2
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm
可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
5-1（
2
5-1≈0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm；将
2
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至
肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5-1可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头
2
顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm，与答案175cm更为接近，故选B.
5.函数f（x）=
sinx+x
cosx+x2
在[-,]的图像大致为（）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
∵f（-x）=sin（-x）-x=-sinx+x=-f（x），
cos（-x）+（-x）2cosx+x2
∴f（x）为奇函数，排除A.
sin+
又f（）=22=4+2>0，排除C，
2⎛⎫22
cos+ç⎪
⎝⎭
f（）=sin+
cos+（）2
=
1+2
>0，排除B，故选D.
6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）.
A.8号学生
B.200号学生
C.616号学生
D.815号学生答案：
C
解答：
从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为
10n+6（0≤n≤99,n∈N），可得出616号学生被抽到.
7.tan255︒=（）
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
答案：
D
解析：
因为tan255︒=tan（180︒+75︒）=tan75︒=tan（45︒+30︒）=
化简可得tan255︒=2+
tan45︒+tan30︒1-tan45︒⋅tan30︒
8.已知非零向量a，满足|a|=，且（a-
⊥，则a与的夹角为（）
b2|b|
p
A.
6
b）bb
p
B.
3
2
C.
3
5
D.
6
答案：
B
解答：
|a|=
，且（a-
⊥，∴（a-
⋅=0，有a⋅-
2=0，设a与的夹角为，
则有|a|⋅
-2=0，即
2-
2=0，2
-1）=0，
≠0，∴cos=1，=，故a与的夹角为，选B.
|b|
23b3
1
9.右图是求2+
1
2+1
2
的程序框图，图中空白框中应填入（）
A.A=
1
2+A
B.A=2+1
A
C.A=1+1
2A
D.A=
答案：
A
解答：
1
1+2A
把选项代入模拟运行很容易得出结论
A=1
选项A代入运算可得2+1
，满足条件，
2+1
2
选项B代入运算可得
A=2+
1
2+1,不符合条件，
2
选项C代入运算可得A=1,不符合条件，
2
选项D代入运算可得A=1+1,不符合条件.
4
x2
10.
双曲线C：
a
-
y2
b2
=1（a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为
（）
A.2sin40︒
B.2cos40︒
1
C.
sin50︒
1
D.
cos50︒
答案：
D
解答：
根据题意可知-b=tan130︒，所以b=tan50︒=sin50︒，
a
离心率e==
acos50︒
=cos250︒+sin250︒=
cos250︒
=cos50︒.
11.11.
∆ABC的内角
A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA-bsinB=4csinC，
cosA=-1，则b=（）
4c
A.6
B.5
C.4
D.3答案：
A
解答：
由正弦定理可得到：
asinA-bsinB=4csinC⇒a2-b2=4c2，即a2=4c2+b2，
b2+c2-a21
b=6
又由余弦定理可得到：
cosA=
2bc
=-4，于是可得到c
12.已知椭圆C的焦点坐标为F1（-1,0），F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B两点，若
AF2
=2F2B，AB=
BF1，则C的方程为（）
A.xy2=12
x2y2
B.1
32
x2y2
C.1
43
x2y2
D.1
54
答案：
B
解答：
由AF2
=2F2B，AB=
BF1，设F2B=x，则AF2
=2x，BF1
=3x，根据椭圆的定
义F2B+BF1=
AF2+
AF1
=2a，所以AF1
=2x，因此点A即为椭圆的下顶点，因为
AF=2FB，c=1所以点B坐标为（3,b），将坐标代入椭圆方程得9+1=1，解得
2222
a2=3,b2=2，故答案选B.
4a24
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线y=3（x2+x）ex在点（0,0）处的切线方程为.
答案：
y=3x
解答：
∵y'=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，
∴结合导数的几何意义曲线在点（0,0）处的切线方程的斜率k=3，
∴切线方程为y=3x.
14.记S
为等比数列{a}的前n项和，若a=1，S=3，则S=.
nn
答案：
5
8
解析：
1344
a=1，S=a+a+a=3
131234
设等比数列公比为q
∴a+aq+aq2=3
1114
∴q=-1
2
所以S=5
48
15.函数f（x）=sin（2x+3-3cosx的最小值为．
）
2
答案：
-4
解答：
f（x）=sin（2x+3-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1，
2
因为cosx∈[-1,1]，知当cosx=1时f（x）取最小值，
则f（x）=sin（2x+3-3cosx的最小值为-4．
2
16.已知∠ACB=90︒，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC,BC的
距离均为，那么P到平面ABC的距离为.
答案：
解答：
如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，则PO的长度即为所求，再做
PE⊥CB,PF⊥CA，由线面的垂直判定及性质定理可得出OE⊥CB,OF⊥CA，在
Rt∆PCF中，由PC=2,PF=，可得出CF=1，同理在Rt∆PCE中可得出CE=1，
结合∠ACB=90︒，
OE⊥CB,OF⊥CA可得出
OE=OF=1，
OC=，
PO==
三、解答题：
共70分。
第17-21题为必考题，第22,23为选考题，考生需要按照要求作答.
（一）必考题：
共60分
17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2=
n（ad-bc）2
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
P（2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
答案：
（1）男顾客的的满意概率为P=40=4
505
女顾客的的满意概率为P=30=3
505
（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
解答：
（1）男顾客的的满意概率为P=40=4
505
女顾客的的满意概率为P=30=3.
505
（2）
2=
100（40⨯20-10⨯30）2
（40+10）（30+20）（40+30）（10+20）
=4.762
4.762>3.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5；
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.
