全国高考理科数学试题及答案全国卷1.docx

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全国高考理科数学试题及答案全国卷1

2017 年全国高考理科数学试题

及答案-全国卷 1

绝密★启用前

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。

考试用时

120 分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、

考生号、考场号和座位号填写在

答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型

（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案

后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题

目选项的答案信息点涂黑；如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔

或签字笔作答，答案必须写在答

题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答

案，然后再写上新答案；不准使

用铅笔和涂改液。

不按以上要求

作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试

结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共 12 小题，每小题 5 分，共

60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x | x < 1}，B = {x | 3x < 1} ，则

A． A I B = {x | x < 0}

B． A U B = R

C． A U B = {x | x > 1}

D． A I B = ∅

2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中

国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部

分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .

在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部

分的概率是

A． 1B． π

48

C． 1D． π

24

3．设有下面四个命题

p

1

：

若复数 z 满足 1 ∈ R ，则 z ∈ R ；

z

p

2

：

若复数 z

满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；

p

3

：

若复数 z , z 满足 z z

1   2 1 2

∈ R

，则 z

1

= z

2

；

p

4

：

若

复数 z ∈ R ，则 z ∈ R .

其中的真命题为

A． p , pB． p , pC． p , pD．p , p

13142324

4 ．记 S 为等差数列 {a } 的前 n 项和．若 a

5

S = 48

6

，则 {a } 的公差为

n

A．1B．2C．4D．8

5．函数 f （ x） 在 （-∞, +∞） 单调递减，且为奇函数．若

f 

（1） = -1

，则满足 -1 ≤ f （ x - 2） ≤ 1的 x 的取值范围是

A． [-2,2]B． [-1,1]C． [0,4]D． [1,3]

6． （1+ 1 ）（1+ x）6 展开式中 x 2 的系数为

x2

A．15B．20

C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中

正视图和左视图都由正方形和等腰

直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视

图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中

有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10

B．12

C．14

D．16

8．右面程序框图是为了求出满

足 3n

- 2n > 1000

的最小偶数n ，那

么在和

两个空白框

中，可以分别填入

A． A > 1000 和 n = n + 1

B． A > 1000 和 n = n + 2

C． A ≤ 1000 和 n = n + 1

D． A ≤ 1000 和 n = n + 2

9．已知曲线C :

 y = cos x, C

12

:

 y = sin（2 x + 2π ）

3

，则下面结论正

确的是

A．把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，

1

纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线 C

2

B．把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，

1

纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线 C

2

C．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵

1

坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 个

6

单位长度，得到曲线 C

2

D．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵

1

坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 个

12

单位长度，得到曲线 C

2

10．已知 F 为抛物线 C :

 y

2

= 4 x

的焦点，过 F 作两条互

相垂直的直线 l , l ，直线 l 与 C 交于 A、B 两点，

121

直线 l 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最

2

小值为

A．16B．14C．12

D．10

11．设 xyz 为正数，且 2

x

= 3y = 5z ，则

A． 2 x < 3 y < 5zB． 5z < 2 x < 3 y

C． 3 y < 5z < 2 xD． 3 y < 2 x < 5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一

款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”

的活动.这款软件的激活码为下面数学问题

的答案：

已知数列 1，1，2，1，2，4，1，

2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一

项是 20 ，接下来的两项是 201 ，再接下来的三

项是 2012 ，依此类推。

求满足如下条件的最

小整数 N :

 N > 100 且该数列的前N 项和为 2 的整

数幂。

那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220

D．110

二、填空题：

本题共 4 小题，每小题 5 分，共

20 分。

13．已知向量 a， 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，

则| a +2 b |=.

14．设 x, y 满足约束条件

值为 .

