点B的坐标为（2，－5），求A点的坐标．

一、选择题

1.B2.B3.A4.B5.C

6.B解析：

因为点A在第四象限，所以a＞0，b＜0，所以－a＜0，－b＞0，所以点（－a，－b）在第二象限．

7.D解析：

根据题意可得a＝3，b＝－2，所以点M的坐标是（3，－2），这个点在第四象限．

8.D解析：

因为点A和点B的纵坐标相同，所以直线AB与x轴平行，并且点A在y轴左侧，点B在y轴右侧．所以A、B两点的距离是︱－3︱＋︱3︱＝6．

二、填空题

9.（3，5）10.411.（－3，2）12.y，x

13.（2，0）解析：

因为点P在x轴上，所以m＋1＝0，即m＝－1，所以m＋3＝2，所以点P的坐标是（2，0）

14.（－2，3），（0，2），（2，1），（－2，1）解析：

根据点A的坐标确定坐标系的原点和坐标轴的位置．

三、解答题

15.解：

火车站（0，0），医院（－2，－2），文化宫（－3，1），体育场（－4，3），宾馆（2，2），市场（4，3），超市（2，－3）．

16.解：

如图所示：

17.解：

由点A是y轴上的点且它的横坐标是a－1，所以a－1＝0，解得a＝1．所以a＋3＝4，a－5＝－4，所以点B的坐标是（4，－4）．

18.解：

描出A、B、C三点如图所示，三角形ABC的面积是

×[4－（－2）]×5＝15．

四、拓广探索

19.解：

（1）y轴x轴

（2）y＝3，x＝－2（3）与x轴平行且到x轴的距离是5的直线有两条，一条与y轴正半轴相交，交点为（0，5）；另一条与y轴负半轴相交，交点为（0，－5）（4）直线AB与y轴平行，点A到点B的距离为3，这样的点A有两个，一个在B点的上方，坐标为（2，－2），另一个在B点的下方，坐标为（2，－8）．