1991年高考数学试题全国卷.docx
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1991年高考数学试题全国卷
1991年高考数学试题(理工农医类)
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
【】
(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是【】
(A)y2=8(x+1)(B)y2=-8(x+1)
(C)y2=8(x-1)(D)y2=-8(x-1)
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【】
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有
(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对【】
【】
(6)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的【】
(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心
(7)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于【】
(A)5(B)10(C)15(D)20
【】
(A)(0,0),(6,π)(B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0)(D)(0,0),(6,0)
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有【】
(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种
【】
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么【】
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【】
(A)0(B)1(C)2(D)3
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是【】
(A)增函数且最小值为-5(B)增函数且最大值为-5
(C)减函数且最小值为-5(D)减函数且最大值为-5
【】
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于【】
二、填空题:
把答案填在题中横线上.
(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于.
(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a>1,那么a=.
(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a.那么这个球面的面积是.
三、解答题.
(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上
是减函数.
(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
1991年高考数学试题(理工农医类)答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B(14)C(15)D
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.
解:
如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.
注:
未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.
证法一:
在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1∵x1∴x1-x2<0.
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:
在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1∵x1∴x1-x2<0.
∵x1,x2不同时为零,
即f(x2)所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.
解:
利用对数换底公式,原不等式左端化为
因为a>1,②式等价于
logax因为a>1,②式等价于
(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得
(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0.③
根据根与系数的关系,有
18、大多数生物都是由多细胞组成的,但也有一些生物,它们只有一个细胞,称为单细胞生物。
如草履虫、变形虫、细菌等。
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0.⑥
在铁制品表面涂上油漆或菜油,用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0,
13、1663年,英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构,发现它们看上去像一间间长方形的小房间,就把它命名为细胞。
(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
8、对生活垃圾进行分类和分装,这是我们每个公民应尽的义务。
因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
2、如果我们想要设计一个合理、清洁的垃圾填埋场,我们首先应考虑要解决的问题有哪些呢?
9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。
化学变化伴随的现象很多,最重要的特点是产生了新物质。
物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0.⑦
二、问答题:
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
24、目前,我国的航天技术在世界上占有相当重要的位置。
“长征四号”运载火箭的顺利发射,载人飞船“神舟”五号和“神舟”六号和“神舟”七号也已经发射成功,“嫦娥”一号探月卫星又发射成功。
解法二:
④式以上同解法一.
将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,
即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外,还要加入药物进行灭菌处理,这样才能符合我们使用的标准。
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
答:
水分和氧气是使铁容易生锈的原因。
即(x2-x1)2=10.⑥
将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为