⎧ x + 2 y ≤ 1

⎪

⎩

，则 z = 3x - 2 y 的最小

2

a 2

-

y 2

b2

= 1（a > 0, b > 0）

的右顶点为 A，

以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲

线 C 的一条渐近线交于M 、 N 两点。

若

∠MAN = 60o

，则 C 的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，

该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。

D、

E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB

分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕

折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F

重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，

所得三棱锥体积（单位：

 cm3 ）的最大值为

_______。

三、解答题：

共 70 分。

解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考

题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23

题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共 60 分。

17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别

为 a，b，

，已知ABC 的面积为

a 2

3sin A

（1）求 sin B sin C ;

（2）若 6cos B cos C = 1,a = 3 ，求△ABC 的周长.

18.（12 分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD，且

∠BAP = ∠CDP = 90o

.

（1）证明：

平面 PAB⊥平面 PAD；

（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o ，求二面角

A-PB-C 的余弦值.

19．（12 分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过

程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零

件，并测量其尺寸（单位：

cm）．根据长期生产

经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零

件的尺寸服从正态分布 N （μ,σ 2） ．

（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内

抽取的 16 个零件中其尺寸在 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的零

件数，求 P（ X ≥ 1） 及 X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸

在 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的零件，就认为这条生产线在这

一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天

的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理

性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个

零件的尺寸：

9.95

10.2

6

10.1

2

9.91

9.96 9.96

10.1 10.0

3 2

10.0

1

9.22

9.92 9.98

10.0 10.0

4    5

10.0

4

9.95

经计

算

得

x =

1 ∑

16

i=1

x = 9.97

i

，

1616

i=1i=1

i i

，其中x i 为抽取的第

i

个零件的尺寸， i = 1,2, ⋅⋅⋅ ,16 ．

用样本平均数 x 作为 μ 的估计值 μ ，用样本标

准差 s 作为 σ 的估计值 σ ，利用估计值判断是否需

对当天的生产过程进行检查？

剔除

ˆˆ   ˆˆ

（μ - 3σ , μ + 3σ ）

之

外的数据，用剩下的数据估计

μ

和 σ （精确到

0.01）．

附：

若随机变量 Z 服从正态分布

，

P（μ - 3σ < Z < μ + 3σ ） = 0.997 4

N （μ,σ 2 ）

，则

0.997 4 16 = 0.959 2

，

0.008 ≈ 0.09

．

20.（12 分）

已知椭圆 C：

x 2

a 2

+

y 2

b2

1

P （0,1），P （–1， 3 ），P （1， 3 ）中恰有三

234

点在椭圆 C 上.

（1）求 C 的方程；

（2）设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A，B

2

两点。

若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为–1，

22

证明：

l 过定点.

21.（12 分）

已知函数 f （ x） = ae

2 x

+ （a - 2）e x - x

（1）讨论 f （ x） 的单调性；

（2）若 f （ x） 有两个零点，求 a 的取值范围.

（二）选考题：

共 10 分。

请考生在第 22、23 题

中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题

计分。

22．[选修 4―4：

坐标系与参数方程]（10 分）

在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为

⎧ x = 3cos θ ,

⎨

（ θ 为参数），直线 l 的参数方程为

⎧ x = a + 4t,.

⎨（t为参数）

⎩

（1）若 a= 1，求 C 与 l 的交点坐标；

（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为

17

，求

a.

23．[选修 4—5：

不等式选讲]（10 分）

已知函数 f （ x） = - x 2 + ax + 4, g （ x） =| x + 1| + | x - 1|

（1）当 a = 1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的

解集；

（2）若不等式 （x）≥ （x）的解集包含[–1，

1]，求 a 的取值范围.

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：

本题共 12 小题，每小题 5 分，共

60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1. A2．B3．B4．C5．D6．C

7．B8．D9．D10．A 11．D 12．A

二、填空题：

本题共 4 小题，每小题 5 分，共

20 分。

13． 2

3

14．-5  15． 2

3

3

16． 4

15cm3

三、解答题：

共 70 分。

解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考

题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23

题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共 60 分。

17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别

为 a，b，

，已知ABC 的面积为

（1）求 sinBsinC;

a 2

3sin A

（2）若 6cosBcosC=1，

=3，求ABC 的周

长.

