普通高等学校招生全国统一考试数学理全国乙卷1卷.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试数学理全国乙卷1卷2016全国卷（）理 一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合 ，则 A. B. C. D. 2. 设 ，其中 ， 是实数，则 A. B. C. D. 3. 已知等差数列 前 项的和为 ，则 A. B. C. D. 4. 某公司的班车在 ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 分钟的概率是 A. B. C. D. 5. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若

2、该几何体的体积是 ，则它的表面积是 A. B. C. D. 7. 函数 在 的图象大致为 A. B. C. D. 8. 若 ，则 A. B. C. D. 9. 执行下面的程序图，如果输入的 ，则输出 ， 的值满足 A. B. C. D. 10. 以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 、 两点，交 的标准线于 、 两点已知 ，则 的焦点到准线的距离为 A. B. C. D. 11. 平面 过正方体 的顶点 ，则 ， 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 12. 已知函数 ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（共4小题；共20分）13

3、. 设向量 ，且 ，则 14. 的展开式中， 的系数是 （用数字填写答案） 15. 设等比数列满足 ，则 的最大值为 16. 某高科技企业生产产品 和产品 ，需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 需要甲材料 ，乙材料 ，用 个工时；生产一件产品 需要甲材料 ，乙材料 ，用 个工时，生产一件产品 的利润为 元，生产一件产品 的利润为 元该企业现有甲材料 ，乙材料 ，则在不超过 个工时的条件下，生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元 三、解答题（共8小题；共104分）17. 的内角 ， 的对边分别别为 ，已知 （1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长 18. 如图，在以 ， 为顶点的五面

4、体中，面 为正方形，且二面角 与二面角 都是 （1）证明平面 ；（2）求二面角 的余弦值 19. 某公司计划购买 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 台机器更换的易损零件数的频率代替 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 表示 台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买 台机器的同时购买的易损零件数（1）求 的分布列；（2）若要求 ，确定 的最小值；（3

5、）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用哪个? 20. 设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 ， 两点，过 作 的平行线交 于点 （1）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；（2）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ， 两点，求四边形 面积的取值范围 21. 已知函数 有两个零点（1）求 的取值范围；（2）设 ， 是 的两个零点，证明： 22. 如图， 是等腰三角形，以 为圆心， 为半径作圆 （1）证明：直线 与 相切；（2）点 ， 在 上，且 ， 四点共圆，证明： 23. 在直线坐标系 中，曲线 的参数

6、方程为 （ 为参数，）在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：（1）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求 24. 已知函数 （1）在图中画出 的图象； （2）求不等式 的解集答案第一部分1. D 【解析】，故 2. B 【解析】由 可知：，故 解得： 所以，3. C 【解析】由等差数列性质可知：，故 ，而 ，因此公差 ，所以，4. B 【解析】如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段 中，而当他的到达时间落在线段 或 时，才能保证他等车的时间不超过 分钟，根据几何概型，所求

7、概率 5. A 【解析】 表示双曲线，则 所以，由双曲线性质知：，其中 是半焦距，所以，焦距 ，解得 ，所以，6. A 【解析】原立体图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 后形成的几何体，其表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 7. D 【解析】，排除A；，排除B； 时，当 时，因此 在 单调递减，排除C8. C 【解析】对 A：由于 ，所以，函数 在 上单调递增，因此 ，A 错误；对 B：由于 ，所以，函数 在 上单调递减，所以，B 错误；对 C：要比较 和 ，只需比较 和 ，只需比较 和 ，只需 比较 和 构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，因此 又由 得 ，所以，C 正确；对 D：要比

8、较 和 ，只需比较 和 而函数 在 上单调递增，故 又由 得 ，所以，D 错误，故选 C9. C 【解析】如下表： 输出 ，满足 故选 C10. B 【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 ，设圆的方程为 ，题目条件翻译如图： 设 ，点 在抛物线 上，所以，；点 在圆 上，所以 ；点 在圆 上，所以，；联立 解得：，焦点到准线的距离为 11. A 【解析】如图所示： 因为，所以，若设 ，则 ，又 ，结合 ，所以，故 同理可得：故 、 所成角的大小与 、 所成角的大小相等，即 的大小而 （均为面对角线），因此 ，即 故选 A12. B 【解析】由题意知： 则 ，其中 因为

9、在 单调，所以，接下来用排除法，若 ，此时 ， 在 递增，在 递减，不满足 在 单调若 ，此时 ，满足 在 单调递减，故选 B第二部分13. 【解析】由 ，可得 向量 ，可得 ，解得 14. 【解析】 的展开式中，通项公式为 令 ，解得 所以， 的系数 15. 16. 第三部分17. （1） 由题可知 ，由正弦定理得：，所以 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 （2） 由余弦定理得：，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 周长为 18. （1） 因为， 为正方形， 所以， 因为， 所以，因为，所以，又 所以，（2） 由（1）知，因为 ，所以，因为，所以，所以，所以，四边形 为等腰

10、梯形以 为原点，如图建立坐标系，设 ， ，设面 法向量为 即 ，设面 法向量为 ， 即 ，设二面角 的大小为 ， 二面角 的余弦值为 19. （1） 每台机器更换的易损零件数为 ，记事件 为第一台机器 年内换掉 个零件 ，记事件 为第二台机器 年内换掉 个零件 由题知 ， 设 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 ，则 的可能的取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， （2） 要令 ，因为 ，则 的最小值为 （3） 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 时，费用的期望为 ，当 时，费用的期望为 ，所以应选用 20. （1） 圆 整理为

11、 ， 坐标 ，如图， 因为 ，则 ，由 ，则 ，所以 ，则 ，所以 所以 的轨迹为一个椭圆，方程为 （2） ；设 ，因为 ，设 ，联立 与椭圆 ， 得 ；则 ； 圆心 到 距离 ，所以 ，所以 21. （1） 由已知得： ， 若 ，那么 ， 只有唯一的零点 ，不合题意；若 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；又 ，取 满足 且 ，则故 存在两个零点设 ，由 得 或 若 ，则 ，故当 时，因此 在 单调递增又当 时 ，所以 不存在两个零点若 ，则 ，故当 时，；当 时，因此 在 单调递减，在 单调递增又当 时，所以 不存在两个零点综上 的取值范围为 （2） 不妨设 ，由（1）知， 在 单调

12、递减，所以 等价于 ，即 由于 ，而 ，所以 设 ，则 所以当 时，而 ，故当 时 从而 ，故 22. （1） 设圆的半径为 ，作 于 ，因为 ，所以 ，所以 与 相切（2） 方法一：假设 与 不平行， 与 交于 ， 因为 ， 四点共圆，所以 因为 ，所以 ，由 可知矛盾，所以 方法二：因为 ， 四点共圆，不妨设圆心为 因为 ，所以 ， 在 的中垂线上，同理 ，所以 为 的中垂线，所以 23. （1） （ 为参数）所以 所以 为以 为圆心， 为半径的圆方程为 因为 ，所以 ，即为 的极坐标方程（2） ，两边同乘 得 因为 ，所以 ，即 ：化为普通方程为 ，由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ， 得：，即为 所以 ，所以 24. （1） 如图所示：（2） 当 ，解得 或 ，所以 当 ，解得 或 所以 或 当 ，解得 或 ，所以 或 综上， 或 或 所以 ，解集为