五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版 含答案.docx

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五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版含答案

第四讲最大公约数和最小公倍数

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的n加油甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?

还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这n加油个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句n加油即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生n加油轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄n加油写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日n加油积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成n加油语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地n加油“提取”出来,使文章增色添辉。

　　本讲重n加油点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题—n加油—有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互n加油关系的问题。

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的n加油历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一n加油种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃n加油;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“n加油死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生n加油语文水平的重要前提和基础。

　　定理1两个自然数分别除以n加油它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷n加油d，b÷d）＝1。

要练说，得练听。

听是说的n加油前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不n加油断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，n加油训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语n加油言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有n加油致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听n加油别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时n加油机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边n加油记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩n加油正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出n加油主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学n加油得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了n加油记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

　　证明：

设an加油÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

　　假设（n加油a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有n加油a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）

　　所以an加油=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

　　那么md是a、bn加油的公约数。

　　又∵m＞1，∵md＞d。

　　这就与d是n加油a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的n加油.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷n加油d）＝1。

　　定理2两个数的最小公倍数与最大公约n加油数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）

　　定理3两个数的公约数n加油一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）

　　下面我们就应用这些知n加油识来解决一些具体的问题。

例1甲数是36，甲、乙两数的n加油最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.

　　解法1：

由甲数×乙n加油数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得

　　36n加油×乙数=4×288，

　　乙数=4×288÷36，

　　解出n加油乙数=32。

　　答：

乙数是32。

　　解法2：

因为甲、乙n加油两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9n加油）=1。

　　因为甲、乙两数的最小公倍数是288，

　　则288＝4×9×b1n加油，

　　b1＝288÷36，

　　解出b1＝8。

　　n加油所以，乙数=4×8=32。

　　答：

乙数是32。

例2已知两数的最大公约数是n加油21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

　　解：

要求这两个数的和n加油，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、n加油b，a＜b。

　　因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝2n加油1b1，且（a1，b1）＝1。

　　因为这两个数的最小公倍数是126，n加油

　　所以126=21×a1×b1，

　　于是n加油a1×b1=6，

　　因此，这两个数的和为2n加油1＋126=147，或42＋63=105。

　　答：

这两个数的和为147或105n加油。

例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两n加油个自然数。

　　解：

设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数n加油的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5bn加油1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。

　n加油　因为a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，

　　a1+n加油b1=10。

　　满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：

n加油　　答：

这两个数为5与45或15与35。

例4已知两个自然n加油数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

　　解：

n加油设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝n加油d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。

　　因为n加油两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，

　　所以240n加油=d×60，

　　解出d＝4，

　　所以a=4a1n加油，b=4b1.

　　因为a与b的最小公倍数为60，

　　所以4×n加油a1×b1＝60，

　　于是有a1×bn加油1＝15。

　　答：

这两个数为4与60或12与20。

例5已知两个n加油自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为1n加油14，求这两个自然数。

　　解：

设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（n加油a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）n加油＝1。

　　因为a+b＝54，所以da1+db1=54。

　　于n加油是有d×（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。

　n加油　又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，

　　所以dn加油a1b1-d=114，

　　于是有d×（a1b1-1）=n加油114，

　　因此，d是114的约数。

　n加油　故d为54与114的公约数。

　　由于（54n加油，114）＝6，6的约数有：

1、2、3、6，根据定n加油理3，d可能取1、2、3、6这四个值。

　　如果d＝1，n加油由d×（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d×（a1b1-1）n加油＝114，有a1b1=115。

　　115=1×115=5×23，但是1＋n加油115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.

　　如果d＝2n加油，由d×（a1＋b1）＝54，有a1+b1=27；又由d×（a1b1-1）n加油=114，有a1b1=58。

　　58＝1×58＝2×29，n加油但是1＋58＝59≠27，2+29＝31≠27，所以d≠2。

　　如果dn加油=3，由d×（a1＋b1）=54，有a1+b1＝18；又由d×（an加油1b1-1）=114，有a1b1=39。

　　39＝1×39n加油＝3×13，但是1＋39＝40≠18，3＋13＝16≠n加油18，所以d≠3。

　　如果d=6，由d×（a1＋n加油b1）=54，有a1＋b1=9；又由d×（n加油a1b1-1）=114，有a1b1=20。

　　20表示成两n加油个互质数的乘积有两种形式：

20=1×20＝4n加油×5，虽然1＋20=21≠9，但是有4＋5＝9，所以取d＝6是合n加油适的，并有a1=4，b1＝5。

　　a＝6×4＝24，b＝6×5＝3n加油0。

　　答：

这两个数为24和30。

例6已知两个自然数的差为4n加油，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自n加油然数。

　　解：

设这两个自然数分别为a与b，且a＞bn加油，a＝da1，b=db1，（a1，b1）＝1。

　　因为a-b=4，所以da1n加油-db1=4，于是有d×（a1-b1）=4，因此d为4的约数。

　　因为这两个n加油自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d×n加油da1b1＝252，于是有d2×a1b1=（2×3）n加油2×7，因此d为2×3的约数。

　　故d为n加油4与2×3的公约数。

　　由于（4，2×3）＝2，2的n加油约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。

　　如果d=1，由dn加油×（a1-b1）=4，有a1-b1=4；又由d2×a1b1=252，有n加油a1b1=252。

　　252表示成两个互质数的乘积有4种形式：

2n加油52=1×252=4×63=7×36＝9n加油×28，但是252-1＝251≠4，63-4＝59≠4，36-7=29≠4，n加油28-9＝19≠4，所以d≠1。

　　如果d=2，由dn加油×（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2×a1b1＝252，有a1n加油b1=63。

　　63表示为两个互质数的n加油乘积有两种形式：

63＝1×63=7×9，但63-1＝62≠2，n加油而9-7＝2，且（9，7）=1，所以d=2n加油，并且a1＝9，b1＝7。

　　因此a=2×9＝18，b＝2×7＝n加油14。

　　答：

这两个数为18和14。

　　n加油在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除an加油=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b），分别是由于：

例2和例5，若an加油＝b，则（a，b）＝[a，b]＝a，与条件（a，bn加油）≠[a，b]矛盾；例3，若a=b，则a＝b=（a，b）=n加油5，因此a＋b＝10≠50，与条件矛盾；例4，a×b=240不是平方n加油数。

　　从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数n加油的很多问题中，经常用到的基本关系是：

若两数为a、b，那么a=a1d，b＝n加油b1d，其中d=（a，b），（a1，b1）＝1，因此[a，b]＝dan加油1b1，有时为了确定起见，可设a≤b.对于很多情形，可以排n加油除a=b的情形（如上述所示），而只假设a＜b.

习题四

　　1.已知某数n加油与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

n加油

　　2.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为12n加油0，求这两个数。

　　3.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约n加油数为15，求这两个数。

　　4.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60n加油，求这两个数。

　　5.已知两个自然数的差为30，它n加油们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然n加油数。

　　6.已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘n加油积为432，求这两个自然数.