解：

（1）

a 2

23sin A

a

2       3sin A

sin A

23sin A

故 sin B sin C = 2 。

3

（2）

由 题 设 及 （ 1 ） 得 cos B cos C - sin B sin C = - 1 ， 即

2

cos（ B + C ） = - 1

2

所以 B + C = 2π ，故 A = π

33

a 2

23sin A

，即 bc = 8

由余弦定理得

b + c = 33

b2 + c2 - bc = 9

，即 （b + c）2 - 3bc = 9 ，得

故 ∆ABC 的周长为 3 +

33

18.（12 分）解：

（1）由已知 ∠BAP = ∠CDP = 90o ，得 AB ⊥ AP ， CD ⊥ PD

由于 AB / /CD ，故 AB ⊥ PD ， 从而 AB ⊥ 平面 PAD

又 AB ⊂ 平面 PAB ，所以平面 PAB ⊥ 平面 PAD

（2）在平面PAD 内作 PF ⊥ AD ，垂足

为 F

由

（1）可知，AB ⊥ 平面 PAD ，

故 AB ⊥ PF ，

可得 PF ⊥ 平面 ABCD

以 F 为坐标原点， FA 的方向为 x 轴正方向，

uuu

| AB |

为单位长，建立如图所示的空间直角坐

标系 F - xyz

由

（1）及已知可得

A（2

2

2 ）, B（

2          2

2 ,1,0）, C （- 2 ,1,0）

所以

uuur

2 ,1, -

2 uuur       uuur   2    2 uuur

2 ）, CB = （ 2,0,0）, PA = （ 2 ,0, - 2 ）, AB = （0,1,0）

设 n = （ x, y, z） 是平面 PCB 的法向量，则

uuur

⎨uuur

⎪n ⋅ CB = 0

2

2       2

⎪ y = 0

可取 n = （0, -1,-

2）

设 m = （ x, y, z ） 是平面 PAB 的法向量，则

uuur

⎨uuur

⎪m ⋅ AB = 0

即 ⎧⎪ 22 x -

⎪ y = 0

2

2

z = 0,

可取 m = （1,0,1）

则 cos < n, m >=

n ⋅ m     3

| n || m | =- 3

所以二面角 A - PB - C 的余弦值为 -

3

3

19．（12 分）解：

（1）抽取的一个零件的尺寸在 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之内的

概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之

外的概率为 0.0026，故 X ~ B（16,0.0026） ，因此

P（ X ≥ 1） = 1 - P（ X = 0） = 1 - 0.997416 ≈ 0.0408

X

的数学期望为 EX = 16 ⨯ 0.0026 = 0.0416

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在

（μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的概率只有 0.0026，一

天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸

在 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的零件的概率只有

0.0408，发生的概率很小。

因此一旦

发生这种情况，就有理由认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现

了异常情况，需对当天的生产过程进

行检查，可见上述监控生产过程的方

法是合理的。

（ii）由 x = 9.97, s ≈ 0.212 ，得 μ 的估计值为 μ = 9.97,σ

ˆˆ   ˆˆ

的估计值为 σˆ = 0.212 ，由样本数据可以

看出有一个零件的尺寸在（μ - 3σ , μ + 3σ ）

之外，因此需对当天的生产过程进行

检查。

剔除 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的数据 9.22，剩下

数据的平均数为

1

15

（16⨯ 9.97 - 9.22） = 10.02

因此 μ 的估计值为 10.02

16

i

i=1

剔除 （μ - 3σ , μ + 3σ ） 之外的数据 9.22，剩下

数据的样本方差为

1

15

（1591.134 - 9.222 - 15 ⨯10.022 ） ≈ 0.008

因此 σ 的估计值为

0.008 ≈ 0.09

20.（12 分）解：

（1）由于 P , P 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经

34

过 P , P 两点

34

a2b2 >

1   3

+

a2  4b2

知， 不经过点 P ，所以点 P

1                        2

在 C 上

因此

⎧ 1

⎨

⎪⎩ a 2  4b2

2 = 4

⎪⎩b2 = 1

2

4 + y 2 = 1

（2）设直线 P A 与直线 P B 的斜率分别为 k , k

221

2

如果 l 与 x 轴垂直，设 l :