答案：
（1）an=-2n+10
（2）n∈N+
解答：
（1）由S
=-a
结合S
=9（a1+a9）=9a
可得a
=0，联立a
=4得d=-2，所以
9592553
an=a3+（n-3）d=-2n+10
（2）由S9=-a5可得a1=4d，由a1>0可知d>0，所以等差数列{an}是an>0的单调递增数列，故Sn≥an在n∈N+时恒成立.
19.如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2，∠BAD=60，
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
（1）证明：
MN//平面C1DE
（2）求点C到平面C1DE的距离.
答案：
见解析解答：
（1）连结A1C1,B1D1相交于点G，再过点M作MH//C1E交B1C1于点H，再连结GH，
NG.
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
于是可得到NG//C1D，GH//DE，
于是得到平面NGHM//平面C1DE，
由MN⊂平面NGHM，于是得到MN//平面C1DE
（2）E为BC中点，ABCD为菱形且∠BAD=60
∴DE⊥BC，又ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴DE⊥CC1
∴DE⊥C1E，又AB=2,AA1=4，
∴DE=
3,C1E=
，设点C到平面C1DE的距离为h
11
由VC-CDE=VC-DCE得
1⨯1⨯
3⨯17⨯h=1⨯1⨯1⨯
3⨯4
3232
解得h=
417
17
所以点C到平面C1DE的距离为
417
17
20.已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）是f（x）的导数.
（1）证明：
f'（x）在区间（0,）存在唯一零点；
（2）若x∈[0,]时，f（x）≥ax，求a的取值范围.
答案：
略
解答：
（1）由题意得f'（x）=2cosx-[cosx+x（-sinx）]-1=cosx+xsinx-1
令g（x）=cosx+xsinx-1，∴g'（x）=xcosx
当x∈
时，g'（x）>0，g（x）单调递增，
2
当x∈）时，g'（x）<0，g（x）单调递减，
2
∴g（x）的最大值为
g（）=-22
1，又g（）=-2，g（0）=0
∴g（）⋅
g（）2
<0，即f'（）⋅f
<0，2
∴f'（x）在区间（0,）存在唯一零点.
（2）令F（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-x-ax，
∴F'（x）=cosx+xsinx-1-a，
由
（1）知f'（x）在（0,）上先增后减，存在m∈），使得f'（m）=0，且f'（0）=0，
2
f'-1>0，f'（）=-2，
22
∴F'（x）在（0,）上先增后减，F'（0）=-a，
F（）=-
22
1-a，F'（）=-2-a，
p
当F（）2
≤0时，F'（x）在（0,）上小于0，F（x）单调递减，
又F（0）=0，则F（x）≤F（0）=0不合题意，
p
当F（）>0时，即
2
-1-a>0，a1时，22
若F'（0）≥0，F'（）≤0，F（x）在（0,m）上单调递增，在（m,）上单调递减，
⎧F（0）≥0
⎩
则⎨F（）≥0解得a≤0，
⎧F'（0）=-a≥0
⎩
而⎨F'（）=-2-a≤0解得-2≤a≤0，故-2≤a≤0，
若F'（0）≥0，F'（）≥0，F（x）在（0,）上单调递增，且F（0）=0，
⎧F'（0）=-a≥0
⎩
故只需⎨F'（）=-2-a≥0解得a≤-2；
若F'（0）≤0，F'（）≤0，F（x）在
上单调递增，且F（0）=0，2
故存在x∈
时，F（x）≤F（0）=0，不合题意，2
综上所述，a的取值范围为（-∞,0].
21.已知点A,B关于坐标原点O对称，AB=4，⊙𝑀过点A,B且与直线x+2=0
相切.
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙𝑀的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MA-MP为定值？
并说明理由.
答案：
（1）2或6；
（2）见解析.解答：
（1）∵eM过点A,B，∴圆心在AB的中垂线上即直线y=x上，设圆的方程为
（x-a）2+（y-a）2=r2，又AB=4，根据AO2+MO2=r2得4+2a2=r2；
∵eM与直线x+2=0相切，∴a+2=r，联解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.
（2）
设M的坐标为（x,y），根据条件AO2+MO2=r2=
x+22即4+x2+y2=
x+22
化简得y2=4x，即M的轨迹是以（1,0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，所以存在定点
P（1,0），使MA-MP=（x+2）-（x+1）=1.
（二）选考题：
共10分，请在22、23题中选一题作答
⎧1-t2
⎪x=1+t2
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨
⎪y=
⎩
4t1+t2
（t为参数）.以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2cos+3sin+11=0.
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值.
答案：
略
解答：
1-t2
2x+1=2
t=y
（1）曲线C:
由题意得x=1+t2=-1+1+t2即
1+t2，则
，然后代入即
2（x1）
可得到
y2+2=
4
而直线l：
将x=cos,y=sin代入即可得到2x+
3y+11=0
（2）将曲线C化成参数方程形式为
则d=
4sin（++11
）
=6
p
所以当+=
6
3
时，最小值为
2
23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1，证明：
（1）1+1+1≤a2+b2+c2；
abc
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.
答案：
（1）见解析；
（2）见解析.
解析：
（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，当且仅当a=b=c
时取等号.abc=1且
a，b，c都为正数，∴ab=1，bc=1，ac=1，故
1+1+1≤a2+b2+c2.
cab
abc
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥33（a+b）3（b+c）3（c+a）3，
当且仅当（a+b）3=（b+c）3=（c+a）3时等号成立，即a=b=c时等号成立.又
33（a+b）3（b+c）3（c+a）3=3（a+b）（b+c）（c+a）≥3⨯2
ab⋅2
bc⋅2
=24abc，
当且仅当a=b=c时等号成立，abc=1，故33（a+b）3（b+c）3（c+a）3≥24abc=24，即得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.
Attheend,XiaoBiangivesyoua
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