普通高等学校招生全国统一考试数学理全国乙卷1卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学理全国乙卷1卷
2016全国卷（Ⅰ）理
一、选择题（共12小题；共60分）
1.设集合，，则
A.B.C.D.
2.设，其中，是实数，则
A.B.C.D.
3.已知等差数列前项的和为，，则
A.B.C.D.
4.某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是
A.B.C.D.
5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是
A.B.C.D.
6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A.B.C.D.
7.函数在的图象大致为
A.
B.
C.
D.
8.若，，则
A.B.C.D.
9.执行下面的程序图，如果输入的，，，则输出，的值满足
A.B.C.D.
10.以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的标准线于、两点．已知，，则的焦点到准线的距离为
A.B.C.D.
11.平面过正方体的顶点，，，，则，所成角的正弦值为
A.B.C.D.
12.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A.B.C.D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13.设向量，，且，则 ．
14.的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）
15.设等比数列满足，，则的最大值为 ．
16.某高科技企业生产产品和产品，需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时，生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为 元．
三、解答题（共8小题；共104分）
17.的内角，，的对边分别别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
18.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
（1）证明平面；
（2）求二面角的余弦值．
19.某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个?
20.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
21.已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：
．
22.如图，是等腰三角形，，以为圆心，为半径作圆．
（1）证明：
直线与相切；
（2）点，在上，且，，，四点共圆，证明：
．
23.在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：
．
（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．
24.已知函数．
（1）在图中画出的图象；
（2）求不等式的解集．
答案
第一部分
1.D【解析】，，故．
2.B【解析】由可知：
，故解得：
所以，．
3.C【解析】由等差数列性质可知：
，故，而，因此公差，所以，．
4.B【解析】如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟，根据几何概型，所求概率．
5.A
【解析】表示双曲线，则．
所以，．
由双曲线性质知：
，其中是半焦距，
所以，焦距，解得，
所以，．
6.A【解析】原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的后形成的几何体，其表面积是的球面面积和三个扇形面积之和．
7.D【解析】，排除A；，排除B；时，，，当时，，因此在单调递减，排除C．
8.C【解析】对A：
由于，所以，函数在上单调递增，因此，A错误；
对B：
由于，所以，函数在上单调递减，所以，，B错误；
对C：
要比较和，只需比较和，只需比较和，只需比较和．
构造函数，则，在上单调递增，因此．
又由得，所以，，C正确；
对D：
要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故．
又由得，所以，，D错误，故选C．
9.C【解析】如下表：
输出，，满足．故选C．
10.B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理．
设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：
设，，
点在抛物线上，所以，；
点在圆上，所以；
点在圆上，所以，；
联立解得：
，焦点到准线的距离为．
11.A【解析】如图所示：
因为，，
所以，若设，则，
又，结合，
所以，，故．
同理可得：
．
故、所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对角线），因此，即．故选A．
12.B【解析】由题意知：
则，其中．
因为在单调，
所以，，．
接下来用排除法，若，，此时，在递增，在递减，不满足在单调．
若，，此时，满足在单调递减，故选B．
第二部分
13.
【解析】由，可得．
向量，，
可得，解得．
14.
【解析】的展开式中，通项公式为．
令，解得．
所以，的系数．
15.
16.
第三部分
17.
（1）由题可知，
由正弦定理得：
，
所以．
因为，，
所以，
所以，，
因为，
所以．
（2）由余弦定理得：
，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，．
所以周长为．
18.
（1）因为，为正方形，
所以，．
因为，，
所以，．
因为，，
所以，，
又．
所以，．
（2）由
（1）知，．
因为，，，
所以，，．
因为，，
所以，，
所以，．
所以，四边形为等腰梯形．
以为原点，如图建立坐标系，设，，，，，
，，．
设面法向量为．
即
，，，．
设面法向量为，
即
，，，．
设二面角的大小为．
，
二面角的余弦值为．
19.
（1）每台机器更换的易损零件数为，，，．
记事件为第一台机器年内换掉个零件，记事件为第二台机器年内换掉个零件．
由题知，
．
设台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为，，，，，，．
，
，
，
，
，
，
，
（2）要令，
因为，，则的最小值为．
（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用．
当时，费用的期望为，
当时，费用的期望为，
所以应选用．
20.
（1）圆整理为，坐标，如图，
因为，则，由，则，
所以，则，
所以．
所以的轨迹为一个椭圆，方程为．
（2）；设，
因为，设，联立与椭圆，
得；
则；
圆心到距离，
所以，
所以．
21.
（1）由已知得：
，
①若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
又，，取满足且，则
故存在两个零点．
③设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．
又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，．
因此在单调递减，在单调递增．
又当时，，所以不存在两个零点．
综上的取值范围为．
（2）不妨设，由
（1）知，，，，在单调递减，
所以等价于，即．
由于，而，
所以．
设，则．
所以当时，，而，故当时．
从而，故．
22.
（1）设圆的半径为，作于，
因为，，
所以，，．
所以与相切．
（2）方法一：
假设与不平行，
与交于，
．
因为，，，四点共圆，
所以．
因为，
所以，
由可知矛盾，
所以．
方法二：
因为，，，四点共圆，不妨设圆心为．
因为，，所以，在的中垂线上，同理，，
所以为的中垂线，所以．
23.
（1）（为参数）
所以．
所以为以为圆心，为半径的圆．方程为．
因为，，
所以，即为的极坐标方程．
（2），
两边同乘得．
因为，，
所以，即．
：
化为普通方程为，
由题意：
和的公共方程所在直线即为，
得：
，即为．
所以，
所以．
24.
（1）如图所示：
（2）
．
当，，解得或，
所以．
当，，解得或．
所以或．
当，，解得或，
所以或．
综上，或或．
所以，解集为．
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