 x = t ，由题设知 t ≠ 0 ，

且

| t |< 2 ， 可 得

A, B

的 坐 标 分 别 为

（t,4 - t 2

4 - t 2

2  ）

则 k + k

1

题设

2 = 4 -2t2 - 2 -

4 - t 2 + 2

得

（4k 2 + 1）x 2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0

2

4

+ y 2 = 1

由题设可知 ∆ = 16（4 k

2

- m2 + 1） > 0

112212 =-

8km       4m2 - 4

 x x =

4k 2 + 1 1 2 4k 2 + 1

而

k + k = y1 - 1 y - 1

1 2

1 2

= kx1 + m - 1 + kx2 + m - 1

xx

12

= 2kx1x2 + （m - 1）（x1 + x2 ）

x x

1 2

由题设 k + k

12

= -1

，故 （2k + 1）x x

1 2

+ （m - 1）（x + x ） = 0

1 2

2 - 4-8km

+ （m - 1）

4k 2 + 14k 2 + 1

= 0

解得 k = - m + 1

2

当且仅当 m > -1时， ∆ > 0 ，于是 l :

 y = - m + 1 x + m ，

2

所以 l 过定点 （2, -1）

21.（12 分）解：

（ 1 ）

f （ x）

的 定 义 域 为

（-∞, +∞）   ，

f '（ x） = 2ae2 x + （a - 2）e x - 1 = （ae x - 1）（2e x + 1）

（i）若 a ≤ 0 ，则 f '（ x） < 0 ，所以 f （ x） 在 （-∞, +∞） 单

调递减

（ii）若 a > 0 ，则由 f '（ x） = 0 的 x = - ln a

当 x ∈ （-∞, - ln a） 时， f '（ x） < 0 ；

当 x ∈ （- ln a, +∞） 时， f '（ x） > 0

所以

f （ x）

在 （-∞, - ln a） 单 调 递 减 ， 在

（- ln a, +∞） 单调递增。

（2）（i）若 a ≤ 0 ，由

（1）知， f （ x） 至多有一个零

点

（ii）若 a > 0 ，由

（1）知，当 x = - ln a 时， f （ x） 取

得最小值，最小值为 f （- ln a） = 1 - 1 + ln a

a

① 当 a = 1 时，由于 f （- ln a） = 0 ，故 f （ x） 只有一个

零点；

② 当 a ∈ （1,+∞） 时，由于1 - 1 + ln a > 0 ，即 f （- ln a） > 0 ，

a

故 f （ x） 没有零点；

③ 当 a ∈ （0,1） 时，1 - 1 + ln a < 0 ，即 f （- ln a） < 0 又

a

又 f （-2） = ae

-4

+ （a - 2）e-2 + 2 > -2e-2 + 2 > 0

，故

f （ x）

在 （-∞, - ln a） 有一个零点。

设正整数 n 满足 n

00

3

> ln（ - 1）

a

，

0n0 （aen0 + a - 2） - n0 > en0 - n0 > 2n0 - n0 > 0

由于 ln（ 3 - 1） > - ln a ，因此 f （ x） 在 （- ln a, +∞） 有

a

一个零点

综上， a 的取值范围为 （0,1）

22．解：

2

9

+ y 2 = 1

，

当 a = -1 时，直线 l 的普通方程为 x + 4 y - 3 = 0

由 ⎧ x + 4 y - 3 = 0,

⎨ x2

⎩ 9

解得 ⎧ x = 3, 或

⎩ y = 0

⎨

⎪ 25

x =-

⎧ 21

从而 C 与 l 的交点坐标为 （3,0）,（ - 21 , 24 ）

25 25

（2）直线 l 的普通方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故 C 上的点

（3cos θ ,sin θ ）

到 l 的距离为

d = | 3cos θ + 4sin θ - a - 4 |

17

当 a ≥ -4 时， d 的最大值为

a + 9 ，由题设得

17

a + 9

17

= 17

，所以 a = 8 ；

当 a < -4 时， d 的最大值为

-a +