鬼谷子之问的一种解答.docx

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鬼谷子之问的一种解答

“鬼谷子之问”的一种解答

庞涓、孙膑都是鬼谷子的徒弟。

有一天，鬼谷子出题考他们。

鬼谷子从2~99（包括2和99）中选出两个不同的整数，并把这两个整数的积只告诉了孙膑，而和则只告诉了庞涓。

鬼谷子要求庞涓和孙膑各自确定出他所选的那两个整数是什么。

①

犹豫了一段时间后，庞涓对孙膑说：

“我虽然不能够确定这两个数是什么，但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么！

”②

孙膑听后说：

“我本来的确不能够确定这两个数是什么，但听你这么一说，我现在能够确定了。

”③

庞涓听完孙膑的话，说：

“既然你这么说，我现在也能够确定这两个数是什么了！

”④

故事到此结束。

我想鬼谷子、庞涓、孙膑和一些旁观者在故事的最后肯定都是相顾而笑了，这可谓中国人彼此间的会意之笑。

当然，也有一些旁观者会感觉莫名其妙。

下面请允许我仅用逻辑推理和一些简单的数学知识来揭开“鬼谷子之问”的神秘面纱。

在这个故事里，实际上只有四个人。

第一个人是鬼谷子，他首先掌握完全信息（如果我们把那两个不同的整数作为信息的话）。

第二和第三个掌握完全信息的人分别是孙膑和庞涓。

作为旁观者（或是读者），则是在故事的最后才获得了完全信息。

我既不是庞涓，也不是孙膑，更不是鬼谷子，所以，我需要从故事的开始到结束一路分析推理下来，才能得到答案。

先假设鬼谷子所选出的那两个不同的整数是x、y，则有：

x=2、3、4……98、99，

y=2、3、4……98、99。

将x、y的积“xy”记为P，和“x+y”记为S，则有：

2×3≤P≤98×99，

2+3≤S≤98+99。

庞涓的第一句话（我虽然不能够确定这两个数是什么，但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么）告诉了我们两点：

（1）庞涓仅凭其手中的和S，不能够确定出那两个整数是什么。

（2）孙膑仅凭其手中的积P，不能够确定出那两个整数是什么。

（这里有一个重要的条件假设━━庞涓对自己所说出的话“不负责”，即他没有考虑到他所说出的话可能会促使孙膑获得完全信息）

现在，请允许我推敲一下庞涓。

庞涓在什么条件下，才不能仅凭其手中的和S就确定出那两个整数呢？

我想：

如果庞涓手中的和S是5（5=2+3）或是197（197=98+99）的话，那么他就一定能够确定出其师父（鬼谷子）所选出的那两个整数必然是2、3或是98、99。

现在既然庞涓不能够仅凭其手中的和S来确定出那两个整数是什么，就表明其手中所拿到的和S必然不是5和197。

我们不妨观察一下5、197这类两个不同的整数和S’的特点，S’都只能被表示为唯一的一对不同的整数和。

这样的S’有5（2+3）、6（2+4）、196（99+97）、197（99+98）。

至此，我们可以排除S为一切S’的可能（即S≠5、6、196、197）。

庞涓很肯定地认为，孙膑仅凭其手中的积P也不能够确定出那两个整数是什么。

试想：

如果庞涓手中的和S是7或8或是55或56，他还敢这么认为吗？

答案是庞涓肯定不敢这么认为了。

如果他手中的和S是7或8或是55或56，他还说出那样的话（“但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么”），那他一定是疯了！

为什么呢？

我们不妨将7、8、57、58分为两组。

先来看57和58，我们进入庞涓的大脑。

拿到57的庞涓肯定开始思考：

57，57=2+55=3+54=4+53=……，这让我怎么能确定出师父所选的那两个整数究竟是什么呢？

等一等，诶，如果孙膑拿到的积P是212的话，212=4×53=2×106，师父说他所选的那两个整数是在2~99（包括2和99）内的，所以212就只能表示为4与53的乘积！

