九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义.docx
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九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义
中考数学中翻折问题的解法探究
翻折的折叠问题一是中考的热点问题,常见于基本填空压轴题,和与其他知识结合构成综合大题也很常见。
一般都是三角形翻折,或者四形翻折,圆的翻折,是中考数学高分必须掌握的题型。
翻折和折叠问题其实质就是对称问题,解决此类问题就是以对称性质为基础,结合勾股定理,三角形相似,圆的性质等,建立方程来解题。
三角形中的折叠问题
1.如图,把Rt△ABC,使A、B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,求CE:
AE的值
解析:
∵点A、B关于DE对称,∴AE=BE,∠A=∠EBA.
∵C点与D点关于BE对称,∴△BDE≌△BCE,
∴∠EBA=∠CBE.
又∠ACB=900,
∴∠A+∠EBA+∠CBE=900,∴∠CBE=300,∴CE:
BE=:
12
∴CE:
AE=:
12
2.在△ABC中,已知∠A=800,∠C=300,现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C`DE,对折叠后产生的夹角进行探究:
(1)如图
(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内,则求∠1+∠2的和;
(2)如图
(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A,则求∠1+∠2的
和;(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C的关系。
解析:
(1)∵△DC`E是由△DCE翻折得到的,∴△DC`E≌△DCE,
∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠1=1800-2∠CDE,∠2=1800-2∠CED,∴∠1+∠2=3600-2(∠CDE+∠CED)=3600-2×1500=600.
(2)
连接DG,则∠1+∠2=1800-∠C`-
(∠ADG∠+AGD)=1800-300-(1800-800)
=500.
(3)∵△DC`E是由△DCE翻折得到的,∴△DC`E≌△DCE,∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠CDE+∠CDE=∠C`DE+∠DEC`=1800-∠C.∵∠C`DE+∠DEC`-∠1+∠2+∠ABE+∠A=3600,
∴∠2-∠1=3600-1800+∠C-1800+∠A+∠C-∠A
=2∠C
3.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=,4BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD。
如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED,
则BE的长是多少?
解析:
由AB=AC,得∠ABC=∠C,又∠DAC=∠ACD,∴△ADC∽△BAC
∴CD=AC,可求得AD=CD1=6,BD=33。
由折叠知∠AED=∠C,∴∠ABC=
ABBC77
∠AED,∴点A、B、E、D共圆,∴∠GAD∠=ABD,∴△AGD∽△BAD,∴
GD=AD,可求得GD=16×16,BG=33-16×16
ADBD7337733
∵∠GBA=∠GAD∠=GBE,∠GEB=∠BDA,
∴△BEG∽△BDA,∴BE=BG,可求得BE=17.
BDAB4四边形中的折叠问题
4.如图,在平行四边形ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD`E处,AD`与CE交于点F。
若∠B=520,∠DAE=200,求∠
FED`的度数。
解析:
因为△ADE沿AE折叠至△AD`E处,∴∠AED=∠AED`=1800-∠DAE-∠D=1080,∵∠AEF=∠DAE+∠D=720
∴∠FED`=∠AED`-∠AEF=720.
5.
如图,将平行四边形沿对角线折叠,使点B落在点B`处。
若∠1=∠2=440,求∠B的度数。
解析:
∵将平行四边形沿对角线折叠,
∴∠CAB=1∠B`AB,又∠B`AB=∠1=440,∴∠CAB=220,
2
∵∠2=440,∴∠B=1800-∠CAB-∠2=1140.
6.在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠使点C与点A重合,则折痕EF的长是多少.
解析:
可设EC=x,则BE=16-x,由AE2=AB2+BE2得BE=6,AE=10.由折叠知∠FEK=∠AEF,又∠FEK=∠AFE,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=BK=AE=10∴,EK=4,由EF2=EK2+KF2得,EF=45.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为多少?
解析:
连接BF,∵点B、F关于AE对称,∴BF⊥AE,BG=GF.
1112
由△ABE的面积=21AB×BE=21AE×BG,可求得BG=152.又E为BC中点,
∴FC=2G。
E∵BG2+GE2=BE2,∴GE=9,∴FC=2GE1=8.55
8.如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将一边AD折叠,使点A
恰好落在边BC的点F处,折痕为DE,若AB=8,BF=4,求ED长?
解析:
∵△DEF是由△DEA折叠得到的,∴EF=AE,设AE为x,则BE=8-x,由BE2+BF2=EF2可得BE=3,EF=5.∵∠EFD=∠EAD=900,根据同角的余角相等,可得∠EFB=∠FDC,∴△EFB
∽△FDC,∴DF=DC,可求得DF=10,再运用勾股定理可得DE=55。
FEBF
9.如图,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,
折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕
为GH,点B的对应点为M,点A的对应点为N。
1)若CM=x,则CH=(_用含x的代数式表示);
2)求折痕GH的长。
解析:
(1)由∠MCH∠=HME∠=EDM=900根,据同角的余角相等,可得∠
DME∠=CHM∴,△HCM∽△MDE∴,CH=MC,Mm上CM=x,得DM=6-x,
DMDE
12
DE=3,∴CH=-1x2+2x
3
(3)延长BA、MN相交在对称轴HG于点P,过P作PQ⊥CD交CD延长线于Q,则四边形PBCQ是矩形。
设QM=a
∵DE=3,PQ=6,∴PQ=2DE∴,PM=PB=a+6
∵PQ2+QM2=PM∴2,62+4a2=(a+6)2
∴a=4,PB=10,CM=2.
又∵△PQM∽△MCH,
∴CH=QM
CMQP
CH=8,∴CH=8,BH=102633
∴PH2=PB2+BH2得,PH=1010
3
∵GH=PH,∴GH=210ABPB
圆中的折叠问题
10.如图,将半径为8的⊙O沿AB折叠,弧AB恰好经过与AB垂直
的半径OC的中点D,则折痕AB长为多少?
解析:
延长CO交AB于E,则由题意知OE=1(16-4)-4=2,OB=8,2运用勾股定理可得BE=215,∴AB=415.
11.如图,将弧BC沿BC折叠交直径AB于点D,若AD=5,DB=7,则BC的长是多少?
解析:
连接CA、CD;根据对称性质,得弧CB=弧BDC
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD,
∴∠CAD=∠CDA;过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=2.5;
∴BE=BD+DE=9.5;
在Rt△ABC中,CE⊥AB,△ABC∽△CBE,得BC2=BE·AB=9.5×12=114
故BC=144
直角坐标系中的折叠问题
12.平面直角坐标系中,直线y=3x+3,与x轴交于点A,与y轴交于点B,点O关于直线y=3x+3对称点为O`,求O`坐标。
解析:
将△AOB沿AB翻折,得△AO`B,构造△AO`B的外接矩形
OBCD.
可证得△AOD≌△O`CB,设AD=a,BC=3b,∴O`C=3a,BC=3b
则有a+1=3b,b+3a=3建立方程组解得:
a=4,b=3;∴O`(-9,3)5555
13.平面直角坐标系中,直线y=1x+2,点A(4,1),点A关于直
线y=1x+2对称点为A`,求A`坐标,并求出A到BC的距离。
2
解析:
作AC∥x轴,AB∥y轴,分别交直线y=1x+2于C,B
2
∵A(4,1),∴AB=3,AC=6∴2S△ABC=A×BAC=3×6=18∵BC2=(4+2)2+(4-1)2,∴BC=35,∴d=2SABC=65
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