天哪，212只能表示为4与53的乘积！

这样孙膑岂不是很轻松地就知晓了师父所选的那两个整数了吗！

如果P是110，110=2×55=10×11=22×5，那么，和S究竟是57（53+4）还是21（10+11）还是27（22+5）呢？

我知道和S是57是因为我手里所拿到的和S就是57，但孙膑却必然不能够确定出和S究竟是57还是21还是27，从而他也不能够确定出师父所给的那两个整数究竟是什么！

哎，可惜我拿到的和S是57呀！

如果和S是其它的数，我今天或许就不会陷于这番境地。

现在，我也只能对孙膑说：

“我不能够确定这两个数是什么，但你有可能确定出这两个数。

”

现在，我们走出了庞涓的大脑。

在和S是58的情况下，庞涓大脑中的思索经历和上面是类似的，在此不予赘述。

可见，庞涓手中的和S必然不是57、58这类数。

因为如果是57、58这类数，庞涓会说的话应该是“但你有可能确定出这两个数”，而绝不是“但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么”。

既然如此，这类和S’’（57、58）有什么特点呢？

57和58都可以被表示成一个数与质数53的和：

57=53+4，58=53+5。

此外，还有55=53+2，56=53+3，59=53+6……而一旦两个数的积P’’的因数中有53，在这个故事中又由于已知题设“鬼谷子从2~99（包括2和99）中选出两个不同的整数”的限制，P’’就只能表示为53与另一个数m（m=P’’/53）的乘积。

这样的结果也是由于质数的“只有1和它本身两个因数”这一性质决定的。

要想使P’’=xy=53×m中，x、y都不等于53，也只能将53乘上一个数k，可即使k取最小的整数2，2×53=106也超出了2~99（包括2与99）的范围。

所以，我们可以排除和S为一切S’’的可能。

这样的S’’有55、56、57……100、101、102……195、196、197。

综上所述，我们将和S的范围缩小到了7~54（包括7与54）。

再来看7和8，我们依然进入庞涓的大脑。

拿到7的庞涓肯定开始思考：

7，7=2+5=3+4，这让我怎么能确定出师父所选的那两个整数究竟是什么呢？

如果非得让我猜的话，正确的概率也只有50%。

如果孙膑拿到的积P是10的话，10=2×5。

天哪，10只能表示为2与5的乘积！

这样孙膑岂不是很轻松地就知晓了师父所选的那两个整数了吗！

如果P是12，12=3×4=2×6，那么，和S究竟是7（3+4）还是8（2+6）呢？

我知道和S是7是因为我手里所拿到的和S就是7，但孙膑却必然不能够确定出和S究竟是7还是8，从而他也不能够确定出师父所给的那两个整数究竟是什么！

哎，可惜我拿到的和S是7呀！

如果和S是其它的数，我今天或许就不会陷于这番境地。

现在，我也只能对孙膑说：

“我不能够确定这两个数是什么，但你有可能确定出这两个数。

”

现在，我们走出了庞涓的大脑。

在和S是8的情况下，庞涓大脑中的思索经历和上面是类似的，在此不予赘述。

可见，庞涓手中的和S必然不是7、8这类数。

因为如果是7、8这类数，庞涓会说的话应该是“但你有可能确定出这两个数”，而绝不是“但我敢肯定你也应该不能够确定这两个数是什么”。

既然如此，这类和S’’’（7、8）又有什么特点呢？

7和8都可以被表示成两个质数的和：

7=2+5，8=3+5。

此外，还有9=2+7，10=3+7，12=5+7……而一旦知道了两个质数的积，就一定能够确定出这两个质数是什么，这样的结果也是由于质数的“只有1和它本身两个因数”这一性质决定的。

比如，知道积是10或15或14或21或35，就能知道那两个整数必然是2、5或3、5或2、7或3、7或5、7。

所以，对于和S，在7~54（包括7和54）范围内，我们可以再排除和S为一切S’’’的可能。

这样的S’’’见下表：

7=2+5

16=3+13

26=3+23

38=7+31

48=5+43

8=3+5

18=5+13

28=5+23

39=2+37

49=2+47

9=2+7

19=2+17

30=7+23

40=3+37

50=3+47

10=3+7

20=3+17

31=2+29

42=5+37

52=5+47

12=5+7

21=2+19

32=3+29

43=2+41

54=7+47

13=2+11

22=3+19

33=2+31

44=3+41

14=3+11

24=5+19

34=3+31

45=2+43

15=2+13

25=2+23

36=5+31

46=3+43

50以内质数：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47

这样，和S的范围缩小到集合A={11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53}（共11种可能）。

在上面11种可能中，我们可以再分析“51”这个数来排除其可能性。

如果庞涓拿到的和S是51的话，51=17+34=2+49=3+48=……，这样，P’’’’=xy=17×34=578，显然，x、y只能取17、34。

也就是说，如果孙膑手中所持的积P是578，那么他就可以仅凭P=578确定出鬼谷子所选的那两个整数是17、34。

现在拿到和S为51的庞涓心里就摸不准了，他便只能说：

“我不能够确定这两个数是什么，但你有可能确定出这两个数。

”由此，和S是51的可能也被排除。

综上所述，和S的范围最终缩小到集合B={11，17，23，27，29，35，37，41，47，53}（不妨称集合B为“可能和集合”，则共有10种“可能和”）。

至此，我们的故事还只是进行到了②处。

下面，请允许我通过一份列表将故事进行到底。

附注：

红色“[number]”是积P有相同的，由列表可知，共有27组相同积。

我们知道，孙膑的手上是持有积P的，而我们从庞涓的话中所得到的以上的所有认识与推理，孙膑自然也能够得到。

现在，孙膑所要做的，就是根据上面的推理和他手上持有的积P确定出鬼谷子所选的那两个数。

孙膑听后说：

“我本来的确不能够确定这两个数是什么，但听你这么一说，我现在能够确定了。

”可见，孙膑此刻已获得完全信息了。

那么，积P究竟是什么呢？

显然可以论断：

积P绝不是那27组相同积中的任何一种！

我们不妨从中挑出一个来举例说明。

我们看积P=546（第27组）。

如果孙膑手上所持的积P是546，由于546=21×26=14×39，而21、26或14、39均在前面列表的推理结果中，都有可能是正确答案，孙膑便不能确定出鬼谷子所选之数。

现在，既然真实情况不是如此，而是孙膑确定出了鬼谷子所选之数，那么积P在列表中必须是唯一的！

现在，故事已然进行完了③，而我们对于和S的取值仍然局限于集合B，对积P还有那么多的可能（不妨称之“可能积”，统计了一下，共有86种“可能积”）要去排除。

庞涓听完孙膑的话，说：

“既然你这么说，我现在也能够确定这两个数是什么了！

”可见，庞涓最终也获得了完全信息。

庞涓是根据现有已经推理出来的东西和他手上的和S来确定出鬼谷子所选之数的。

那么，和S究竟是什么呢？

会是11吗？

如果是11，根据列表，庞涓知道，鬼谷子所选之数可能是2、9或3、8或4、7。

这时，不论孙膑手中所持是18还是24还是28，都是符合之前的推理的，这样的话，庞涓便不能确定出鬼谷子所选之数了。

和S会是53吗，会是47吗，会是41吗……会是23吗？

都不是，和S只能是17！

显然可以论断：

和S只能是在只有一种“可能积”的“可能和”之下。

所以和S最终取17，积P为52，断定：

鬼谷子所选之数为4、13。

说明

文章之标题之所以定为“‘鬼谷子之问’的一种解答”，是因为反复思之，终觉有所不妥。

一是没有考虑更广义的逻辑。

以庞涓、孙膑对鬼谷子的了解，应当会有“积P必然不是10”（因为那样出题岂不便宜了孙膑？

）、“积P必然不是546”（因为那样出题庞涓就“心有余而力不足”，不能获得完全信息）之类的逻辑论断。

我猜想有一种可能：

鬼谷子出完题，如果庞涓、孙膑能够思索良久，或许都能参出鬼谷子的“心意”，都能在①过程结束就获得完全信息，于是大家配合着演绎一个数学故事。

二是庞涓大脑思考过程中与孙膑的博弈是“适可而止”的。

在第一、第二次庞涓大脑的思索过程中，没有再站在孙膑的立场上推理思考下去，就得出了“孙膑却必然不能够确定出和S究竟是57还是21还是27，从而他也不能够确定出师父所给的那两个整数究竟是什么”、“孙膑却必然不能够确定出和S究竟是7还是8”的结论。

不过，故事终究是故事，对于我们这些平常人，逻辑绕多了就会思绪混乱、不堪其烦，能考虑推理到这么多，也就可以了吧。

——《野中记忆杭电整理》（ZacharyWatson）

2015年2月10日